中考数学专题复习：二次函数与等腰直角三角形存在性问题.docx

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1、中考数学专题复习：二次函数与等腰直角三角形存在性问题解题方法:先直角，再等腰，先直角三角形讨论，分类讨论以每个顶点为直角顶点，也就是这个顶点的角是直角，用两线一圆讨论存在三种直角三角形存在，然后使两直角边相等，这就构成了等腰三角形三角形。计算方法，一线三垂直全等模型。因为有直角，可以构造一线三等角模型，因为直角边相等，构成三角形全等，从边长相等，来确定点的坐标例题1如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，

2、当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C(1)求函数表达式及顶点坐标；(2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标；(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由3二次函数的图象交轴于，

3、两点，交轴于点动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接设运动的时间为秒(1)求二次函数的表达式；(2)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标4如图，在等腰直角三角形中，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；(2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积；(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于

4、A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点作垂直于交直线于点E，求的最大值(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点N的坐标，并选取一种情况证明；若不存在，请说明理由6如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点(1)求此二次函数解析式和点C的坐标；(2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，二次函数的图象与轴交于点

5、、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点(1)求二次函数的表达式(2)当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标(3)如图，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由8在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E(1)写出点A，点B的坐标；(2)直线上是否存在一点F，使得是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由试卷第3页，共4页学科网（北京）股份有限公司学科网（

6、北京）股份有限公司参考答案：1(1)(2)时，四边形的面积最小，最小值为4(3)存在，【分析】（1）待定系数法进行求解即可；（2）过点P作轴，垂足为H，利用，将四边形的面积转化为二次函数求最值，即可得出结果；（3）过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，证明，进而求出点的坐标，代入解析式，进行计算即可得解【详解】（1）解：二次函数的图象经过点A，B，则 ，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为，是等腰直角三角形，由点P的运动可知：，过点P作轴，垂足为H，如图，即，又，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，当时，四边形的面积最小，最小值为4；（3）存在假设点M是线

7、段上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，是等腰直角三角形，又，在和中，又，点M的坐标为，点M在抛物线上， 解得：或（舍），M点的坐标为【点睛】本题考查二次函数的综合应用正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键2(1)；(2)(3)存在；或或或【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）先求出直线的解析式，设点，则，则，根据，列出关于m的方程，解方程即可；（3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，得出，求出s的值即可【详解】（1）解

8、：把点、代入得：，解得：，顶点坐标为：；（2）解：把代入得：，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，设点，则，解得（舍去），；（3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示：，设点，则，当时，解得：或；当时，解得：或；综上分析可知，点M的横坐标为：或或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明3(1)(2)或【分析】（1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可；（2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，

9、解得或，代入求值即得出答案【详解】（1）解：将 ， 代入中，得： ，解得： 二次函数的表达式为（2）解：，设，则，将代入整理得：，解得：或将或分别代入中，或【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算4(1)，(2)7(3)存在，【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为的形式即可；(2)过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理

10、求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据线段扫过区域的面积为，求解即可；(3)当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可【详解】（1）解：点在二次函数的图象上，解得：，二次函数的解析式为，；（2）解：过点C作轴，垂足为K为等腰直角三角形，又，又，在和中，当点B平移到点D时，设，则，解得（舍去）或 线段扫过区域的面积为：；（3）解：存在；当时，过点P作轴，垂足为G为等腰直角三角形，又，在和中，当时，点不在抛物线

11、上当，过点P作轴，垂足为F同理可知：，当时，点在抛物线上，综上，所有符合条件的点P的坐标为【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键5(1)，(2)(3)（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；（2）过点P作轴交BC于点D，则是等腰直角三角形，即当最大时，最大，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，由二次函数的性质可得出答案；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与

12、x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，证明MENOFM（AAS），可得OFEM1，设点M坐标为（1，a），可得NEMFa，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标【详解】（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，得：，解得：，二次函数得表达式为；设BC的函数表达式为，把点B，点C的坐标代入可得：，解得：，直线BC的函数表达式为：；（2）如图，过点P作轴交BC于点D，则是等腰直角三角形，即当最大时，最大，轴，点P和点D的横坐标

13、相同，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），当时，有最大值，这时，（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作于点E，为等腰直角三角形，且为直角，又，二次函数的对称轴为直线，设点M坐标为，则，点N在抛物线上，整理得：，解得：，负值舍去，N（，），当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，同理可得：点N坐标为（，）；综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数

14、与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键6(1)，(2)存在，【分析】（1）根据二次函数的图象与轴交于，两点，写出二次函数的解析式，即可；（2）过点P作于，根据等腰直角三角形的性质可得，设，可得，可得到关于x的方程，即可求解【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，二次函数解析式为：，令，则，（2）解：存在，如图，过点P作于，为等腰直角三角形，设，即，解得：，位于第一象限，则舍去， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析

15、式，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，掌握“利用待定系数法求解二次函数的解析式”是解本题的关键7(1)(2)或或(3)的面积不变，为4【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）分两种情况：，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可得，再由的面积是面积的4倍，可得，设点，可得点的坐标可表示为，再求出直线的解析式；当在轴下方时，同理可求出点的横坐标为或，即可；（3）以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，可证得，从而得到，进而得到，再由两条平行线之间的距离相等，可得在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，即可【详解】（1）解：二次函数经过、，

16、代入得，解得，所以二次函数的表达式为（2）解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，设点，点的坐标可表示为，为二次函数与轴交点，设直线的解析式为，把点，代入得：解得：直线的解析式为，在上，解得或即此时点P的坐标为或；如图所示，当在轴下方时，同理可求出点的横坐标为或，当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去，综上所述，点的横坐标为或或（3）解：如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，和均为等腰直角三角形，两条平行线之间的距离相等，在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，在等腰直角三角形中，综上所述，的面积不变，为4【点睛】本题是二次函数综

17、合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解8(1)A、B两点的坐标分别为和(2)存在，或或3或【分析】（1）当y=0时，有，解方程即可求得A、B两点的坐标；（2）分三种情况讨论：当时；当时；当时；对三种情况，分别作适当的辅助线，构造全等三角形，由全等三角形的性质及相关已知即可求得m的值【详解】（1）解：当y=0时，有，解之得：， A、B两点的坐标分别为和（2）解：存在对于，令，则，；当时，如图1， 过点F作轴于G，若点F在的下方，则，或当时，如图2，过点F作轴于P， ， ，；若F点在下方，则，或当时，如图3， 则F点一定在的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F，分别过F，F两点作x轴、y轴的垂线，分别交于M，G，N，H， 四边形为正方形， ， 四边形为正方形， y的最大值为 直线l与抛物线有两个交点， m可取值为或或3或综上所述，m的值为或或3或【点睛】本题有一定难度，考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形、正方形的判定与性质及全等三角形判定与性质，要求对这些知识熟练且能灵活运用，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考能力，同时注意m的取值范围答案第21页，共18页