数学中考三轮复习 二次函数与特殊三角形综合压轴题 专题达标测评 .docx

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1、数学中考三轮复习二次函数与特殊三角形专题达标测评（附答案）1如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过点B、C的，与x轴另一交点为A，顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得BCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APB=OCB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由2如图1，抛物线y=18x214x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C点D在y轴正半轴上，直线AD：y=x+b与抛物线交于点E(1)求线段BC的长度；(2)如图2，

2、点是线段AE上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求PQCD的最大值；(3)如图3，将抛物线y=18x214x3向左平移4个单位长度，将DCA沿直线BC平移，平移后的DCA记为DCA，在新抛物线的对称轴上找一点M，当ACM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标3如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA=2k，OB=2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=34x2+3x+k交y轴于点D，P为顶点，PMx轴于点M(1)求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）(2)当PM=BM时，求该抛物线的表达式(3

3、)在点A在整个运动过程中，若存在ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值4如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PBPC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由5已知抛物线y=x2+bx+c经过A1,0、B0,3两点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，

4、连接OM，交BC于点F(1)求b和c的值及点C的坐标；(2)求证BOF=BDF(3)是否存在点M，使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长6如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB(1)求抛物线的函数解析式；(2)当AOB为直角三角形时，求t的值；(3)如图2，M为AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1t5时，求点M经过的路径长度7如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A1,

5、0、B3,0、C0,3三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标：(3)在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B，C，E，F为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求点F的坐标：若不存在，请说明理由8如图，抛物线y=ax2+169x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为(1,0)，对称轴为x=2(1)求此抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找

6、一点F，使SFBC=SACB，求点F的坐标；(3)如图，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标9如图，已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A1，0，C0，3(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDB

7、F的最大面积及此时E点的坐标10如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y=ax2+bx3aa0的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B3,0，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC(1)点A的坐标为 ；(2)若射线CB平分PCO，求二次函数的表达式；(3)在（2）的条件下，如果点Dm,0是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，CEF为直角三角形？11如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A2,0,B4,0两点，与y轴交于点C(1)求ABC的面积；(2)如图2，点P是抛物线上第一象

8、限的一点，且PAB=ACO，求点P的坐标；(3)若点N是直线y=2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由12【问题背景】已知二次函数y=x22mx+m24（m为常数）数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置

9、上）A华罗庚B陈景润C苏步青D陈省身(2)若该二次函数的对称轴为x=1，关于x的一元二次方程x22mx+m24t=0（t为实数）在3x2的范围内无解，则t的取值范围是 (3)若该二次函数自变量x的值满足3x1时，与其对应的函数值y的最小值为12，则m的值为 【拓展应用】(4)当m=1时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，DEF为等腰三角形时，求线段DF的长1(1)y=x2+2x+3(2)1，14或1，14或1，317或1，3+17或1，1(3)1，

10、2+22或1，222（1）解：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，B3，0，C0，3，把B3，0，C0，3代入抛物线解析式y=x2+bx+c中得：9+3b+c=0c=3，b=2c=3，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）解：抛物线解析式为y=x2+2x+3=x12+4，抛物线对称轴为直线x=1，设点E的坐标为1，m，BC2=32+33=18,BE2=312+0m2=m2+4,CE2=102+m32=m26m+10，当BC=BE时，则m2+4=18，解得m=14，点E的坐标为1，14或1，14；当BC=CE时，则m26m+10=18，解得m=3+17或m=317，点E的坐标为1，3

11、17或1，3+17；当BE=CE时，则m2+4=m26m+10，解得m=1，点E的坐标为1，1；综上所述，点E的坐标为1，14或1，14或1，317或1，3+17或1，1；（3）解：如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作BFAP于F，OB=OC=3，BOC=90，APB=OCB=45，PBF是等腰直角三角形，可设BF=PF=a，则PA=PB=2a，AF=PAPF=21a，由对称性可知A1，0，AB=4，a2+212a2=16，a2=8+42，PB2=16+82，PH=PB2BH2=12+82=2+22，P1，2+22；由对称性可知当点P在x轴下方时，点P的坐标为1，222；综上所述，点P的坐标

12、为1，2+22或1，2222(1)35(2)8156(3)(3,3)或(3,2)（1）解：令y=0，则18x214x3=0解得x=6或x=4A4,0，B6,0当x=0时，y=3；C0,3BC=(60)2+(0+3)2=35（2）解：将点A4,0代入y=x+b得：4+b=0解得：b=4直线AD：y=x+4当x=0时，y=4；D(0,4)CD=7联立方程组y=x+4y=18x214x3解得x=4y=0或x=14y=18设Pt,t+44t14PQy轴Q(t,18t214t3)PQ=t+418t214t3=18t2+54t+7=18(t5)2+818当t=5时，PQmax=818；此时，PQCD=81

13、817=8156PQCD的最大值为：8156（3）解：函数y=18x214x3的对称轴为直线：x=1故其向左平移4个单位长度后的抛物线的对称轴为直线：x=14=3设M(3,m)由A4,0，B6,0，C0,3可得：直线BC：y=12x3；直线AC：y=34x3；AC=OC2+OA2=5由平移的性质可知：AABC设直线AA：y=12x+cA4,012(4)+c=0解得：c=2直线AA：y=12x+2设点A(n,12n+2)由题意可知：AMAC，AM=AC=AC=534m(12n+2)3n=112n+2m2+n+32=52解得：m1=2，m2=3M1(3,2)，M2(3,3)3(1)OD=k，PM=

14、k+3(2)y=34x2+3x+2(3)k=136或k=6或k=13（1）解：把x=0代入y=34x2+3x+k，y=k，OD=k，4acb24a=434k32434=k+3，PM=k+3（2）b2a=3234=2，OM=2，BM=OBOM=2k+32=2k+1，又PM=k+3，PM=BM，k+3=2k+1，k=2，抛物线表达式为y=34x2+3x+2（3）当P在矩形AOBC外时，如图1，过P作PKOA于K点，当AD=AP时，AD=AODO=2kk=k，AD=AP=k，KA=KOAO=PMAO=k+32k=3k，KP=OM=2，在RtKAP中，KA2+KP2=AP2，3k2+22=k2，k=1

15、36，当P在矩形AOBC内部时，PD=AP时，如图2，过P作PHOA于H，AD=k，HD=k2，HO=DO+HD=3k2，又HO=PM=k+3，3k2=k+3，k=6，当DP=DA时，如图3，过D作PQPM于Q，PQ=PMQM=PMOD=k+3k=3，DQ=OM=2，DP=DA=k，在RtDQP中，DP=13，k=DP=134(1)y=12x232x+1(2)P2,0(3)存在，点P的坐标为1,0或3,0解：（1）将B(0,1)，D(1,0)的坐标代入y=12x2+bx+c，得：c=1b+c+12=0，解得b=32c=1，解析式为：y=12x232x+1（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）

16、时，根据三角形两边之差小于第三边得PBPC0， x=6，把x=6代入到yAF=49x49，得y=289，即F坐标为6,289；（3）解：设点P坐标为(a,0)，抛物线解析式为y=49x2+169x+209=49x22+4，顶点E坐标为(2,4)，点E与点H关于点P对称，点B与点Q关于点P对称， H(2a2,4)，Q(2a5,0)， QE2=(2a52)2+(04)2=(2a7)2+42=4a228a+65，HE2=(2a22)2+(44)2=(2a4)2+82=4a216a+80，QH2=(2a52a+2)2+(0+4)2=(3)2+42=25当EQH=90时，则QE2+QH2=HE2，得4a

17、228a+65+25=4a216a+80，解方程得a=56，P坐标为56,0；当QHE=90时，则HE2+QH2=QE2，得4a216a+80+25=4a228a+65，解方程得a=103，P坐标为103,0；当QEH=90时，则HE2+QE2=QH2，得4a216a+80+4a228a+65=25，即2a211a+30=0，=1124230=1190，此方程没有实数根，这种情况不存在；综上所述：点P坐标为56,0或103,09(1)y=x2+2x+3(2)存在；1,6，1,10，1,10(3)518，E32,32（1）解：已知抛物线y=x2+mx+n经过点A1，0，C0，3，则0=1m+n3

18、=n，解得n=3m=2，抛物线表达式为：y=x2+2x+3；（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线x=221=1，则点D坐标为1,0，CD的长为102+032=10,如图1所示，使PCD是以CD为腰的等腰三角形的点P有P1，P2，P3三种情况，其中CD=CP1=DP2=DP3，过点C作CHGD,垂足为点H，CP1=CD，P1D=2HD=2OC=6，P11,6，DP2=CD，P21,10，DP3=CD，P31,10，综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形， P点的坐标为1,6，1,10，1,10，；（3）解：根据题意作图2，过点C作CMFE,垂足为点M，令x2+

19、2x+3=0，则x1x3=0，x1=1，x2=3，故点B坐标为3,0，BD=OBOD=31=2，设直线BC解析式为y=kx+b，过点C0，3，B3,0，3=b0=3k+b，解得b=3k=1，则直线BC解析式为y=x+3，设Eq,q+3，Fq,q2+2q+3，FE=q2+2q+3q+3=q2+3q，SCDBF=SBCD+SECF+SEBF=12BDOC+12EFCM+12EFBN =12BDOC+12EFCM+BN=12BDOC+12EFOB=1223+12q2+3q3=32q23q2=32q322174=32q322+518，故q=32时，四边形CDBF的面积取得最大值为518，此时点E坐标为

20、32,32，10(1)1,0(2)y=33x2+233x+3(3)当m=2或1时，CEF为直角三角形（1）解：把B3,0代入y=ax2+bx3aa0，得0=9a+3b3a，b=2a，y=ax22ax3a，当y=0时，ax22ax3a=0，a0，x22x3=0，解得x1=1,x2=3A1,0，故答案为：1,0；（2）解：由（1）知，b=2a，对称轴为直线x=1设对称轴与BC交于点G，y=ax2+bx3a=ax22ax3a=ax124a，P1,4a，当x=0时，y=ax2+bx3a=3a，C0,3a，设直线BC的解析式为y=mx+n，3m+n=0n=3a，解得m=an=3a，y=ax3a，当x=1

21、时，y=ax3a=2a，G1,2aCB平分PCO，PCG=OCG，COPG，OCG=CGP，PCG=CGP，PC=PG，P1,4a,C0,3a,G1,2a，PC2=PG2，即1+a2=4a2，a=33，a0，a=33，y=33x2+233x+3；（3）DEx轴，EDB=90，DEB90，CEF=DEB，CEF90，当CFE=90时，CFOB，对称轴为直线x=1，此时m=2；当ECF=90时，设直线CF交x轴于点H，当x=0时，y=33x2+233x+3=3， C0,3，B3,0，tanOCB=3，OCB=60，HCO=30tanACO=OAOC=33，ACO=30，H与A重合，此时m=1；综上

22、，当m=2或1时，CEF为直角三角形11(1)24(2)P(154,2316)(3)存在，M3,5或M3332,1+332（1）解：把A(2,0),B(4,0)代入y=x2+bx+c，得42b+c=016+4b+c=0，解得b=2c=8，y=x2+2x+8；c点坐标为0,8，SABC=12ABOC=1268=24（2）解：如图2，作PDAB于点DPAB=ACO，ADP=AOC，PABCAO，PDOA=ADOC，当x=0时，y=8,C0,8，设Pp,p2+2p+8，PD=p2+2p+8，AD=p+2，p2+2p+82=p+28，解得p1=154，p2=2（舍去），p2+2p+8=2316，P(1

23、54,2316)；（3）解：如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线y=2的垂线，垂足为F，过点C作直线MF的垂线，垂足为ECMN是等腰直角三角形，CM=MN,CMN=90，CMN+NMF=90，CMN+MCE=90，NMF=MCE，CEM=NFM=90，CEMNFNAAS，CE=MF当x=0时，y=8,C0,8，设Mm,m2+2m+8，CE=m，MF=m2+2m+82=m2+2m+6，m2+2m+6=m，解得m1=3，m2=2（舍去），m2+2m+8=5，M3,5如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线y=2的垂线，垂足为H，过点C作直线MH的垂线，垂足为G同理可

24、得：CG=MH设Mm,m2+2m+8，CG=m，MH=m2+2m+6，m2+2m+6=m，解得m1=3332，m2=3+332（舍去），m2+2m+8=1+332，M3332,1+332点M的坐标为M3,5或M3332,1+33212(1)A(2)t4，或t12(3)m=7，或m=3(4)333，或33解：（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”这段话是我国著名数学家华罗庚所说故选：A（2）次函数的对称轴为x=1，m=1，二次函数的解析式为：y=x22x3，当3x2时，y的取值范围是：4y12，要使得关于x的一元二次方程x22mx+m24t=0（t为

25、实数）在3x2的范围内无解，则t的取值范围是： t1时，在x=1处取得最小值，即1+2m+m24=12，解得：m=3，或m=5（舍）；当3m1时，在x=m处取得最小值，即m22m2+m24=12，此时方程无解；当m0直线OE为y=3tx，由y=3txy=x3可得E3t3+t,93+t，DEF为等腰三角形时，当DF=EF，可得：3t3+tt2+93+t32=t32，化简整理得：t2=3，解得：t1=3，t2=3（舍）DF=33当DF=DE，可得：3t3+t32+393+t2=t32，化简整理得：t2=27，解得：t1=33，t2=33（舍）DF=333综上所述：DF=33，或DF=333学科网（北京）股份有限公司