2022年新高考全国I卷数学真题评析.pdf

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1、绝密启用前试卷类型：A2022年新高考全国I卷数学真题一题多解7.设a =0.1 e ,8 =！，c=ln 0.9,则()9A.a b c B.c b a C.c a b D.ac l),因 为/(x)=-1 =-一一，1+x 1+X当 x e(-l,0)时，f(x)0,当 x e(0,+o o)时/(x)0,所以函数/(x)=ln(l+x)x在(0,+o。)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以/()/(0)=0,所以I n与一 c，1 9 1 Q -1-1所以/(一一)/(0)=0,所以I n +一0,故 二 e i。，所以1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 9故 a /?,设g(x)

2、=x e +ln(l-x)(0 x l),则 g，(=)1,、)x-1 x-令 h(x)=e (x2-1)+1,h(x)=e (x2+2x -1),当0%起 一1时，W 0,函数Z z(x)=e X(x 2-i)+i单调递减，当夜一 1(尤 0,函数双 幻=1。2-1)+1单调递增,又(0)=0,所以当0 x夜一 1时，A(x)0,所以当0c x 0,函数g(x)=x e*+ln(l-x)单调递增，所以 g(0.1)g(0)=0,即 0.1 e ln 0.9，所以故选：C.方法二：比较法解：=O.le0 1,b=-,c=-ln(l-0.1),1-0.1 ln a ln/?=0.1 +ln(l

3、0.1),令 f(x)=x +ln(l x),x G(0,0.1 ,1 x则 r(x)=i=o,1 X 1 X故f x)在(0,0.1 上单调递减，可得/(0.1)/(0)=0 ,即 na-nb0,所以 a 0 ,所 以k(x)在(0,。1 上单调递增，可 得k(x)k(0)0,即 g(x)0 ,所 以g(x)在(0,0.1 上单调递增，可 得 g(0.1)g(0)=0 ,即a-c 0,所 以 a c.故 c a 0，当26 ”30时，V 。=军，正 四 棱 锥 体 积=lZ2/z=l(2 )2X-=1）上，直 线/交C于 P,。两点，直线A P,A Q 的斜率a ci 1之和为0.（1）求

4、1 的斜率;（2）若 t a n N PAQ=20,求 P4 Q 的面积.【答案】（1）-1；述.9【解析】【分析】（1）由点4 2,1）在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设/:丁=+机，P（%,y）,Q（w，%）,再根据原+须户=0,即可解出/的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tan/PAQ=2 0即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点4到直线尸。的距离，即可得出B4Q的面积.【小问1详解】因为点42,1）在双曲线C：二V-2

5、一 一Av2=l（al）,所以=4 一z 1=1,解得/=2,即双曲线a ci 1 a 1易知直线/的斜率存在，设/：丁 =依+机，。（芯,）,。（,），联立y=kx-mx2 2,可得，-y=12（1-2阴尤2-4 依 一2加2-2 =0,所以，内 +/=_ 消小。=；+；，=16加2公一4（2/+2）（2左2-1）0=加2一 a后2。且&W 2所以由必+原户=0可得，工yo：1 +上y.-=1 =0_，%2 2 X.2即（3-2）（AX2+m-l）+（x2-2）（g +加-1）=0,即 2 k x+（?一1 一 2%）（百 +x2）-4（/n-l）=0,广 2m2+2/,2/4mk A .八

6、 八所以 2%x+（加-1-2左）一石一 4（m 1）=0，乙 K 1 乙 K 1J化简得，8k2+4Z-4+4m（左 +1）=0,即（Z+1）（2Z 1 +加）=0,所以左=1或m=1 2%,当加=1一2左时，直线/:丁=丘+加=4（-2）+1过点A（2,l）,与题意不符，舍去，故 k=-L.（2）方法一（3）不妨设直线PAPB的 倾 斜 角 为a、/?,因为原户+做户=,所以a+4=兀,由(1)知，x,x2=27n2+20,当A B均在双曲线左支时，NPAQ=2 a,所以tan2a=2后，即JE tan?a+tana 血=0,解得ta n a=5-（负值舍去）此时以与双曲线的渐近线平行，与

7、双曲线左支无交点，舍去；当A,8均在双曲线右支时，因为 tanNPAQ=2 0 ,所以 tan（4一a）=2起，即 tan 2a=-2 0，即 A/Jtan?a-tana-0 =0，解得 tana=J5(负值舍去),于是，直线 PA:y=J5(x 2)+l,直线PB:y=-0(x-2)+l,y=V2（x-2）+l联立一可得,2-X2+2(V 2-4)X+10-4V2=0,因为方程有一个根为2,所以“=耍=*二1同理可得，x 1。+4-,-W 2-5 _。3 3所以PQ:x+y g=0,|PQ|=g,2+1 r-点A到直线P。的距离,3 2V2,a=7=-=-V2 3故PAQ的面积为Lx3*迪=

8、生 也.2 3 3 9方法二：设直线AP的倾斜角为a ,由tan A P A Q=2应，得tan幺丝=,由 2。+ZPAQ=TT,得 kAP=t a n a=V 2 ,即）-=/2 ,X j 2联 立 上 子 及，及 手 一 才=1得百史单，y=*,%一2 2 3 3日皿 10+4夜 -4 0-5同理，x2-，y2-，j，2 0 _ 6 8故 x +x,=w,再 2 =w而|肉=途|%-2|,|4。|=如 -2|,由 t a n N P AQ =2夜，得 s i n N P A Q272亍故 5,0 =f AP|AQ I s i n ZPAQ=01 x,x2-2 a +x2)+4 h-.【解析

9、】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题.2 2.已知函数/(幻=炉一田:和8(幻=一卜尤有相同的最小值.(1)求 a；(2)证明：存在直线y =/?,其与两条曲线y =/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)a =l(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求”注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当匕1时，=的解的个数、x ln;c =匕的解的个数均为2,构建新函数(尤)=e +ln x-2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大

10、小关系，根据存在直线丁 =人与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)/(幻=一 的 定 义 域 为 尺，而/(外=1一。，若a W 0,则/(x)0,此时x)无最小值，故a 0.g(x)=a x-ln x的定义域为(0,+8),而g (x)=a-=-.当 x ln a时，f(x)ln a时，f(x)0,故/(x)在(i n a,+8)上为增函数，故/(x)m i n =/(I n a)=a -a I n a .当0 x ，时，g (x)o,故g(x)在上为增函数，a a)故 g(X)m i n =a)a因 为/(幻=

11、。一必和且(工)二以一卜工有相同的最小值，1a-故l-ln=Q-Q l n a,整理得到-=ln ,其中。0,a 1 +a设g(a)=泻 T n a,a 0,则 g，()=?11 =3 1 +a (1+a)a Q(1+Q)故g(a)为(0,+s)上的减函数，而g(l)=0,故g(a)=0的唯一解为a =l,故j=ln a的解为a =l.+a综上，1时，考虑e*x =8的解的个数、x ln x =。的解的个数.设S(x)=e x 力，S，(x)=e _ ,当x 0时，S (x)0时，S(x)0,故S(x)在(一8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(x)而n=s(o)=l/0,S

12、(/)=eb 2b,设卫伍)=3-4,其中b l,则 3)=g一2 0,故”9)在(1，+。)上为增函数，故3)N(l)=e-20,故S伍)0,故s(x)=e -x。有两个不同的零点，即e x =8的解的个数为2.设T(x)=x-ln x-力，T,(x)=-,当0 x l时，T (x)1 时，F(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 7aL=T =0,T(e)=e 如0,T(x)=x ln x。有两个不同的零点即x ln x =。的解的个数为2.当6 =1,由(1)讨论可得x-ln x =Z?、e x =仅有一个解，当Z?=g(x)有三个不同的交点，则b L

13、设(x)=e*+ln x-2 x,其中 x 0,故(x)=e+,一2 ,X设s(x)=e*-x 1,x0,则s (x)=e 一10,故s(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)s(o)=o即 e*x+l，所以(x)x +1 1N 2 1 0,所以久X)在(0,+8)上为增函数，1 .L 0 0而g)=e-20,/2(-!-)=ee，-3-e-3-4 0 e e e故A(x)(0,+8)上有且只有一个零点七，!/1且：当0%/时，()0即*1%111尤即/(苫)/时，(x)0 即 e x x I n x 即/(x)g (x),因此若存在直线y =匕 与曲线=x)、=g(x)有三个不同的交点，故

14、 b =/)=g(/)l，此时e*-x =b有两个不同的根西，*0(玉 0%)，此时尤一ln x =Z?有两个不同的根毛,工4(/1 1，故 xn=x.-b，即%+%=2玉).x,=x0-b方法二：由(1)知，f(x)=ex-x,g(x)=x I n x,且/(x)在(r o,0)上单调递减，在(0,3)上单调递增；g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且/(X),.=8(幻 讪=1。，显然y=b与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有0个交点，不符合题意；b =1 时，此时/(x)m in=g o)*=1=匕，故y=8与两条曲线y=/(X)和y=g(x)共有2个交点，交点

15、的横坐标分别为0和1;b l时，首先，证明y=A与曲线y=/(x)有2个交点，即证明尸(x)=/(x)-人 有2个零点，尸(X)=f(x)=ex-I,所以尸(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，又因为尸(一切=&0,F(0)=l-Z?0 ,(令“勿=/一2 6,则r S)=e-2 0,?0)Z(l)=e-2 O)所以尸(x)=在(YO,0)上存在且只存在1个零点，设为%,在(0,+8)上存在且只存在1个零点,设为其次，证明y=6与曲线和丁=8。)有2个交点，即证明 G(x)=g(x)-8有 2 个零点，G(x)=g(x)=l-,X所以GEXO,1)上单调递减，在(1,内)上

16、单调递增，又因为G(e)=e”0,G(0)=l-/?0 ,(令(b)=Z?-In 2Z?,则 jur(b)=1 -0,(勿 (1)=1 -In 2 0)b所以G(无)=g(x)-力在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为七，在(L+8)上存在且只存在1个零点，设为“再次，证明存在6,使 得 当=退：因为产(工2)=6(凡)=0,所以=6巧一入2 二刍一1口X 3，若工2二/3，则e -工2=*2 一 1口X 2，即 升 一2占+出工2=0,所以只需证明/2x+lnx=0在(0,1)上有解即可，即0(工)=-2x+In x在(0,1)上有零点，_ 2因为奴Y)=e-3 0,e e所以00)=6*

17、-2尤+In x在(0,1)上存在零点，取一零点为小,令=%3=%0即可，此时取/?=e与一 天则此时存在直线丁=人，其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，最后证明西+%=2.，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为 F(x)=F(X2)=F(x0)=0=G()=G(x0)=G(x4)所以 F(x,)=G(x0)=F(lnx0),又因为尸(x)在(-8,0)上单调递减，M0，0 天)1即I n/1,x=4,不满足，排除C.故 选B.6,角满足 s in(a +/7)+c o s(a +/?)=2&c o s(a +?s i n Q,则()A.t a n(a +/7)=

18、l B.t a n(a +0=-lC.t a n(c z )=1 D.t a n(a-4)=-l【答案】D【解析】解法一：(直接法)由已知得：s in a c o s P+c o s a s in /3+c o s a c o s -s in a s in /?=2(c o s a-s in a)s in /3,即：s in a c o s (3 -c o s asm/3 +c o s a c o s 4+s in a s in 4=0,即：s in(a-+c o s(a 尸)=0,所以 t a n(a-尸)=-1,故选：D解法二：(特殊值排除法)J I解法一:设 p=0 则 s in a +

19、c o s a =0,取 a-,排除 A,C；JI再取 a=0 则 s in 0+c o s 0=2s in 0,取0 =一，排除 B；选 D.4解法三：(三角恒等变换)s in(a +尸)+c o s(a +/)=及s in (a +工)=2 s in (+)+/?4 4=V s in(a +)c o s +V 5c o s(a +工)s in p=2后 c o s(a+)s in p4 4 4所 以 血 s in (a +工)c o s /?=垃 c o s(a +)sin (34 4TT TT TTsin(c r +)c o s-c o s(6 Z+-)sin 0=0 即 sin(a +

20、-y)=0，sin(a-/?+)=sin(a-/5)c o s 4-c o s(c r-y9)sin =-sin(6 z-y?)+-c o s(z-/?)=0sin (-J 3)=-c o s(-/?)即 t a n(。-/?)二 一1,故选 D1 4.写出曲线y=l n|x|过坐标原点的切线方程：答案 y=-x y=-xe e【解析】解法一：（化为分段函数，分段求）【分析】分x0和x 0两种情况，当x0时设切点为（M in x。），求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当x 0时y=l n x,设切点为（七/n拓），由y =L

21、 所 以 川,气=工，所以切线方程为XX0y-ln x0=（x-x0）,又切线过坐标原点，所 以-I n/=（-4）,解得x 0=e,所以切线方程为玉）y-1 =-（x-e）,B f J y=-x；e e当x v O时y=l n（x）,设切点为（,I n（石），由了=,，所以=所以切线x玉方程为y-l n（-玉）=（刀一石），x又切线过坐标原点，所以一l n（xj=（一%）,解得不=e,所以切线方程为xy-l =（x+e）,即丁=一一x；故答案为：y=-x；y=-x-e e e e解法二：（根据函数的对称性，数形结合）当尤 0时y=l n x,设切点为（X o，l n后）,由 =工，所以了1=

22、跖=-,所以切线方程为元/y-l n x。=（x-/），X（）又切线过坐标原点，所以-I n/=（-/）,解得X o=e,所以切线方程为2 2e e16.已知椭圆+汇=1,直线/与椭圆在第一象限交于A,B两 点,与x轴，y轴分别交6 3于A/,N两点，且|MA|=|NB|JMN|=2jL 则直线/的方程为.【答案】x+&y-2 0 =O【解析】解法一：（弦中点问题：点差法）【分析】令A8的中点为E,设3（，必），利用点差法得到kO E-kA B=设直线 A8:y=fcx+7，k 0,求出 M、N 的坐标，再根据|肱V|求出4、m ,即可得解；【详解】解：令 AB的中点为E，因为所以目=|NE|

23、,2 2设A&,y),B(x2,y2),则 上 +”=1,6 36 3所以立一立+支_应=0,即（内）（内+）+包+%心-）=06 6 3 363（M+%）（X-必）1 1所以:二一彳，即左。EMAB=一 一，设直线 AB：y=H+%,左 0,令=0得丁=2,令 丫 =0得=一，即M 1一p O j,N(0,喻,所以E-m2km即x N-=一1，解得=一 走 或左=1（舍去），m 2 2 22k又|MN|=2 j L 即|MN|=.+（&I,=,解得m=2或m=一2（舍去）,所以直线A 6:y =掾x+2，即尤+0 y 2 0 =O；故答案为：x+及y 2&=0解法二：（直线与圆锥曲线相交的常

24、规方法）解：由题意知，点E既为线段A B的中点又是线段M N的中点，设A（X1,y）,B 伍，%）,设直线 AB:y=H +/n,k 0,则 M -彳,0 J,N（0,:），,小，因为|MN|=2 G，所以|。目=6y 乙K 乙Jy=kx+m联立直线A B与椭圆方程得f 2 消掉y得（1 +2/）/+4依+2/-6 =0-F -=16 34 mk其中=（4 次-4（1 +2k2）（2“-6）0,x +x,=-,1 +.,.AB中点E的横坐标/：k 0,，心所以直线=-正-2=1 +2尸 又 2/21.”=-1 +2r 2k日，又|0同=J(治+()2=百，解得m=2x+2，即 x+&y -2a

25、=02022年全国高考乙卷一题多解4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列出“：,.1 4=1 4-伪=1 +一，2,a +一%4=1+-j-1+a2+，依此类推，其中4 eN*（左=1,2,）.则（）A.自 b5 B.b3 bg C,bb b2D.b4 b方 法 一（常规解法）因 为%eN*（Z=l,2）,1 11 -7-所以%打，a.%+a211ct,4 +-；同理 a2&+J _，可得4 4-%1111 -j-，a+-H-a,-j,+-%-%4故仇%；以此类推，可得A 4 么 伪 ，4仇

26、，故A错误：4 44，故B错误；11工 i2 a2+1，得 打 i+-j。2 +-1 4+-得。4 匕7，故 D 正确.a3 +06+一%a7方法二：（特值法）不妨设一1则 3 5 8b,=2,b2=-,b3=-,b4=-,2 2 3 3 5b 5=13 34,5 8 6 13 7 21 8 34“，所以N在双曲线的左支，II 3 4|OB|=Q 1 用=。，|E B|=b，设/F、N F 2=a ,由即 c o s a=w，则 s in”=，3 5|N A|=-,|NF2|=-NB-N=2a5 3Q Q-(ci+2b)2Q,力 也2b=a,e=2选A3%卓.F,h 13若M、N在双曲线的两支

27、，因为cosN耳N g=g 0,所以|OB=百=，B=b 设/4飓=3 3 4由cos/耳Ng=g,B|Jcosa =9 贝ijsina=m，|NA|=豹 N司 f|响-网=23 5ci+2b a=2。，2 21 Q所以2Z?=3 a,即一=二，a 2所以双曲线的离心率e，=、1 +2=巫a a2 2选C方法二(答案回代法)A选 项e=2所以N在双曲线的右支,二a,特值双曲线X?仁 l亍-V=1,.耳（-后0）,（75,0）过 耳 且 与 圆 相 切 的 一 条 直 缓/y =2（x +石）两 交 点 都 在 左 支,r.N （-V 5,-V 5）5 5二|N以=5,|N用=1,忖 国=2后3

28、则cosC选 项e =2特 值 双 曲 线J L L =F；（-V 1 3,0）,6（而0）过 耳 且 与 圆 相 切 的 一 条 直 纳y =g（x +g）两 交 点 在 左 右 两 支，N在 右 支,二N （-7 1 3,-7 1 3）1 3 1 3|N E j=5躯 用=9,旧耳|=2 71 33则cos/月N g=，1 6.已知犬=%和x =w分别是函数/（x）=2优一e f （。0且a w l）的极小值点和极大值点.若王，则a的取值范围是方 法 一（转化法，零点的问题转为函数图像的交点）/（x）=2 1 n a d-2 e x,/(x)=2 1 n a-a*-2 e x=o的两个根为

29、方程2 I n a 优 2 e尤=0的两个根为王，即方程I n a优=e x的两个根为外,看 ,即函数y =与函数y =e x的图象有两个不同的交点,因为占,赴分别是函数“）=2a-ex2的极小值点和极大值点,所以函数/（x）在（-00,王）和（W，+00）上递减，在（5,电）上递增,所以当时（Y 0,石）（孙”），r（x）0,即丁=6%图像在y =l na优上方当时，/,(x)0,即丁=6%图像在y=lna优下方 1,图像显然不符合题意，所以0V4 V 1令g(x)=lna优，则/(x)=1/。优,。1,设过原点且与函数=g(x)的图象相切的直线的切点为(Xo，lna-a&),则切线的斜率为

30、g(xo)=ln2 a/),故切线方程为y-ina-a=In2c z-(x-x0),则有一lnQa=-x0 In2 a-ax 1,则 g (x)在 R 上单调递增，此时若g z(x0)=0,则/(x)在(-8,X。)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，此时若有X=X 1和 X=X 2 分别是函数/(%)=2ax-ex2(a 0 且 a 清1)的极小值点和极大值点，则 xy x2,不符合题意，(2)若 0 a 0 且 a H 1)的极小值点和极大值点，且 与 V 不，则需满足f z(x0)0，即f z(x0)=2(2(axlna ex0)=2(高 e x O,xo 1,e1故 lnaxo=xolna=l n?l ,所以一