矩阵的概念及运算(完整版)实用资料.doc

《矩阵的概念及运算(完整版)实用资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的概念及运算(完整版)实用资料.doc（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、矩阵的概念及运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第二章 矩阵2.1 矩阵的概念及运算授课题目 2.1 矩阵的概念及运算 授课时数：4课时教学目标：掌握矩阵的定义，矩阵的运算包括加法、数乘、乘法矩阵的运和转置的定义及运算规律。几个特殊矩阵 -单位矩阵 ，三角形矩阵，对称矩阵，反对称矩阵教学重点：，矩阵的运算包括加法、数乘、乘法矩阵的运和转置的定义及运算规律。教学难点：矩阵的计算及对称矩阵，反对称矩阵的证明教学过程：一矩阵的定义及表示1. 实例假设在一地区，一物资有s个产地和n个销售地，其物资调运方案为销地产地2. 矩阵的定义定义1 由数域个数列的一个数表 称为

2、数域个，简称矩阵，通常用大写字母表示矩阵。3. 矩阵的表示三种表示法：矩阵与行列式的区别：数，表。4. 方阵-行数等于列数的矩阵行向量 -的矩阵 列向量-的矩阵5. 矩阵的初步运用坐标变换 两组变量的线性关系线性方程组的系数矩阵与增广阵.同形矩阵与相等矩阵定义2 两个矩阵，当它们的行数和列数分别相等时，称为同形矩阵。当它们的对应位置元素也相等时，即 则称矩阵二矩阵的运算1. 加法1）定义定义3 设是两个同形矩阵，则称矩阵的和，记作2）运算规律 交换律 ； 结合律 ； ； 移项法则2. 矩阵的数乘1）定义定义4 设。2）运算规律 其中* 关于加法与数乘的运算规律与向量空间定义中的8条是一致的，实

3、际上构成向量空间。3. 矩阵的乘法1）定义定义5 设规定 乘积称为向量的行列积。定义6 设，记作 其中 示意图： 例1 例2 例3 线性代入的矩阵表示，线性方程组的矩阵表示。2）注意事项 矩阵的乘法不满足交换律（1）；（2）都有意义，但不同形；（3）都有意义且同形，但 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵. 矩阵乘法不满足消去律。即若 ； 列是3）运算规律 乘法对加法的分配律： 乘法结合律：证明 设，显然（AB）C与A(BC)都是的矩阵。令 于是（AB）C=VC，A（BC）=AW,VC的第 i行第l 列元素为 从而（AB）C=A（BC） 数乘与乘法结合律： 对有 4方幂 定义 A的m次幂为 式中m是

4、整数，约定 指数法则 矩阵多项式的可代入性设 是数域F上的一元多项式，而A是F上的一个n阶方阵，那么 有确定意义，它也是F上的一个n 阶方阵，我们将它记为f(A),即为如果f(x),g(x)是F上的一元多项式，A是F上的一个n 阶方阵令U(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x),那么由矩阵的运算规律容易得出U(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A),5转置1）定义定义7 设矩阵 把的行依次变成列所得到的矩阵，叫做的转置记为，即 2）运算规律 ； ； ； （穿脱原理）* 、可推广到多个的情形三几类特殊的矩阵1. 对角阵 2. 乘量矩阵 3三角形矩阵 定义 主对角下方元

5、素全为零的n 阶矩阵称为上三角形矩阵，主对角上方元素全为零的n 阶矩阵称为下三角形矩阵上三角形矩阵形状为 下三角形矩阵形状为 容易验证，两个n 阶上（下）三角形矩阵的和与乘积仍为上（下）三角形矩阵4. 对称矩阵与反对称矩阵定义9 设A是n阶方阵，如果，则称A为一个n阶对称矩阵，如果，则称A为一个 n 阶反对称阵。对称阵反对称阵 或 对称阵 反对称阵l 反对称阵的主对角线上的元素均为0。第二章 矩阵基本要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵并会求逆矩阵，了解分块矩阵。矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。1矩阵的概念已知n元线性方程组的系数及常数项可以排成m行，n

6、+1列的有序矩阵数表： 说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断（1）的解的情况。定义1. 由个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素。根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。下面给出一些特殊矩阵：1 行矩阵 m=1 2 列矩阵 n=1 3 零矩阵 4 方阵 ，称为n阶方阵。5 单位矩阵 称为n阶单位矩阵。应用举例：例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中为工厂向第店发送第种产品的数量。这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。例2 北京市某户居民第三季度每个月的水（单位：）、电（单

7、位：）、天然气 （单位：）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即2矩阵的运算一、矩阵的加法设 称为同型矩阵（行列数均相等）。1 相等 2 加法 加法律 （1） （2）例3. 求矩阵，使，其中 ，解：。二、数与矩阵的乘法运算律：（1）； （2）；（3） 注：矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。例4 设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位）为：已知货物每吨的运费为2.40元/. 那么，各地区之间每吨货物的运费可记为 三、矩阵的乘法1线性变换与线性变换的乘积。设有两个线性变换 其系数矩阵 其系数矩阵 将代入，可得从到的线性变换： 称为与的乘积。相应地，称的系数矩阵为与的系数矩

8、阵的乘积，记作： 一般地，我们有2 矩阵与矩阵的乘法定义2. 设 则规定与的乘积是一个矩阵，其中并记作注：(1. 一行与一列相乘故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。(2. 只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）例5 设 ， 求解 得 注：是不可行。例6 设，求及。解： 由此发现： （1），（不满足交换律）（2），但却有。3 矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）（1） 结合律（2） 分配律（3） （4） ， （单位矩阵的意义所在）4 n阶方阵的幂设是n阶方阵，则定义 或 规律： ，其中为正整数。但一般地，为n阶方阵。例7 计算解： 设 ， 则 ，假设，则 ，于是由归纳法知，对

9、于任意正整数n，有例8 令，则线性方程组可用矩阵乘积表示出：。四、转置矩阵定义3 . 把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作（或）。例如：，运算律： （1）； （2）；（3）； （4）证明： 仅证（4）设，记，于是按矩阵乘法公式.而的第行为 ， 的第列为 ， 因此即 ， 亦即 。例9 已知， 求解：（法一） 所以 （法二） 小结：1矩阵的概念2矩阵的运算：加法，数乘，乘法，幂，转置3相应运算的运算律思考题：试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。若，则称为幂等矩阵。试证：若为幂等矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是.错误证法：由条件，知 或，或，当时，显然成立。当（或

10、）时，且成立。当时，而，即也成立。综上可知，为幂等矩阵的充要条件为。答案：从推得，是不对的，得出这样的结果是作出了如下推导：，故或，即.这里的错误在于：与数的乘法运算相混淆了。数若满足，则必有或；但对于矩阵来说，不能推出或.正确解法：因为，于是故的充分必要条件是，即.作业习题2-21. 2. 3. 4.、 5.一、矩陣運算的範例輸入Matlab指令說明執行結果a=1 2 3;4 5 6;7 8 9輸入3 3矩陣a1 2 34 5 67 8 9b=1 2 4;6 8 9輸入2 3矩陣b1 2 46 8 9c=1;4;5輸入3 1矩陣c145d=1 2; 4 6; 8 9輸入3 2矩陣d1 24

11、68 9c d將c,d合併為一3 3的矩陣1 1 24 4 65 8 9a*b計算17 4938 11859 187c*c計算1 4 54 16 205 20 25a.2將a矩陣的每個元素平方1 4 916 25 3649 64 81b./2將b矩陣的每個元素除以23.5000 1.0000 2.00003.0000 4.0000 4.5000tril(a)取a矩陣的下三角矩陣1 0 04 5 07 8 9triu(a)取a矩陣的上三角矩陣1 2 30 5 60 0 9zeros(2,3)建立一2 3的零矩陣0 0 00 0 0ones(2,3)建立一2 3的矩陣且元素均為11 1 11 1

12、1eye(3)建立一3 3的單位矩陣1 0 00 1 00 0 1c*ones(1,3)建立一3 3的矩陣且各列元素相同1 1 14 4 45 5 5二、解聯立方程式的範例試解 方法一：以高斯-喬丹消去法求解輸入Matlab指令執行結果a=2 3 -4 ;5 -7 -3 ;1 5 11 2 3 -4 5 -7 -3 1 5 11b=1;2;-312-3augmtx=a b2 3 -4 15 -7 -3 21 5 11 -3c=rref(augmtx)1.0000 0 0 0.1338 0 1.0000 0 -0.0845 0 0 1.0000 -0.2465sol=c(:,4)0.1338-0

13、.0845-0.2465方法二：以逆矩陣法求解輸入Matlab指令執行結果sol=inv(a)*b 0.1338-0.0845-0.2465三、Matlab中冒號（：）的使用範例1. 向量的產生輸入Matlab指令說明執行結果x=1:5建立由1到5的列向量且增量為11 2 3 4 5y=0:pi/4:pi建立由0到的列向量且增量為/40 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416z=6:-1:1建立由6到1的列向量且增量為-16 5 4 3 2 1a=1 2 3;a(:)將列向量a變成行向量1232. 子矩陣的產生輸入Matlab指令說明執行結果a=1 3 5 7 9;3 4 1

14、2 5;0 1 2 3 6建立3 5的矩陣1 3 5 7 93 4 1 2 50 1 2 3 6b=-1*ones(3,3)建立3 3的矩陣且元素均為-1-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1a(2,3)取a矩陣之第2列第3行的元素1a(3,4)取a矩陣之第3列第4行的元素3a(:,3)取a矩陣的第3行512a(2,:)取a矩陣的第2列3 4 1 2 5a(2:3,1:4)取a矩陣的第2列到第3列及第1行到第4行的子矩陣3 4 1 20 1 2 3a(:,2 4 5)=b(:,1:3)將a矩陣的第2,4,5行以b矩陣的第1行到第3行取代1 -1 5 -1 -13 -1 1 -1 -1

15、0 -1 2 -1 -1c=1 2;3 4;c(:)將c矩陣變成行矩陣1234四、基本運算指令的使用範例假設，輸入Matlab指令說明執行結果sort(a)將a向量的元素由小到大排序2 4 6 7length(a)求向量的元素數目4size(b)求矩陣的列、行數3 3sum(a)將a向量的元素相加之結果19cumsum(a)將a向量的元素累加後形成新的向量2 9 13 19sum(b)將b矩陣各行的元素相加後形成的列矩陣12 15 18cumsum(b)將b矩陣各行的元素累加後形成新的矩陣1 2 35 7 912 15 18prod(a)將a向量的元素相乘之結果336cumprod(a)將a向

16、量的元素累加後形成新的向量2 14 56 336prod(b)將b矩陣各行的元素相乘後形成的列矩陣28 80 162cumprod(b)將b矩陣各行的元素累乘後形成新的矩陣1 2 34 10 1828 80 162l 應用練習：1. 假設，試以矩陣的乘法配合ones指令建立：(1) (2) (3) 2. 假設，試以 (a)上述的方法 (b)矩陣的乘法，達到換列及換行的結果：(1) (2) 3. 假設，試以矩陣運算的技巧求出x=1 2 320所對應之y值為何？4. 試求(1) 5+10+15+30 (2) 3+(3+5)+(3+5+7)+(3+5+7+21) 之結果=？5. 假設，試以上述方法求 (1) 子矩陣 (2) 子矩陣 (3) 元素8