矩阵论的应用(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵论的应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）广义逆在多元分析中的应用刘雯雯 信通院 学号：B098035摘 要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling1和张尧庭教授2先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。关键词：特征值 广义相关系数 典型相关系数 正交阵 可逆矩阵1.引言方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为

2、此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 后来物理学家.迪拉克引进了术语行-列(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语列-行(ket-bra)表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的. 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研

3、究也就越来越重要1。矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。近三十年矩阵研究中一些与统计学有密切关系的新发展，包括它们在统计中的应用，这些研究结果一开始就渊源于统计问题。本文皆在向读者介绍矩阵论中并与统计学密切有关的如下几个方

4、面：矩阵偏序、矩阵不等式、广义逆矩阵等，这些方面与统计学息息相关，特别是在多元分析和线性模型参数估计中都有着重要的应用。广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。广义逆矩阵是上世纪矩阵理论的一项极为重要的新发展7，广义逆的概念最早由Redholm于1908年提出的，他给出TFredholm积分算子的广义逆，Hurwitz于1912年利用有限维Fredholm积分算子的零空间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，Hilbert于1904年讨论广义Green函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了微分算子的广义逆，特别是Myller、westfall、Reid等。1920年，Moore首次提出了矩阵的

5、广义逆，他利用投影矩阵定义了唯一的广义逆。Bjerhammer在不知道Moore结果的情形下，重新提出了广义逆矩阵的定义，利用广义逆给出了线性方程组的解。Bott和Duffin在研究电网络理论时，引进了后来被称为Bott-Duffin广义逆。但这时期的研究工作是零散的。在Penrose1955年证明了Moore所定义的广义逆是满足四个矩阵方程的唯一的矩阵之后，广义逆矩阵得到迅速发展并在应用学科的诸多领域获得广泛的应用。近四十年来，广义逆矩阵理论在最优化、数理统计、算子理论、经济学和计算数学等众多数学分支和工程科技领域发挥了重大作用。尤其在研究最小二乘问题、病态线性、非线性问题，回归，分布估计，

6、多元分析等统计问题，规划问题，控制论，网络问题的过程中，广义逆是不可或缺的研究工具。 若A为非奇异矩阵,则线性方程组Ax=b的解为x=A(-1)b，其中A的A的逆矩阵A(-1)满足A(-1)A=AA(-1)=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,Ax=b可能无解或有很多解。若有解,则解为x=Xb+(I-XA),其中是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用Ag、A-或A(1)等符号表示,有时简称广义逆。当A非奇异时,A(-1)也满足AA(-1)A=A,且x=A(-1)b+(I-A(-1)A)=A(-1)b。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩

7、阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。 1955年R.彭罗斯证明了对每个mn阶矩阵A,都存在惟一的nm阶矩阵X，满足：AXA=A；XAX=X；(AX)*AX；(XA)*XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非奇异时，A(-1)也满足,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组Axb的最小二乘解中,xA(-1)b是范数最小的一个解。广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的非凡方法。本文介绍了Moore-Penrose广义逆在多元分析中的应用。多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关

8、系。对于不同类型的矩阵A和B，讨论了随机向量和y的典型相关系数与Ax和By的典型相关系数之间的关系，从而得到了x和y的广义相关系数与Ax和By的广义相关系数之间的关系。设x ,y分别为p1和q1随机向量，它们的方差阵和协方差阵分别为从而 （1.1）矩阵V+yy Vyx V+xx Vxy的特征值都是非负的且都不大于1,非零特征值设为。其中矩阵A+表示A的Moore -Penrose广义逆。由典型相关系数的定义知，称为典型相关系数，它在典型相关分析中起着重要作用。2.广义逆矩阵广义逆矩阵的研究可以追溯到1935年的Moore的著名论个条件：定义了A的广义逆X。但是，在此后的20年中，这种广义逆几乎

9、没有引起人们的多少注意，直到1955年，Penrose证明了满足上述条件的广义逆具有唯一性后，广义逆的研究才真正为人们所重视，基于这个原因人们把满足上述四个条件的的广义逆称为Moore-Penrose广义逆。本节主要介绍以下两种经常应用的广义逆：2.1广义逆A-定义2. 1对矩阵Amn,一切满足方程组的矩阵X，称为矩阵A的广义逆，记为A-。 下面的定理解决了A-的存在性和构造性问题。定理2.1设A为m n矩阵，rk (A) =r，若这里P和Q分别为m m，n n的可逆阵，则这里B，C和D为适当阶数的任意矩阵。下面的两个定理圆满地解决了用广义逆矩阵表示相容线性方程组集的问题。定理2.2设Ax =

10、b为一相容方程组，则(1)对任一广义逆A-，x=A-b必为解；(2)齐次方程组Ax=0的通解为x =(I -A -A )z，这里z为任意的向量，A-为任意固定的一个广义逆；(3)Ax =b的通解为其中A-为任意固定的一个广义逆，z为任意的向量。定理2. 3设Ax =b为相容线性方程组，且b0，那么，当A-取遍A的所有广义逆时，x =A- b构成了该方程组的全部解。下面一定理讨论分块矩阵的广义逆。定理2.4(分块矩阵的广义逆)(1)若A11-1存在，则 (2)若A22-1存在，则 (3)若则或其中，2.2广义逆A+从上段的介绍知，一般来说广义逆A-有无穷多个。在这无穷多个A-中，有一个A-占有特

11、殊的地位，它就是本节一开始提到的Moore-Penrose广义逆。定义2. 2设A为任一矩阵，若X满足下述四个条件：则称矩阵X为A的Moore-Penrose广义逆，记为A+。引理2.1(奇异值分解)设A为mn秩为r的矩阵，则存在两个正交阵Pmm和Qnn，使得其中而为A*A的非零特征值。定理2. 4(1)设A的分解式满足上式，则(2)对任何矩阵A，A+惟一。因为A+是一个特殊的A-，因此，它除了具有A-的全部性质外，还有以下性质：定理2. 53.随机向量的典型相关系数和广义相关系数对于不为零的常数a ,b，显然，ax与by的典型相关系数和x与y的典型相关数是相同的。下面分别讨论对于不同类型的矩

12、阵A, B ,Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数之间的关系（参见文献3）。定理3.1设A和B分别是p p和q q可逆方阵，并且AV+xxVxx=V+xxVxxA, BV+yyVyy=V+yyVyyB, 则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：因为 （3.1）故Ax与By的典型相关系数i0满足下列方程： （3.2）其中I是单位矩阵。下面验证 （3.3）事实上，注意到：，所以同理，这就验证了（3.3）式的成立。把（3.3）式代入（3.2）式得：（3.4）从而证明了i是x与y的典型相关系数。由于广义相关系数是用典型相关系数定义的（参见文献4），故有推论3.1当满足（3

13、.3）式时，随机向量x与y的广义相关系数和Ax与By的广义相关系数相同。定理3.2设A是pp可逆阵，B是qq可逆阵，x与y分别为p维和q维随机向量，且Vxx，Vyy也都可逆，则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相同。证明：由于所以Ax与By的典型相关系数i0满足 （3.5）由于A，B，Vxx，Vyy都可逆，上式易化为 （3.6）这样就证明了定理3.2。推论3.2 在定理2.2的条件下，Ax与By的广义相关系数与x和y的广义相关系数相同。定理3.3 设A是np列正交阵，B是mq列正交阵，则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：因为Ax与By的典型相关系数i满足 （

14、3.7）注意到A，B都是列正交阵，据3.2知代入（3.7）式得 （3.8）又因为对矩阵D,F，我们易证DF与FD的非零特征值是相同的。从而由（3.8）式得这就证明了i是随机变量x与y的典型相关系数，定理证毕。推论3.3当A， B是列正交时，Ax与By的广义相关系数和x与y的广义相关系数相等。定理3.4设A是np列满秩阵，B是mq列满秩阵，Vxx，Vyy可逆时，则Ax与By的典型相关系数和x与y的典型相关系数相等。证明：设A, B的谱分解分别为其中P1，P2，Q1，Q2都是列正交阵，1，2是主对元素大于零的对角矩阵。令i0是Ax与By的典型相关系数，则i是下列方程的解。 （3.9）把A，B的谱分

15、解代入上式，并注意到P1，P2，Q1，Q2的正交性，上式可化为： （3.10） 由于Vxy，Vyy，1，2 ，Q1，Q2都是可逆阵，故代入（3.10）式即得定理由此获证。推论3.4 设A是np列满秩阵，B是mq列满秩阵，Vxx，Vyy可逆，则Ax与By的广义相关系数和x与y的广义相关系数相同。4.小结 本文，利用Moore-Penrose广义逆矩阵讨论了它在多元分析中的一个应用-比较随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。对于不同类型的矩阵A和B，讨论了随机向量x和y的典型相关系数与Ax和By的典型相关系数之间的关系，从而得到了x和y的广义相关系数与Ax和By的广义相关系数之间的关系。

16、典型相关系数和广义相关系数在多元统计中发挥着重要的作用，例如，王松桂5讨论了广义相关系数与估计效率；朱显海，杨学锋6讨论了广义相关系数与估计的稳健性。正因为典型相关系数和广义相关系数在统计中有着重要的应用，本文讨论了它们之间的关系。参考文献：1.Hotelling H.,Relation Betnween Two Sets of Vriates,Biometrika，1936，36：321-377.2.张尧庭，广义相关系数及其应用，应用数学学报，1978，1（4）：312-3203.张建芝，刘栋富，随机向量的典型相关系数和广义相关系数，中国科技信息，2021，(6)：268-269.4.张尧庭

17、，方开泰，多元统计分析引论，北京：科学出版社，1983.5.王松桂，广义相关系数与估计效率，科学通报，1985，19：1521-1524.6.朱显海，杨学锋，广义相关系数与估计的稳健性，东北师大学报，1995，3：1-5.7.王松桂,杨振海,广义逆矩阵及其应用,北京:北京工业大学出版社,2006.学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名： 学 号：专 业： 数学与应用数学 指导老师：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesI

18、n Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘 要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，

19、其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on

20、the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify

21、 matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matr

22、ix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutorymatrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomialII目 录摘要I AbstractII 绪言1 课题背景1 目的和意义 1 国内外概况 1 预备知识2 相关概念2 矩阵的对角化4 特殊矩阵的对角化 14 矩阵对角化的应用 22 总结 24

23、 致谢 25 参考文献 26 独创声明 28III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的高等代数一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩

24、阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的

25、和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理

26、证明的理解.定义1 常以Pmn表示数域P上mn矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2 n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵TPnn，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：反身性：A=E-1AE； 对称性：若A相似于B，则B相似于A； 传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3 n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵TPnn，使得B=TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：反身性：A=ETAE；对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；传递性

27、：由A1=T1AT1和A2=T2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).b10 0b2 定义4 式为 00 的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数bm000T（i=1,2,m).定义5 方阵APnn，若A=T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化.定义6 方阵APnn，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：互换矩阵的第i行(列)于j行(列)； 用非零数cP乘以矩阵第i行(列)；把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵：单位矩阵经过初等变换得P(i,j)且P

28、(i,j)-1=P(i,j)；单位矩阵经过初等变换得P(i(t)且P(i(t)-1=P(i(1/t)；单位矩阵经过初等变换得P(i,j(t)且P(i,j(t)-1=P(i,j(-t).定义9 设方阵BPnn，若B2=E，就称B为对合矩阵.定义10 设方阵APnn，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵CPnn，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义 12 设方阵APnn，P，若存在向量，满足Al=X，我们就称是A的特征值，X是A属于特征值的特征向量.定义13 APnn，定义mA()为矩阵A的最小多项式 ，mA()的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA()首项系数是1.33

29、 矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果1，k是矩阵Q的不同的特征值，而i1,，iri是属于特征值i的线性无关的特征向量，i=1,2,k，那么11,1r，,k1，kr也线性无1k关.证明：假设t1111+t1212+t1r11r1+tk1k1+tkrkkrk=0，令ti1i1+tijP，+tikiiki=i，则Qi=ii（i=1,2,k）， 且 1+2+k=0 （1）分别用E,Q,Q2,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmi=ii，（m=1,2.k-1;i=1,.,t),由此有k=0,1+2+.+.=0,Kk1

30、12222211+22+.Kk=0,.k-1k-1k-1+.1122kk=0.该线性方程组的系数矩阵为1111 2kD= 1，D为范德蒙行列式，又由i(i=1,2.k)互异有D0. k-1k-1k-1 2 k1根据克拉默法则就有i=0，即ti1i1+tikiiki=0，再由i1,.,iri线性无关得：ti1=ti2=.=tiki=0(i=1,2.k) ，故11,.,1r1.,iri.,krk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 QPnn与对角阵相似Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化存在可逆矩阵T=(T1,T2，Tn)使得40011 22T-1QT

31、= QT=T，即 0 nn0(QT1,QT2,QTn)=（T1,T2,Tn).因此Q可以对角化存在Ti（i=1,2,n）P使得QTi=iTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵QPnn有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 1,2,.,t（互不相同）是BPnn的特征值，iP(i=1

32、,2,.,t)， B可对角化r(iE-B)=(t-1)n （r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(iE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(iE-B)，我们可以得到关于i的线性无关的特征向量的个数是n-r(iE-B)（i=1,2,.,t)，再由引理1推出矩阵B有(n-r(iE-B)个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化B有n个线性无关的特征向量 (n-r(E-B)=n， ii=1ttr(E-B)=(t-1)n. ii=1定理3 QPnn与对角矩阵相似的充要条件：iP(i=1,2.,t)且n-(iE-Q)=ri (ri表示i的代数重数).证明：设i的线性无关的

33、特征向量为i1,i2,.,iri，由引理1有：511,12,.,1r,.,ir,.,tr线性无关. 1it若r1+r2+.+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量Q可以对角化. 若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n. 否则根据定理1就可以推出1,2,.,t线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,BPnn，则有r(A+B)r(A)+r(B).证明：先证rankA,Brank(A)+rank(B)(2). 根据矩

34、阵秩的定义有rA,Bn2n阶矩阵A,B的线性无关的行数方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数r(A)+r(B).E对方阵矩阵B+A=B,A，由(2)式有r(B+A)rA,B，所以Er(A+B)r(A)+r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)r(A)+r(B)-n.COCT证明：先证r(C)+r(D)=r ODr OD（3），其中T为任意n阶方阵.显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M10，D有q阶子式M20.CT于是 OD有p+q阶子式 M1*=M1M20, OM2CT因此r ODp+q=r(C)+r(D). 要证r(AB)r(A

35、)+r(B)-n，只需证明：运用分块矩阵的初等变换有：6 r(AB)+nr(A)+r(B)En OOEn ABAOEn ABA-B-BEn O， OA有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：-BEn r(AB)+n=r r(A)+r(B). OAEp另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD= OOO-1O-1 D ，若令C OOEn-p=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1. 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)r(AB)+r(H)r(AB)+n-p.引

36、理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，CPnn分别为ij,jk,kt矩阵，则r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)r(AB)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而OEAABCOEOOEAB = OE O -CE EO B-BC， B也即ABABOABCOABCABO ， O BOB-BCBB-BC再有定理(3)就得OABCOAB rank =rankrank(AB)+rank(BC). O BB-BC推论3设B1,B2,.,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2

37、)+.+r(Bt)(t-1)n+r(B1B2.Bt).定理4 设n阶方阵QPnn，12，且(1E-Q)(2E-Q)=0，则Q可对角化. 7证明：由12，(1E-Q)(2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为1或2，根据引理2，引理3得：r(1E-Q)+r(2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4 设n阶方阵QPnn,1,2,.,t两两互不相等，若(1E-Q)(2E-Q)(t-1E-Q)(tE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个

38、数为n-r(1E-Q)+n-r(2E-Q)+.+n-r(tE-Q)=tn-(r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(1E-Q)+r(2E-Q)+.+r(tE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5 设1,2,.,t（互不相同）是QPnn的的特征值，重数分别为s1,s2,.,st且s1+s2+.+st=n，Q可对角化(E-

39、Q)=0. ii=1t证明：先证明必要性1 Q与V= 2相似，则存在非奇异矩阵T满足 T8 1E1Q=TVT-1=T 2E2T-1，tEt其中Ei(i=1,2,.t)为si阶单位矩阵，于是(iE-Q)=T(iE-V)T-1 (i-1)E1=T (i-2)E2-1T，(i-t)Et从而有tt(-1iE-Q)=T(iE-V)Ti=1i=1 (i-1)E1i=T (i-2)E2iT-1.(i-t)Eti由于(i-j)Ej=0(j=1,2,.,t)，因此i(iE-Q)=0. i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得 J1Q=TJT-1 J=T 2T-1，JtJi(i=1,2,.,t)是Jor

40、dan块，若Jj=jEj(j=1,2,.t)，Q就可以对角化，而(iE-Q)=T(iE-J)T-1 (i-J1)E1=T (Ji-2)E2T-1，(i-Jt)Et9(i-J1)E1 i (E-Q)=Ti i i(ii-J2)E2T-1. (i-Jt)Eti所以，若(iE-Q)=0，则因T可逆有(iEi-Jj)=0(j=1,2,.,t)，又因为当ij时，(ij)0，(iEj-Jj)可逆，所以(jEj-Jj)=0，即jEj=Jj(j=1,2,.,t). 引理4 XPnn,1,2m.是X的关于特征值的特征向量，我们有kiii=1m（ki,i=1,2,.,m不全为0，kiP）也是X的关于的特征向量.证

41、明：已知Xi=i，则kiXi=kii，也即Xkii=kii，因此Xkii=kii，i=1i=1mm又ki不全为0，因此kii0，由特征向量的定义有kii是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值得特征向量.定理6 1,2,.,t(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,.,st，则方阵Q与对角矩阵相似r(Aj)=sj(j=1,2,.,t),Aj=(iE-Q).ij证明：先证必要性.Q可对角化存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(1,2,.,t)T-1，从而Aj=(iE-Q)ij(i-1)E1 ij =T (iji-2)E2-1T (i-t)Etij10O1 =T (iji-j)Ej-1T， Ot其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,.,t). 因T可逆，且ij，所以有r(Aj)=r(i-j)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,.,t).ij再证充分性：用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(qE-Q)n-sq，于是当jq时，由引理3有sj=r(iE-Q)r(iE-Q)-(t-2)nijij(n-sj)-(t-2)nij=(t-1)n-(t-2)n-siij=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7 1,2,.,t(互不相同)是n级方阵QPnn的所有特征