矩阵的最大秩分解及其应用(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的最大秩分解及其应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载） 矩阵的最大秩分解及其应用 黄爱梅（01数本26号）摘要：本文给出矩阵分解为两个与同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些相关应用。关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换正文： 定理1：设，则存在矩阵，使得。 证：设，其中，它由的个线性无关列组成，为的其余列所组成的矩阵。为初等列变换矩阵之积。由于的列均为的列的线性组合，故存在矩阵，使得 于是令显然有且。矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）定理的证明过程给出求、的方法，可归纳如下：将进行初等变换，化为行标准型，即将变为如下形式的矩阵。r个元素不

2、全为零的行其中“*”表示不一定为0的元素，在中第个元素为1 外，其余的无素均为0（）。于是中列的元素组成的阶矩阵就是。而在中除去下面的个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为。例1 求矩阵的最大秩分解。解：将进行行初等行变换，化为标准型即知的第1、2、3列线性无关，其他列可被这三列线性表示。于是得，其中在例1中，的第1、2、3列组成了列满秩矩阵，可以看到，我们也可以选择线性无关的第1、2、4列组成列满秩矩阵，于是得到的另一个满秩分解。例2 求矩阵的最大秩分解。解；将进行初等行变换，容易计算出的行标准型矩阵为于是取的前两列组成的矩阵为，再取中非零行组成的矩阵为容易验证，由于在矩阵理论中，一般“行”具

3、有的性质，对“列”也同样具有，例如在例2中，将通过一系列初等列变换，可化为标准形是于是取不为零的列组成的矩阵为，再取的前两行组成的矩阵为，容易验证，由例2可得，故的最大秩分解不唯一。更一般地，对于矩阵的满秩分解，可变为，这就又得到的一个满秩分解。因此我们知，满秩分解不唯一，但存在下述定理：定理2 设，且 （1）均为其满秩分解，则一定存在，使得 （2）证：由（1）得 （3）因可逆，于是从（3）得 （4）其中同理有 （5）其中将（4）（5）代入（1）中得上式两端同时左乘、右乘得 （6）再利用的、可逆性，即有 亦即、为互逆的方阵，记，则。从而得到（3）。 证毕。下面我们讨论满秩分解的应用我们知道列满

4、秩阵左可逆，行满秩阵右可逆，满秩阵可逆，但对于一的矩阵，并没有逆阵的定义，那么有了矩阵的满秩分解，是否可以将矩阵的逆的概念，再进一步地推广呢？我们知道，若，则矩阵可逆且，对于，它有满秩分解，因此最直接的想法是对矩阵的“逆”做如下定义显然，与矩阵可相乘。首先注意到（7）定义的“逆”，同左逆、右逆一样，可以是一个矩阵集合。但是否会因为满秩分解的不唯一而使得这个矩阵集合也不唯一呢、我们用下面的定理回答这一问题、定理3 设，均为矩阵的满秩分解，记，分别是这两个满秩分解所得矩阵按（7）的定义的矩阵集合，则。证明：依定理2，存在，使得，存在，使。又 即、分别是、的左逆、右逆。因此。即。同理可证。故得。证毕

5、。由此知道，（7）定义的“逆”决定于矩阵本身，并非决定于满秩分解的形式、 其次利用定理3容易验证（7）与我们已有的逆的概念是统一的，即若为可逆方阵，则，而为列满秩或行满秩阵时，或，我们称为矩阵的广义逆。参考文献：1.矩阵理论基础 姜家辉著 大连理工出版社2.矩阵理论 黄廷祝著 高等教育出版社3.矩阵分析 杨克劭著 哈尔滨工业大学出 矩阵理论期末论文题目：矩阵的最大秩分解单位：莆田学院班级：01级数学与应用数学本科班姓名：黄爱梅学号：2001141126 2005年1月26日 宝鸡文理学院本科学年论文论文题目： 矩阵秩及其应用 学生姓名：李 前学生学号： 202190014 专业名称： 数学与应

6、用数学 指导老师：杨建宏数学系2021年11月28日目录【摘要】 . 1 【关键字】 . 1 一、矩阵的秩的有关概念 . 1 二、矩阵中的相关定理及命题 . 2 三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较 . 4 四、矩阵运算中矩阵的秩的关系 . 6 五、矩阵秩的应用 . 10 【参考文献】 . 15浅谈矩阵的秩及其应用李前（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）【摘要】 本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键字】 矩阵秩； 线性方程组； 非零子式的最高级数； 初等变换1、矩阵秩的相关概念，定理及命题为了介绍矩阵的秩，首先

7、介绍k 级子式的概念定义1 在m n 阶矩阵A 中任意选定矩阵的k 行和k 列, 将位于这些所选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式, 称为矩阵的的一个k 级子式。定义2 设m nA F 所含的非零子式的最高阶数为r , 则称r 为矩阵A 的秩, 记为rankA . 当0A =时, A 不含任何非零子式, 定义矩阵A 的秩为0，记为0rankA =.矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量, 那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的, 这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样, 将每一列看成一个向量, 那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。简单地说

8、, 矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。显然，m n 阶矩阵A 的非零子式的最高阶数比, m n 中的任何一个都小，可记为min , rankA m n . 若m n , 当rankA m =时称A 为行满秩, 同样，若n m ，当r an k A n =时称A 为列满秩；如果m n =, 并且当rankA 达到最大值n 时，称A 为满秩方阵。例 对于矩阵1123101113A = 矩阵1A 的行向量为(123123, 101, 113=, 计算可得，向量组123, , 的秩为3

9、, 那么可知，矩阵1A 的行秩为3.矩阵1A 的列向量为1231231, 0, 1113 = , 计算可得，向量组123, , 的秩为3, 那么可知，矩阵1A 的列秩为3.001A = 矩阵2A 的行向量(12341111, 0111, 1001, 0001=,1234, , , , 3经计算向量组的秩为, 则矩阵2, 3A 的行秩为矩阵2A 列向量为= , 经计算向量组 1234, , , , 的秩为3, 则矩阵2A 的列秩为3.2、矩阵中的相关定理及命题命题错误！未定义书签。一个矩阵的秩为r 等价于该矩阵存在一个非零的r 级子式, 而所有的1r +级子式(若矩阵存在1r +级子式 全都为0

10、. 命题2矩阵经初等变换后，矩阵的秩不发生改变. 定理错误！未定义书签。 矩阵的行秩和列秩是相等的. 证明错误！未定义书签。 设所讨论的矩阵为1111n m mn a a A a a = 而A 的行秩为r , 列秩为1r . 要证1r r =, 先证1r r . 以12, , m 代表矩阵A 的行向量组, 不妨设1, r 是它的一个极大线形无关组。因为1, , r 是线性无关的, 所以 110r r x x +=只有零解, 这也就是说, 齐次线形方程组00r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+=+=只有零解. 则方程组的

11、系数矩阵1111r nrn a a aa 的行秩. r 因此在它的行向量中可以找到r 个是线性无关的, 比如向量组(线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组(, , , , , , , , , , , r m r m r r rr mr a a a a a a a a a a a a依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵A 的r 个列向量, 由于它们的线性无关性，由此可知矩阵A 的列秩1r 至少是r , 也就是说1r r .同理可得1r r . 这样就证明了1r r =, 进而说明矩阵行秩与列秩相等。由此可以看出上例中12, A A 的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵

12、都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩, 且三者相等。 定理2错误！未定义书签。 n n 阶矩阵1111n n nn a a A a a = 的行列式为零的充要条件为rankA n .证明错误！未定义书签。 充分性 因为矩阵的秩等于矩阵的行秩, 且rankA n , 所以矩阵的行秩小于n , 因此可知矩阵的行向量组是线形相关的, 由行列式的性质可得, 矩阵A 的行列式为零。必要性 用数学归纳法证明 当1n =时, 矩阵为零, 结论显然成立。假设结论对1n -成立。讨论n 的情形, 若第一列元素均为零, 则rankA n . 若存在不为零的元素, 不妨设110a 利用初等变

13、换将其余各行的第一列元素消成零, 则11121 222 22211 2 200nnnn nnn nna a a a a a a A a a a aa=其中( 121110,i i in i a a a a =-, 2, . i n =且12, , n 为矩阵A 的行向量。因为矩阵的行列式为零, 所以 2222nn nn a a a a =由归纳假设 222 2n n nn a a a a 的行向量线性相关。因此，向量组1212111111, , n n a a a a -线性相关，进而可得出12, , , n 也是线性相关的，即rankA n .由归纳假设可得结论对任意n 得都成立。 由定理2

14、可得出推论,A 的充要条件是. rankA n =3、矩阵秩的两种计算方法及其优劣比较3.1 矩阵的秩的两种计算方法 方法一 求矩阵A 的非零子式的最高级数由定义知，矩阵A 的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知若一个矩阵的秩为r 等价于矩阵中有一个r 级子式不为0, 同时所有的1r +级子式全都为0. 因此, 我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在r 级子式不为0, 而所有的1r +级子式(如果有的话 全部为0, 那么矩阵A 的秩即为r . 方法二 进行初等变换由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩, 且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变, 因此，我们可以

15、得到计算矩阵的秩的另一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵, 所得矩阵中的非零的行数或列数即为矩阵的秩。 对于上述所给的例子 对于矩阵1A1123101113A = 方法一 因为23012013A =-所以3rankA , 又因为该矩阵不存在4级子式, 因此得出13rankA =.方法二 = 矩阵有3个非零的行向量, 因此行秩为3, 从而矩阵的秩为3. 对于矩阵2A21001A = 方法一 因为211110111010010001A = 所以24rankA 3时, 初等变换法明显优于求矩阵的k 级子式, 并且随着阶数的增加两种方法的难度差距也随之增大。对于n 阶矩阵，若行列式不为零, 它的

16、1n -级子式有11n n C C 种可能, 2n -级子式有22n n C C 种可能, 其他子式的可能情况更多, 因而用这种方法的计算量比较大, 相对的正确率也比较低, 而用初等变换的方法步骤简练, 中间过程比较少, 相对来说计算量比较小, 出错的可能性也比较低。因此, 求k 级子式的方法有局限性，相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高级数的方法。4、矩阵秩的若干性质(以下讨论的关系中, A B 均为可进行运算的矩阵 性质1min , rankAB rankA rankB .证明 若能证明rankAB rankA , rankAB rankB 则可证明结论成立。 以rankAB rank

17、A 为例11111111, m n s sm m mn a a b b A B a a b b = 令12, , , m A A A 表示A 的列向量, 12, , n M M M 表示AB 的列向量, 计算可得 1122i i i im m M b A b A b A =+, (1,2, i n =也就是说，AB 的列向量组 12, , n M M M 可以由A 的列向量组 12, , , m A A A 线性表出,所以rankAB rankA .同样, 可得rankAB rankB , 因此得出min , rankAB rankA rankB .性质2(rank A B rankA ran

18、kB+.证明 令A 的列向量组为12, , , , m A A A 12, , , , s A A A 且极大线性无关组为B 的列向量为12, , , m B B B 12, , , t B B B 且极大线性无关组为则A B +的列向量为1122, , m m A B A B A B +.因而可以得A B +的列向量组1122, , , m m A B A B A B +, 可以由12, , , s A A A 12, , t B B B , 线性表出,即 (rank A B rankA rankB+.结论成立。性质3 rankAB rankA rankB n +-. 证法一(A O A O

19、 A AB rankA rankB rank rank rank rank AB nO B E B E O -+=-+ 因为(rank AB rankAB -=所以rankAB rankA rankB n +-.证法二 设rankA s =, rankB t =, rankAB r =， 因此 存在可逆矩阵, P Q 使得sEO PAQ OO = ,令(1s m n s m B Q B B -= , 则 (1s m ss m n s m B EO B PAB PAQQ B B OO O -= 因此可得(s m rank B rank PAB rank AB r=, 而1rankQ B t -=

20、,所以(n s m B - 中的线性无关的行数为t r-, 而总行数为n s -，可以得出n s t r -. 即 r t s n +-. 结论成立。性质4 若AB O =, 则rankA rankB n +. 证法一 AB O =可得0rankAB =， 由关系3可得rankA rankB n +. 证法二 12, , n B B B 表示矩阵B 的列向量, 则(1212, , , , , n n AB A B B B AB AB AB O=,因此有12n AB AB AB O =.12, , . n AX O n B B B =即齐次线性方程组有组解设rankA s =, n s -可知方

21、程的基础解系所含向量的个数为, 则12, , n B B B 可以由n s-个, rankB n s -线性无关的解向量线性表出则, 即rankA rankB n +.性质5 若2A E = 则(rank A E rank A E n+-=.证明 由2A E =可得2A E O -=, 进而可得(A E A E O -+=,由关系4得 (rank A E rank A E n+-.又因为(2A E A E E +-=, 可得(2A E E A E+-=, 且(2rankE rank E n =, (rank A E rank E A -=-, 由关系2得(rank A E rank A E n

22、 +-.所以(rank A E rank A E n+-=.性质6 若2A A = 则(rank A E rankA n -+=.证明 由2A A =可得2A A O -=, 进而可得(A A E O -=由关系4得 (rankA rank A E n+-.又因为(A A E E -=, 可得(A E A E+-=且rankE n =, (rank A E rank E A -=-.由关系2得(rankA rank A E n+-,所以(rankA rank A E n+-=.性质7 TrankA rankA A =.证明 利用方程组同解进行证明，若方程组AX O =的任意非零解，有A O =

23、，那么TA A O =, 则也是方程组T A AX O =的非零解。若方程组T A AX O =的任意非零解，有T A A O =，在T A A O =的两边同左乘T 得T T A A O =, 即(TA A O =. 由此可得方程组AX O =的非零解。 可以看出，方程组AX O =与方程组TA AX O =同解，则两个方程组基础解系所含向量的个数相同。因为方程组的基础解系所含解的个数等于方程组未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以结论成立，即T rankA rankA A =性质8 若A 是n s n n 的列满秩矩阵当且仅当存在 阶可逆矩阵T 使得s E A T O = .证明3充分性s E

24、 A T O = ，其中T 为n n 可逆矩阵，则 s s E E rankA rank T rank sO O = , 所以矩阵为列满秩.必要性 矩阵A 经过一系列的初等变换可以转化为 B , B 的前n 行线性无关, 于是存在n n 阶可逆矩阵1M 使得112B M A B B = , 其中1B 为s s 阶可逆矩阵令112n s B O M O E -= ，则有2122s E M M A M B B = 再令32sn s E O M B E -=-, 则有32132s s E E M M M A M B O = 于是令111123T M M M -=, 则结论成立。同样的，若A 是n s

25、 的行满秩矩阵当且仅当存在s s 阶可逆矩阵T 使得(n E O T A=.性质9 m n 阶矩阵A 的秩为s , 则有m s 的M 列满秩矩阵和s n 的行满秩矩阵 N ,使得A MN =.证明3由于rankA s =因此存在m m 阶可逆矩阵1M 和n n 阶可逆矩阵1N ，使得得(11s s s E O E M AN E O O O O = 则有(1111s sE A M E O N MNO -= , 其中11s E M MO -= ，(11sE O N N-=，由关系8可知，, M N 分别为列满秩和行满秩矩阵，则结论成立。5、矩阵秩的应用5.1矩阵秩在线性方程组中的应用矩阵与线性方程

26、组有密切的关系, 在判断线性方程组的解得情况时, 矩阵的秩起着十分重要的作用。定理14 线性方程组11112211a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +=+=+=. 有解的充要条件为方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同 证明 必要性 记系数矩阵为A , 列向量组为12, , , n , 增广矩阵为B , 列向量组为12, , , , n . 则线性方程组可以写成11n n x x +=由此可以看出可以由12, , n 线性表出, 因此,12, , , n 与12, , , , n 是等价的, 因而有相同的秩, 即. rankA rankB =充

27、分性4 若rankA rankB =, 说明12, , , n 与12, , , , n 有相同的秩, 因因而两个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数相同。若12, , , s 为列向量组12, , , n , 的极大线性无关组则同时也是列向量组 12, , , , n , 的极大线性无关组因此可知， 可以由12, , , s 线性表出, 又因为一个向量组与其极大线性无关组是等价的。于是，向量组12, , , n 与其极大线性无关组12, , , s 是等价的。所以，可以由12, , , n 线性表出, 即是向量组12, , , s 的一个线性组合, 由此可以看出线性方程组有解。 例 对于方

28、程组123123123222x x x x x x x x x +=+=+=讨论, 取何值时方程组有解。 解 系数矩阵111111A = 增广矩阵112112112B = 若要方程组有解则需rankA rankB =.22111 =- -+- =- -+-由此可以看出当1=时 1rankA rankB =，方程组有无穷多个解。 当1, 且2-时 3rankA rankB = 方程组有唯一解。 当2=-时 2rankA = 3rankB = 方程组无解。对于非齐次线性方程组来说，A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵，当rankA rankB =时，若0A , 则方程组有唯一解，若0A =, 则方程

29、组有无穷多组解；当rankA rankB 时，方程组无解。矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解, 而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构。以下定理可根据矩阵的秩判断解的情况。定理2错误！未定义书签。00n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+=+= , 在方程组有非零解的情况下方程组的基础解系所含解的个数等于n r -. 其中A 为方程组的系数矩阵, 且r rankA =.例 当取不同值时，计算下列齐次线性方程组的通解12312312330230230x x x x x x x x x +=-

30、+=+=解 方程组的系数矩阵为A ，31123231A =- 计算系数矩阵的行列式,(34, =当时0A =方程组有非零解，方程组的系数矩阵为A 21. 的秩为，由定理可得方程组的基础解系所含解的个数为 则方程组化简为12方程组（）与方程组（）同解，且解为117571- = 线性无关，则可以作为方程组的基础解系，以X 表示方程组的通解。 因此，方程组的通解为, X k = 其中. k R 当4时，0A , 方程组只有零解。( 二矩阵的秩在解析几何中的应用, 根据以上两个定理我们还可以将矩阵的秩应用到解析几何中，用来判断给出一般方程的空间两直线的位置关系。如以下给出两条直线的一般方程111112

31、2220:0a x b y c z d L a x b y c z d +=+= ；3333244440:0a x b y c z d L a x b y c z d +=+= ；两直线的位置关系取决于方程组0a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +=+=+=+=解的情况，而方程组解的情况又取决于方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩。由于每个线性方程都代表一个平面, 方程组表示两平面的交线，即所给出的直线 所以有23,24rankA rankB ., A B 表示系数矩阵与增广矩阵。若, , rankA rankB =表示方

32、程组有解两直线有交点。当2rankA rankB =时, 方程组有无穷多个解表明两直线重合。当3rankA rankB =时, 方程组有唯一解表明两直线相交。若, , rankA rankB 表示方程组无解两直线没有交点。在此种情况下两直线异面或平行。(三 矩阵的秩再其它方面的应用1, rankA n A =、矩阵的秩与矩阵可逆若则可逆。2、矩阵的秩与矩阵的伴随矩阵A 为n n 阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则 当rankA n =时，*. rankA n =当1rankA n =-时，*1. rankA =当1rankA n -时，*0. rankA =例 已知A 为n n 阶矩阵且0A

33、=，求*rankA . 解 由 0A = 可知 1rankA n -.当1rankA n =-时,由矩阵的秩的定义可知，矩阵A 存在1n -级非零的子式，因此*1rankA =.当1rankA n -时,矩阵A 不存在级非零的子式因此*A O =, *0. rankA =3、矩阵的秩与特征值若( rank E A n - ， 故由(5rank A E rank A E n +-=. 得(5rank A E n +所以 50A E +=， 即 -5为A 的一个特征值。矩阵的秩在线性代数中的应用非常广泛，除了在解线性方程组中的应用，矩阵的秩还可以用来判断矩阵是否可逆, 确定伴随矩阵的秩，通过矩阵的

34、秩计算矩阵的特征值除此之外，矩阵在其它学科中，如经济学、控制论中也应用广泛。参考文献2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。2 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。3 黄光谷 黄东 李杨 蔡晓英 编 高等代数辅导与习题解答M华中科技大学出版社， 2005.3。4 陈志杰 编 高等代数与解析几何(上册 M 北京：高等教育出版社，2021.12。5 钱吉林 编著 高

35、等代数题解精粹北M京：中央民族大学出版社，2002.10。6 闫国松 矩阵的秩的两种常用求法之比较J-科技信息（学术版），2021（14）。矩阵的奇异值分解（SVD）及其应用版权声明： 本文由LeftNotEasy发布于, 本文可以被全部的转载或者部分使用，但请注明出处，如果有问题，请联系前言： 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分

36、解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义

37、层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术

38、的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 1）特征值： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面