矩阵秩的一些著名结论(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵秩的一些著名结论（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A.一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1. 证明: 设为两个同阶矩阵,则有r(ABr(Ar(B证 设=, =则 +=+,+,+不妨设列向量的极大线性无关组为,. (1rn；列向量的极大线性无关组

2、为，. (1sn.则+;=+;则 += +;即+的列向量可由,，线性表出，故.2. 若=,则.证 记 ，由=，知的每一列都是解,即,=1,2,又因的基础解系所含向量个数为,换言之, 的所有解所构成的向量组的秩为.故,即.3.若， 证明+=n.证 , ,=,由结论2知r+r; 再由结论1知 ，+ ,综上所述, +=n.4 若证明： +.证 ,由结论2知 +.又因 知，即 +.综上所述，+.5.矩阵 ,证明：+-.证 设=,=,=则存在可逆矩阵,使=. 及 =. 故= =.则=.因=则中还有个线性无关行向量,故则,即+-.6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为： =证 若=时,即可逆,因，则有,故.

3、若时, =,由结论2知+，即 =1.也就是=0,或 =. 假设=0,则的所有阶子式为0, 这与=矛盾.故=.若当时，则的所有阶子式全为0，则,即=0.故上述结论 = 成立。7.（秩的降阶定理）设,若是阶可逆矩阵，则. 若是阶可逆矩阵，则若都可逆，则.证 若是阶可逆矩阵，则存在.对矩阵两边做初等变换,即有.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若可逆,则存在,对两边做初等变换,.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若都可逆,则根据,的结论有:，整理可得，.参考文献【1】 张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.【2】 王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.

4、【3】 徐 仲,陆 全等.高等代数(北大.第三版导教导学导考.西安:西安工业大学出版社,2006.求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称

5、(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji （下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”. ， 例如，矩阵 A = k +k （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换

6、求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即( A , I )( I , ) 例1 设矩阵 A = 求逆矩阵 . 解 因为+(-1)+(-2)A , I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确. 对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判

7、定A不可逆；如果 A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的. 例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？ 解 因为 A , I = A , I 中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆. （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = 解 思路 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得AX = B， X = B 因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B

8、，求出X . 因为 A , I = 所以 A可逆，且 = X = B = = 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式. 例4 设矩阵 A=取其第一、二行与第二、四列交叉

9、点上的4个元素按原次序组成行列式 称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) . 规定：零矩阵O的秩为零，即= 0. 例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 = 2 . 例5 设A为n阶非奇异矩阵，求. 解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故 = n . 例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若= n，则A必为非奇异的. 因此n阶方阵A为非奇异的等价于= n. 称= n的n阶方阵为满秩矩阵. 用定义求矩阵的秩，需要计算它的子

10、式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的. 定理2.10 设A为矩阵，则= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵. 例如，阶梯阵A =， B =因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即= 2，= 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点. 定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材） 定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩. 例6 设矩阵A =

11、， B = 求，. 解 因为 A = 所以 = 2 因为 B = 所以 = 3 因为 AB = = AB = 所以 = 2 由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即 . 例7 设矩阵 A =求和. 解 因为 A = 所以 =3同理可得 =3 由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性. 定理2.11 设A为mn矩阵，则 (1) ； (2) = 宝鸡文理学院本科学年论文论文题目： 矩阵秩及其应用 学生姓名：李 前学生学号： 202190014 专业名称： 数学与应用数学 指导老师：杨建宏数学系2021年11月28日目录【摘要】 . 1

12、 【关键字】 . 1 一、矩阵的秩的有关概念 . 1 二、矩阵中的相关定理及命题 . 2 三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较 . 4 四、矩阵运算中矩阵的秩的关系 . 6 五、矩阵秩的应用 . 10 【参考文献】 . 15浅谈矩阵的秩及其应用李前（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）【摘要】 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键字】 矩阵秩； 线性方程组； 非零子式的最高级数； 初等变换1、矩阵秩的相关概念，定理及命题为了介绍矩阵的秩，首先介绍k 级子式的概念定义1 在m n 阶矩阵A 中任意选定矩阵的k 行和

13、k 列, 将位于这些所选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式, 称为矩阵的的一个k 级子式。定义2 设m nA F 所含的非零子式的最高阶数为r , 则称r 为矩阵A 的秩, 记为rankA . 当0A =时, A 不含任何非零子式, 定义矩阵A 的秩为0，记为0rankA =.矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量, 那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的, 这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样, 将每一列看成一个向量, 那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。简单地说, 矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量

14、的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。显然，m n 阶矩阵A 的非零子式的最高阶数比, m n 中的任何一个都小，可记为min , rankA m n . 若m n , 当rankA m =时称A 为行满秩, 同样，若n m ，当r an k A n =时称A 为列满秩；如果m n =, 并且当rankA 达到最大值n 时，称A 为满秩方阵。例 对于矩阵1123101113A = 矩阵1A 的行向量为(123123, 101, 113=, 计算可得，向量组123, , 的秩为3, 那么可知，矩阵1A 的行秩为3.矩阵1A 的列向量为1231231,

15、 0, 1113 = , 计算可得，向量组123, , 的秩为3, 那么可知，矩阵1A 的列秩为3.001A = 矩阵2A 的行向量(12341111, 0111, 1001, 0001=,1234, , , , 3经计算向量组的秩为, 则矩阵2, 3A 的行秩为矩阵2A 列向量为= , 经计算向量组 1234, , , , 的秩为3, 则矩阵2A 的列秩为3.2、矩阵中的相关定理及命题命题错误！未定义书签。一个矩阵的秩为r 等价于该矩阵存在一个非零的r 级子式, 而所有的1r +级子式(若矩阵存在1r +级子式 全都为0. 命题2矩阵经初等变换后，矩阵的秩不发生改变. 定理错误！未定义书签。

16、 矩阵的行秩和列秩是相等的. 证明错误！未定义书签。 设所讨论的矩阵为1111n m mn a a A a a = 而A 的行秩为r , 列秩为1r . 要证1r r =, 先证1r r . 以12, , m 代表矩阵A 的行向量组, 不妨设1, r 是它的一个极大线形无关组。因为1, , r 是线性无关的, 所以 110r r x x +=只有零解, 这也就是说, 齐次线形方程组00r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+=+=只有零解. 则方程组的系数矩阵1111r nrn a a aa 的行秩. r 因此在它的行向量

17、中可以找到r 个是线性无关的, 比如向量组(线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组(, , , , , , , , , , , r m r m r r rr mr a a a a a a a a a a a a依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵A 的r 个列向量, 由于它们的线性无关性，由此可知矩阵A 的列秩1r 至少是r , 也就是说1r r .同理可得1r r . 这样就证明了1r r =, 进而说明矩阵行秩与列秩相等。由此可以看出上例中12, A A 的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩, 且三者相

18、等。 定理2错误！未定义书签。 n n 阶矩阵1111n n nn a a A a a = 的行列式为零的充要条件为rankA n .证明错误！未定义书签。 充分性 因为矩阵的秩等于矩阵的行秩, 且rankA n , 所以矩阵的行秩小于n , 因此可知矩阵的行向量组是线形相关的, 由行列式的性质可得, 矩阵A 的行列式为零。必要性 用数学归纳法证明 当1n =时, 矩阵为零, 结论显然成立。假设结论对1n -成立。讨论n 的情形, 若第一列元素均为零, 则rankA n . 若存在不为零的元素, 不妨设110a 利用初等变换将其余各行的第一列元素消成零, 则11121 222 22211 2

19、200nnnn nnn nna a a a a a a A a a a aa=其中( 121110,i i in i a a a a =-, 2, . i n =且12, , n 为矩阵A 的行向量。因为矩阵的行列式为零, 所以 2222nn nn a a a a =由归纳假设 222 2n n nn a a a a 的行向量线性相关。因此，向量组1212111111, , n n a a a a -线性相关，进而可得出12, , , n 也是线性相关的，即rankA n .由归纳假设可得结论对任意n 得都成立。 由定理2可得出推论,A 的充要条件是. rankA n =3、矩阵秩的两种计算方

20、法及其优劣比较3.1 矩阵的秩的两种计算方法 方法一 求矩阵A 的非零子式的最高级数由定义知，矩阵A 的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知若一个矩阵的秩为r 等价于矩阵中有一个r 级子式不为0, 同时所有的1r +级子式全都为0. 因此, 我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在r 级子式不为0, 而所有的1r +级子式(如果有的话 全部为0, 那么矩阵A 的秩即为r . 方法二 进行初等变换由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩, 且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变, 因此，我们可以得到计算矩阵的秩的另一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵, 所得矩

21、阵中的非零的行数或列数即为矩阵的秩。 对于上述所给的例子 对于矩阵1A1123101113A = 方法一 因为23012013A =-所以3rankA , 又因为该矩阵不存在4级子式, 因此得出13rankA =.方法二 = 矩阵有3个非零的行向量, 因此行秩为3, 从而矩阵的秩为3. 对于矩阵2A21001A = 方法一 因为211110111010010001A = 所以24rankA 3时, 初等变换法明显优于求矩阵的k 级子式, 并且随着阶数的增加两种方法的难度差距也随之增大。对于n 阶矩阵，若行列式不为零, 它的1n -级子式有11n n C C 种可能, 2n -级子式有22n n

22、 C C 种可能, 其他子式的可能情况更多, 因而用这种方法的计算量比较大, 相对的正确率也比较低, 而用初等变换的方法步骤简练, 中间过程比较少, 相对来说计算量比较小, 出错的可能性也比较低。因此, 求k 级子式的方法有局限性，相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高级数的方法。4、矩阵秩的若干性质(以下讨论的关系中, A B 均为可进行运算的矩阵 性质1min , rankAB rankA rankB .证明 若能证明rankAB rankA , rankAB rankB 则可证明结论成立。 以rankAB rankA 为例11111111, m n s sm m mn a a b b

23、A B a a b b = 令12, , , m A A A 表示A 的列向量, 12, , n M M M 表示AB 的列向量, 计算可得 1122i i i im m M b A b A b A =+, (1,2, i n =也就是说，AB 的列向量组 12, , n M M M 可以由A 的列向量组 12, , , m A A A 线性表出,所以rankAB rankA .同样, 可得rankAB rankB , 因此得出min , rankAB rankA rankB .性质2(rank A B rankA rankB+.证明 令A 的列向量组为12, , , , m A A A 12

24、, , , , s A A A 且极大线性无关组为B 的列向量为12, , , m B B B 12, , , t B B B 且极大线性无关组为则A B +的列向量为1122, , m m A B A B A B +.因而可以得A B +的列向量组1122, , , m m A B A B A B +, 可以由12, , , s A A A 12, , t B B B , 线性表出,即 (rank A B rankA rankB+.结论成立。性质3 rankAB rankA rankB n +-. 证法一(A O A O A AB rankA rankB rank rank rank ran

25、k AB nO B E B E O -+=-+ 因为(rank AB rankAB -=所以rankAB rankA rankB n +-.证法二 设rankA s =, rankB t =, rankAB r =， 因此 存在可逆矩阵, P Q 使得sEO PAQ OO = ,令(1s m n s m B Q B B -= , 则 (1s m ss m n s m B EO B PAB PAQQ B B OO O -= 因此可得(s m rank B rank PAB rank AB r=, 而1rankQ B t -=,所以(n s m B - 中的线性无关的行数为t r-, 而总行数为n

26、 s -，可以得出n s t r -. 即 r t s n +-. 结论成立。性质4 若AB O =, 则rankA rankB n +. 证法一 AB O =可得0rankAB =， 由关系3可得rankA rankB n +. 证法二 12, , n B B B 表示矩阵B 的列向量, 则(1212, , , , , n n AB A B B B AB AB AB O=,因此有12n AB AB AB O =.12, , . n AX O n B B B =即齐次线性方程组有组解设rankA s =, n s -可知方程的基础解系所含向量的个数为, 则12, , n B B B 可以由n

27、s-个, rankB n s -线性无关的解向量线性表出则, 即rankA rankB n +.性质5 若2A E = 则(rank A E rank A E n+-=.证明 由2A E =可得2A E O -=, 进而可得(A E A E O -+=,由关系4得 (rank A E rank A E n+-.又因为(2A E A E E +-=, 可得(2A E E A E+-=, 且(2rankE rank E n =, (rank A E rank E A -=-, 由关系2得(rank A E rank A E n +-.所以(rank A E rank A E n+-=.性质6 若2

28、A A = 则(rank A E rankA n -+=.证明 由2A A =可得2A A O -=, 进而可得(A A E O -=由关系4得 (rankA rank A E n+-.又因为(A A E E -=, 可得(A E A E+-=且rankE n =, (rank A E rank E A -=-.由关系2得(rankA rank A E n+-,所以(rankA rank A E n+-=.性质7 TrankA rankA A =.证明 利用方程组同解进行证明，若方程组AX O =的任意非零解，有A O =，那么TA A O =, 则也是方程组T A AX O =的非零解。若方

29、程组T A AX O =的任意非零解，有T A A O =，在T A A O =的两边同左乘T 得T T A A O =, 即(TA A O =. 由此可得方程组AX O =的非零解。 可以看出，方程组AX O =与方程组TA AX O =同解，则两个方程组基础解系所含向量的个数相同。因为方程组的基础解系所含解的个数等于方程组未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以结论成立，即T rankA rankA A =性质8 若A 是n s n n 的列满秩矩阵当且仅当存在 阶可逆矩阵T 使得s E A T O = .证明3充分性s E A T O = ，其中T 为n n 可逆矩阵，则 s s E E ra

30、nkA rank T rank sO O = , 所以矩阵为列满秩.必要性 矩阵A 经过一系列的初等变换可以转化为 B , B 的前n 行线性无关, 于是存在n n 阶可逆矩阵1M 使得112B M A B B = , 其中1B 为s s 阶可逆矩阵令112n s B O M O E -= ，则有2122s E M M A M B B = 再令32sn s E O M B E -=-, 则有32132s s E E M M M A M B O = 于是令111123T M M M -=, 则结论成立。同样的，若A 是n s 的行满秩矩阵当且仅当存在s s 阶可逆矩阵T 使得(n E O T A

31、=.性质9 m n 阶矩阵A 的秩为s , 则有m s 的M 列满秩矩阵和s n 的行满秩矩阵 N ,使得A MN =.证明3由于rankA s =因此存在m m 阶可逆矩阵1M 和n n 阶可逆矩阵1N ，使得得(11s s s E O E M AN E O O O O = 则有(1111s sE A M E O N MNO -= , 其中11s E M MO -= ，(11sE O N N-=，由关系8可知，, M N 分别为列满秩和行满秩矩阵，则结论成立。5、矩阵秩的应用5.1矩阵秩在线性方程组中的应用矩阵与线性方程组有密切的关系, 在判断线性方程组的解得情况时, 矩阵的秩起着十分重要的

32、作用。定理14 线性方程组11112211a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +=+=+=. 有解的充要条件为方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同 证明 必要性 记系数矩阵为A , 列向量组为12, , , n , 增广矩阵为B , 列向量组为12, , , , n . 则线性方程组可以写成11n n x x +=由此可以看出可以由12, , n 线性表出, 因此,12, , , n 与12, , , , n 是等价的, 因而有相同的秩, 即. rankA rankB =充分性4 若rankA rankB =, 说明12, , , n 与12,

33、 , , , n 有相同的秩, 因因而两个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数相同。若12, , , s 为列向量组12, , , n , 的极大线性无关组则同时也是列向量组 12, , , , n , 的极大线性无关组因此可知， 可以由12, , , s 线性表出, 又因为一个向量组与其极大线性无关组是等价的。于是，向量组12, , , n 与其极大线性无关组12, , , s 是等价的。所以，可以由12, , , n 线性表出, 即是向量组12, , , s 的一个线性组合, 由此可以看出线性方程组有解。 例 对于方程组123123123222x x x x x x x x x +=+=

34、+=讨论, 取何值时方程组有解。 解 系数矩阵111111A = 增广矩阵112112112B = 若要方程组有解则需rankA rankB =.22111 =- -+- =- -+-由此可以看出当1=时 1rankA rankB =，方程组有无穷多个解。 当1, 且2-时 3rankA rankB = 方程组有唯一解。 当2=-时 2rankA = 3rankB = 方程组无解。对于非齐次线性方程组来说，A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵，当rankA rankB =时，若0A , 则方程组有唯一解，若0A =, 则方程组有无穷多组解；当rankA rankB 时，方程组无解。矩阵的秩不仅可

35、以用来判断非齐次线性方程组有无解, 而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构。以下定理可根据矩阵的秩判断解的情况。定理2错误！未定义书签。00n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+=+= , 在方程组有非零解的情况下方程组的基础解系所含解的个数等于n r -. 其中A 为方程组的系数矩阵, 且r rankA =.例 当取不同值时，计算下列齐次线性方程组的通解12312312330230230x x x x x x x x x +=-+=+=解 方程组的系数矩阵为A ，31123231A =- 计算系数矩

36、阵的行列式,(34, =当时0A =方程组有非零解，方程组的系数矩阵为A 21. 的秩为，由定理可得方程组的基础解系所含解的个数为 则方程组化简为12方程组（）与方程组（）同解，且解为117571- = 线性无关，则可以作为方程组的基础解系，以X 表示方程组的通解。 因此，方程组的通解为, X k = 其中. k R 当4时，0A , 方程组只有零解。( 二矩阵的秩在解析几何中的应用, 根据以上两个定理我们还可以将矩阵的秩应用到解析几何中，用来判断给出一般方程的空间两直线的位置关系。如以下给出两条直线的一般方程1111122220:0a x b y c z d L a x b y c z d

37、+=+= ；3333244440:0a x b y c z d L a x b y c z d +=+= ；两直线的位置关系取决于方程组0a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +=+=+=+=解的情况，而方程组解的情况又取决于方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩。由于每个线性方程都代表一个平面, 方程组表示两平面的交线，即所给出的直线 所以有23,24rankA rankB ., A B 表示系数矩阵与增广矩阵。若, , rankA rankB =表示方程组有解两直线有交点。当2rankA rankB =时, 方程组有无穷多个解表明两直线重合。当3rankA rankB =时, 方程组有唯一解表明两直线相交。若, , rankA rankB 表示方程组无解两直线没有交点。在此种情况下两直线异面或平行。(三 矩阵的秩再其它方面的应用1, rankA n A =、矩阵的秩与矩阵可逆若则可逆。2、矩阵的秩与矩阵的伴随矩阵A 为n n 阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则 当rankA n =时，