数学中考三轮复习 二次函数与线段、周长、面积问题综合压轴题 专题达标测试 .docx

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1、数学中考三轮复习二次函数与线段、周长、面积问题综合压轴题专题达标测试（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1如图1，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是3,0(1)点A的坐标为_；(2)求抛物线的解析式；(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得DEF的周长最小，求F点的坐标2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A1,0，点B，与y轴交于点C0,3(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(

2、2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；(3)点Mm,n0m3在抛物线上，当m取何值时，MBC的面积最大？并求出MBC面积的最大值3如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A(3,0),B(1,0)两点，点C为二次函数的图象与y轴的交点(1)求二次函数的解析式和点C的坐标；(2)在二次函数的对称轴上是否存在一点Q，使得BCQ周长最小？若存在，请求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由(3)若点P为二次函数图象上的一点，且SPOC:SBOC=4:1，求点P的坐标4如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0

3、,3，其顶点D的坐标为1,4(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAPC的值最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)作直线BC，M为BC上一点，连接AM，当BOCBMA时，求点M的坐标5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A2,0，B4,0两点(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由6如图，已知抛物

4、线y=ax2+4x+c经过A2,0、B0,6两点，其对称轴与x轴交于点C(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得PAB的周长最小，求出P点的坐标；(3)设抛物线与直线BC相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得ABQ的面积等于ABD的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由7在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过点A(x1，y1)，C(x2，y2)，其中x1，x2是方程x22x8=0的两点，且x1x2，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点(1)求A，C两点的坐标：(2)求直线的解析式；(3)如图2，点B是线段AC(端点除外)上的动点

5、，若过点B作轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，求BCBEBD的值8如图，直线y=2x+6与x，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=2x2+bx+c经过B，C两点，且交x轴于另一点A(1)求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；(3)如图2，若在直线BC上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作PHx轴于点H，与线段BC交于点N，当点N是线段PH的三等分点时，求点P的坐标9抛物线y=13x2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C

6、，连接AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q(1)求抛物线的表达式；(2)设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由(4)在（2）的条件下，直线PM上有一动点R，连接RO，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标10如图，抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于A4,0、B1,0两点，与y轴

7、负半轴交于点C，且OC=3OB(1)求抛物线的解折式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PQx轴交直线AC于点Q，求PQ35AQ的最大值及此时P点的坐标；(3)在（2）的情况下，将该抛物线向右平移，使其经过原点，点M为平移后新抛物线的对称轴上一点，点N在新抛物线上，当以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并选取一个点写出求解过程11抛物线y=ax2+bx4a0与x轴交于点A2,0和点B4,0，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标

8、为t(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CHPN于点H，SBMN=9SCHM，求点P的坐标；连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由12如图，一次函数y=12x+4的图像与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为2,0，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A、B、C三点 (1)求二次函数的解析式；(2)如图1，已知点D2,n在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作QMy轴于点M，作QNBD于点N，过Q作QPy轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点

9、P的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足APE=ABO，求点E的坐标参考答案1(1)1,0(2)y=x2+2x+3(3)F0,83（1）解：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点B的坐标是3,0A的横坐标为：131=12=1，A1,0（2）抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，点B的坐标是3,0b21=19+3b+c=0，解得：b=2c=3，抛物线为y=x2+2x+3，（3）抛物线为y=x2+2x+3=x12+4，D1,4，将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，设平移后的抛物线为：y=x12+n，n1=0，即n

10、=1，平移后的抛物线为：y=x12+1=x2+2x，令y=0，则x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2，即E2,0，如图，取E关于y轴对称的对称点M2,0，连接DM，交y轴于F，则CDEF=DE+DF+EF=DE+DF+MF=DE+DM，此时周长最短，设DM的解析式为：y=kx+e，2k+e=0k+e=4，解得：k=43e=83，DM的解析式为：y=43x+83，当x=0时，y=83，F0,832(1)抛物线的解析式为y=x22x3，点B的坐标为3,0(2)P1,1(3)m=32时，SMBC最大=278解:（1）解：由二次函数y=x2+bx+c的图象经过1,0和0,3两点，得1b+c=0c=

11、3，解得b=2c=3则抛物线的解析式为y=x22x3令y=0，有x22x3=0，解得，x1=3，x2=1则该抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为3,0（2）抛物线y=x22x3的对称轴为直线x=22=1点P为该抛物线对称轴上，设P1,t，A1,0，C0,3，PA2=4+t2，PC2=1+t+32PA=PC，4+t2=1+t+32t=1，P1,1（3）如图2，作MQAB于Q，交BC于点D，B3,0，C0,3，设直线BC的函数解析式为y=kx+b，将点B3,0，C0,3代入得：0=3k+b3=b，解得：k=1b=3，直线BC的解析式为：y=x3，Dm,m3点Mm,n在抛物线y=x22x3上，n=m2

12、2m3MD=m3m22m3=m2+3mSMBC=12DMOB=123m2+3m=32m322+278，当m=32时，SMBC最大=2783(1)y=x2+2x3，C(0,3)(2)存在，点Q的坐标为(1,2)(3)(4,21)或(4,5)解:（1）抛物线的解析式为y=x2+bx+c把点A(3,0),B(1,0)代入解析式，解得b=2,c=3抛物线的解析式为y=x2+2x3点C为抛物线与y轴的交点，C(0,3)；（2）存在，Q(1,2)A(3,0),C(0,3)直线AC的解析式为y=x3又对称轴为直线x=1当x=1时，y=2点Q的坐标为(1,2)（3）二次函数的解析式为y=x2+2x3，点C的坐

13、标为(0,3|，OC=3，设P点坐标为x,x2+2x3又SPOC：SBOC=4：1，123x=41231x=4，即x=4或4当x=4时，x2+2x3=16+83=21；当x=4时，x2+2x3=1683=5点P的坐标为(4,21)或(4,5)4(1)y=x22x+3(2)存在，点P的坐标为1,6(3)M35,65解:（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为1,4，抛物线的解析式为y=ax+12+4抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C0,3，a12+4=3，a=1抛物线的解析式为：y=x+12+4=x22x+3（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最大，理由：令y=0，则x22

14、x+3=0，解得：x=1或3点A在点B的左侧，A3,0，B1,0OA=3，OB=1C0,3，OC=3点P在抛物线的对称轴上，PA=PBPAPC=PBPCPBPCBC，当P，B，C三点在一条直线上时，PAPC的值最大为BC的长设直线BC的解析式为y=kx+n，由题意得：k+n=0n=3，解得：k=3n=3直线BC的解析式为y=3x+3抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=31+3=6，P1,6在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最大，此时点P的坐标为1,6（3）设AM交OC于点N，如图，BOCBMA，OCB=MABBOC=NOA=90，OBCONA，OBOC=ONOA13=ON3

15、，ON=1N0,1设直线AN的解析式为y=mx+d，3m+d=0d=1解得：m=13d=1直线AN的解析式为y=13x+1y=13x+1y=3x+3，解得：x=35y=65M35,655(1)y=x22x+8(2)存在，Q1,6(3)存在，点P的坐标为P2,8，8解:（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A2,0，B4,0两点，4+2b+c=0164b+c=0，解得b=2c=8，该抛物线的解析式为y=x22x+8（2）存在，点Q1,6理由如下：抛物线y=x22x+8与x轴交于A2,0，B4,0两点，A2,0，B4,0是对称点，且C0,8，设直线BC的解析式为y=kx+8，0=4k+8，解得k

16、=2，直线BC的解析式为y=2x+8，当x=1时，y=2x+8=2+8=6，故点Q1,6（3）如图，设Pm,m22m+8，过点P作PEx于点E，抛物线y=x22x+8与x轴交于A2,0，B4,0两点，且C0,8，OC=8,OB=4，PE=m22m+8，OE=m，EB=m+4，SBPC=S四边形BPCOSBCO=S四边形PCOE+SBPESBCO，=12PE+OCOE+12PEBE12OBOC=12PEOE+12OCOE+12PEBE12OBOC=12PEOB+12OCOE12OBOC=12m22m+84+128m1248=2m28m=2m+22+8，故当m=2时，SBPC取得最大值，且为8，此

17、时P2,86(1)y=12x2+4x6；y=32x6(2)点P的坐标为4,2时，PAB的周长最小(3)存在，4,32或4,272（1）解：将A2,0、B0,6代入抛物线解析式，得：4a+8+c=0c=6，解得：a=12,c=6抛物线的解析式为：y=12x2+4x6，其对称轴为：x=4，故点C的坐标为4,0，设直线BC的解析式为y=kx+bk0，将点B、点C的坐标代入可得：4k+b=0b=6，解得：k=32b=6，故直线BC的解析式为y=32x6；（2）解：抛物线的对称轴为直线x=4212=4，点A2,0关于抛物线对称轴的对称点A的坐标为6,0，连接AB，交直线x=4于一点，当点P正好位于该点时

18、，PAB的周长最小，设直线AB的解析式为：y=mx+nm0，把A6,0和B0,6代入得：6m+n=0n=6，解得：m=1n=6，即直线AB的解析式为y=x6，把x=4代入直线AB的解析式求得点P的坐标为4,2即点P的坐标为4,2时，PAB的周长最小（3）解：存在；过点Q作QEx轴交AB于点E，如图所示：联立y=32x6y=12x2+4x6，解得：x1=0y1=6，x2=5y2=32，点D坐标为5,32，AC=42=2，SABD=122326=152，设直线AB的解析式为y=kx+bk0，把A2,0、B0,6代入得：2k+b=0b=6，解得：k=3b=6，直线AB的解析式为y=3x6，设点Q的坐

19、标为4,t，则Et+63,t，EQ=4t+63，SABQ=12064t+63=152，解得：t=32或t=272，点Q的坐标为：4,32或4,2727(1)A2,2,C4,8(2)y=2x2或x=2(3)62解:（1）解：x1、x2是方程x22x8=0的两根，且x1x2，x1=2，x2=4，A2,2，C4,8；（2）设直线l的解析式为y=kx+b(k0)，A(2，2)在直线l上，2=2k+b，b=2k+2，直线l的解析式为y=kx+2k+2，抛物线y=12x2，联立化简得，x22kx4k4=0，直线l与抛物线只有一个公共点，=(2k)24(4k4)=4k2+16k+16=4(k2+4k+4)=

20、4(k+2)2=0，k=2，b=2k+2=2，直线l的解析式为y=2x2；平行于y轴的直线和抛物线y=12x2只有一个交点，直线l过点A2,2，直线l：x=2；（3）由（1）知，A2,2，C4,8，直线AC的解析式为y=x+4，设点B(m，m+4)，C(4,8)，BC=2|m4|=2(4m)过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，D(m，12m2)，E(m，2m2)，BD=m+412m2，BE=m+4(2m2)=3m+6，如图，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点FDCEF，BDCBEF，BDBE=BCBF，m+412m23m+6=2(4m)BF，BF=BEBCB

21、D=628(1)B(3,0)，C(0,6)，抛物线的解析式为y=2x2+4x+6(2)(1,4)(3)12,152或(2,6)解:（1）令x=0，得y=2x+6=6，即：C0,6令y=0，得y=2x+6=0，解得x=3，即：B3,0，把B，C两点坐标代入y=2x2+bx+c得，c=618+3b+c=0，解得b=4c=6，抛物线的解析式为y=2x2+4x+6；（2）设直线l交直线BC于点M，由对称性可知AM=BM，当B，M，C三点共线时，AM+CM取得最小值，故直线l与直线BC的交点即为所求，联立x=1y=2x+6，解得x=1y=4M（1,4）（3）设P(m,2m2+4m+6) (0m3)，则N

22、(m,2m+6)，H(m,0)，PN=2m2+4m+6(2m+6)=2m2+6m，NH=2m+6由题意可知：点N是线段PH的三等分点PNNH=12或PNNH=2当PNNH=12时，2m2+6m2m+6=12，即：2m27m+3=0解得：m1=3，m2=12经检验：m1=3不合题意舍去P12,152当PNNH=2时，2m2+6m2m+6=2，即：m25m+6=0解得：m3=3，m4=2，经检验：m1=3不合题意舍去P2,6由可知：当点N是线段PH的三等分点时，点P的坐标为12,152或2,69(1)y=13x2+13x+4(2)m=2时，PQ有最大值，最大值为43(3)（1，3）或(522,45

23、22)(4)2，2或2，8（1）解：将A（3，0），B（4，0）代入y=13x2+bx+c得：33b+c=0163+4b+c=0解得：b=13c=4抛物线的表达式：y=13x2+13x+4（2）解：令x=0，则y=4，C（0，4）设直线BC的解析式为：y=kxn4k+n=0n=4解得k=1n=4y=x+4，M点的坐标为Mm，0，Qm，m+4，P(m1，13m2+13m+4)PQ=13m2+13m+4+m4=13m2+43m=13m2+43m=13(m2)2+43，130，0m4，当m=2时，PQ有最大值，最大值为43（3）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由：设Qt，

24、t+4(0t4)，AC=5，AQ=2t22t+25, CQ=2|t|，当AC=AQ时，2t22t+25=5解得t=0(舍)或t=1，Q1，3；当AC=CQ时，2|t|=5,解得t=522或t=522（舍），Q522,4522当AQ=CQ时，2t22t+25=2|t|解得t=252（舍）；综上所述：Q点坐标为1，3或(522,4522)（4）解：如图1，过点R作GHy轴交于点G，过点T作THGH交于点H，则OGR=RHT=90，ORT=90，GRO+HRT=90，GRO+ROG=90，HRT=ROG，RO=RT，GROHTRAAS，RG=HT，GO=RH，设R2，n，HT=RG=2，GO=RH=

25、n，T2+n，n2，T点在抛物线上，n2=13n+22+13n+2+4，解得n=2或n=8，R2，2或2，8.10(1)y=34x2+94x3(2)PQ35AQ的最大值为116，此时点P的坐标为72,2716(3)2,10.5或7,10.5或5,37.5（1）解：B1,0OB=1，OC=3OBOC=3，点C0,3，把点A4,0、B1,0、C0,3代入，得：16a4b+c=0a+b+c=0c=3，解得：a=34b=94c=3，二次函数的解析式为y=34x2+94x3；（2）解：如图，过点Q作DQx轴于点D，A4,0，OA=4，AC=OA2+OC2=5，sinOAC=OCAC=DQAQ=35，DQ

26、=35AQ，PQ35AQ=PQDQ，设直线AC的解析式为y=k1x+b1，把点A4,0、C0,3代入，得：4k+b=0b=3，解得：k=34b=3，直线AC的解析式为y=34x3，设点Pm,34m2+94m3，则点Qm23m,34m2+94m3，PQ=m23mm=m24m,DQ=34m294m+3，PQDQ=m24m34m294m+3=14m274m3=14m+722+116，当m=72时，PQDQ的值最大，最大值为116，即PQ35AQ的最大值为116，此时点P的坐标为72,2716；（3）解：y=34x2+94x3=34x+3227516，将该抛物线向右平移，使其经过原点，A4,0，抛物线

27、向右平移4个单位得到新抛物线，平移后的抛物线解析式为y=34x+32427516=34x5227516=34x2154x，平移后的抛物线的对称轴为直线x=52，点M的横坐标为52，设点Nt,34t2154t，当BN为对角线时，有1+t2=52722，解得：t=2，此时点N的坐标为2,10.5；当BM为对角线时，有52+12=t722，解得：t=7，此时点N的坐标为7,10.5；当BP为对角线时，有1722=52+t2，解得：t=5，此时点N的坐标为5,37.5；综上所述，点N的坐标为2,10.5或7,10.5或5,37.511(1)y=12x2x4(2)PM最大值=2，M2,2(3)P1,92

28、；存在点Q0,132或Q0,92（1）解：把A2,0、B4,0代入y=ax2+bx4得4a2b4=016a+4b4=0，即2ab=24a+b=1，a=12b=1抛物线的解析式为：y=12x2x4；（2）解：令x=0得y=4， C0,4设直线BC的解析式为y=kx+b，b=44k+b=0k=1b=4，直线BC的解析式为：y=x4P的横坐标为t，PMy轴，Pt,12t2t4，Mt,t4，PM=t412t2t4=12t2+2t=12t22+2，120，当t=2时，PM有最大值2，此时M2,2；（3）解：B4,0、C0,4，OB=OC=4，BOC=90，OBC=OCB=45， PNy轴NMB=OCB=

29、45，MNB=COB=90，NBM=NMB，BN=MN，SBMN=12BN2，又CMH=NMB=45，CHM=90，CHM是等腰直角三角形SCHM=12CH2SBMN=9SCHM12BN2=912CH2BN=3CH，BN+CH=OB=4，CH=1P1,92；设Q0,m，则CQ2=4+m2，CP2=1+4+922=54，PQ2=1+m+922，（）当CQP=90时，54=4+m2+1+m+922，解得：m=4（舍去）或m=92，Q0,92；（）当CPQ=90时，54+1+m+922=4+m2，解得：m=132，Q0,132（）当PCQ=90时54+4+m2=1+m+922解得：m=4（舍去）综上

30、所述，存在点Q0,132或Q0,92使得CPQ为直角三角形12(1)y=14x2+32x+4(2)P4,6(3)103,349或2,6（1）解：在y=12x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得12x+4=0，解得：x=8，A0,4,B8,0可设二次函数解析式为y=ax+2x8，将A0,4代入得：4=a28，解得：a=14，y=14x2+32x+4（2）解：点D2,n在抛物线上，n=1422+322+4=6，D2,6设直线BD的解析式为y=kx+b，则8k+b=02k+b=6，解得：k=1b=8，直线BD的解析式为：y=x+8过D作DTx轴于T，则OT=2,DT=6OB=8，BT=OBOT=

31、6，DT=BT，DBO=45Qm,12m+4，则Gm,m+8，MQ=m设ABO=，则NBQ=45，MQB=180， 又PQM=90,NQB=9045=45+，GQN=3609018045+=45，GQN为等腰直角三角形，NQ=22QG=22m+8+12m4=24m+22，MQNQ=m24m+22=24m42+42当m=4时，QMQN最大，此时P4,6（3）解：如图，过A作AHPE于点H，其中，APE=ABO又A0,4，P4,6，tanAPH=tanABO=OAOB=12，AHPH=12，PH=2AHAP=402+(64)2=25，PH2+AH2=AP2，4AH2+AH2=20，AH=2,PH=4设Hm,n，则AH2=m02+n42=4，PH2=m42+n62=16，解得：m1=85,n1=145；m2=0,n2=6，H85,145或0,6当点H的坐标为H85,145时，设直线PH的解析式为y=k1x+b1，把点H85,145，P4,6代入得：85k1+b1=1454k1+b1=6，解得：k1=43b1=23，直线PH的解析式为y=43x+23，令43x+23=14x2+32x+4，解得：x1=103,x2=4（舍）E103,349；当点H的坐标为H0,6时，PHx轴，此时点E的纵坐标为6，E2,6；综上所述：符合题意的E点坐标为103,349或2,6学科网（北京）股份有限公司