推理与证明解读.ppt

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1、推理与证明推理与证明永康一中永康一中姚波浪姚波浪“推理与证明推理与证明”讲什么？为什么要讲“推理与证明推理与证明”？如何讲“推理与证明推理与证明”？三个问题生活的需要生活的需要一、为什么要讲一、为什么要讲“推理与证明推理与证明”？科学研究的需要科学研究的需要数学自身的需要数学自身的需要“长头发长头发”进男厕所进男厕所为什么要讲“推理与证明推理与证明”？守株待兔、刻舟求剑守株待兔、刻舟求剑我是否要我是否要“炒股炒股”“守株待兔守株待兔”者者的的推理过程推理过程前天有一只野兔撞死在这棵树上；昨天又有一只野兔撞死在这棵树上；今天也会有一只野兔撞死在这棵树上。生活中充满着“推理与证明推理与证明”“总结

2、经验教训”，抗菌素的滥用现象在生活中常说的“可能是（猜测）”、“可以想象（联想）”、“综上所述（归纳）”、“可见”、“可以断言”等话语，都包含着合情推理与证明的成分。火星上是否存在生命？火星上是否存在生命？为什么要讲“推理与证明推理与证明”？锯齿的发明锯齿的发明数学探究数学探究表示任意一个自然数至少要用多少个平方数？任一自然数都可以表示成一个、两个、三任一自然数都可以表示成一个、两个、三个或四个平方数的和？个或四个平方数的和？由实际计算可以得出：1=12=1+13=1+1+14=45=4+16=4+1+17=4+1+1+18=4+49=910=9+111=9+1+112=8+4100=81+1

3、6+1+1+1100=81+9+9+1100=64+36解读一 “推推理理与与证证明明”是是数数学学的的基基本本思思维维过过程程，也也是是人人们们学学习习和和生生活活中中经经常常使使用用的的思思维维方方式式。推推理理一一般般包包括括合合情情推推理理和和演演绎绎推推理理，证证明明通通常常包包括括演演绎绎证证明明和和实实验验、实实践践的的证证明明。“标标准准”将将“推推理理与与证证明明”专专设设一一章章，这这在在我我国国高高中中数数学学课课程程中中还还是是首首次次。通通过过本本章章的的教教学学，不不仅仅可可以以帮帮助助学学生生进进一一步步把把握握以以前前学学过过的的证证明明方方法法，也也可可以以让

4、让他他们们了了解解猜猜测测的的一一般般方法方法。解读一 教教科科书书的的编编写写意意图图是是把把过过去去渗渗透透在在具具体体数数学学内内容容中中的的推推理理和和证证明明的的思思维维方方法法，以以集集中中的的、显显性性的的形形式式呈呈现现出出来来，既既教教猜猜想想，又又教教证证明明。使使学学生生更更加加明明确确这这些些方方法法，并并能能在在今今后后的的学学习习中中有有意意识识地地使使用用它它们们，养成言之有理、论证有据的习惯。养成言之有理、论证有据的习惯。二、二、“推理与证明推理与证明”讲什么？推推理理与与证证明明贯贯穿穿于于高高中中数数学学的的整整个个体体系系，它它的的学学习习是是新新课课标标

5、教教材材的的一一个个亮亮点点，是是对对以以前前所所学学知知识识与与方方法法的的总总结结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。归纳，并对后继学习起到引领的作用。内容结构 推理与证明推理与证明 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 归纳归纳 类比类比 直接证明直接证明 间接证明间接证明 综合法综合法 分析法分析法 数学归纳法数学归纳法 反证法反证法 课标要求（1）合情推理与演绎推理）合情推理与演绎推理 了了解解合合情情推推理理的的含含义义，能能利利用用归归纳纳和和类类比比等等进进行行简简单单的的推推理理，体体会会并并认认识识合合情推理在数学发现中的作用情推理在数学发现中的作用.体体会会演演绎绎推推理理

6、的的重重要要性性，掌掌握握演演绎绎推推理理的的基基本本方方法法，并并能能运运用用它它们们进进行行一一些些简单的推理简单的推理.了了解解合合情情推推理理与与演演绎绎推推理理的的之之间间的的联联系与差别系与差别.（2）直接证明与间接证明）直接证明与间接证明 了了解解直直接接证证明明的的两两种种基基本本方方法法：分分析析法法和和综综合合法法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。了解分析法与综合法的思考过程与特点。了了解解间间接接证证明明的的一一种种基基本本方方法法反反证证法法；了了解解反反证证法的思考过程与特点。法的思考过程与特点。（3）数学归纳法）数学归纳法 了了解解数数学学归归纳纳法法的的原原理

7、理，能能用用数数学学归归纳纳法法证证明明一一些些简简单的数学命题。单的数学命题。（4）数学文化）数学文化 通通过过对对实实例例的的介介绍绍（如如欧欧几几里里得得几几何何原原本本、马马克克思思资资本本论论、杰杰弗弗逊逊独独立立宣宣言言、牛牛顿顿三三定定律律），体会公理化思想。体会公理化思想。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。基本基本要求要求1了解合情推理的含了解合情推理的含义义、结结构、和基本本构、和基本本类类型。型。2结结合已学合已学过过的数学的数学实实例和生活中的例和生活中的实实例，了解合情推理的例，了解合情推理的含含义义，能利用，能利用

8、归纳归纳和和类类比等比等进进行行简单简单的推理，体会并的推理，体会并认识认识合合情推理在数学情推理在数学发现发现中的作用。中的作用。3结结合已学合已学过过的数学的数学实实例和生活中的例和生活中的实实例，体会演例，体会演绎绎推理的推理的重要性，掌握演重要性，掌握演绎绎推理的基本模式，并能运用它推理的基本模式，并能运用它们进们进行一些行一些简单简单推理；推理；4通通过过具体具体实实例，了解合情推理和演例，了解合情推理和演绎绎推理之推理之间间的的联联系和差系和差异。异。发展要求1、了解不完全、了解不完全归纳归纳法，并根据不完全法，并根据不完全归纳归纳法猜想一些法猜想一些结论结论2、了解一般意、了解一

9、般意义义下的下的类类比比说 明类类比推理注意避免比推理注意避免“机械机械类类比比”，即，即仅仅从表面相似或偶然相似从表面相似或偶然相似的情况的情况进进行行类类比。比。导导致致错误错误。省教学指导意见解读省教学指导意见解读合情推理与演绎推理基基本本要要求求1了解直接了解直接证证明的两种基明的两种基本方法：分析法和本方法：分析法和综综合法；合法；了解分析法与了解分析法与综综合法的思合法的思考考过过程与特点。程与特点。2了解了解间间接接证证明的一种基明的一种基本方法本方法反反证证法；了解法；了解反反证证法的思考法的思考过过程与特点。程与特点。发发展展要要求求了解比了解比较较法、放法、放缩缩法。法。说

10、说 明明 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2 23 3数学数学归纳归纳法法基本基本要求要求1了解数学了解数学归纳归纳法的原理，法的原理，2能用数学能用数学归纳归纳法法证证明一些明一些简单简单的的数学命数学命题题发发展展要求要求1了解其它数学了解其它数学归纳归纳法的原理法的原理2灵活掌握数学灵活掌握数学归纳归纳法在解决法在解决较较复复杂杂的与自然数的与自然数n有关命有关命题题中的中的应应用。用。说说 明明 教教学学定定位位：通通过过对对已已学学知知识识的的回回顾顾，进进一一步步体体会会合合情情推推理理、演演绎绎推推理理以以及及二二者者之之间间的的联联系系与与差差异异；体体会会数数学学证证明

11、明的的特特点点，了了解解数数学学证证明明的的基基本本方方法法，包包括括直直接接证证明明的的方方法法（如如分分析析法法、综综合合法法、数数学学归归纳纳法法）和和间间接接证证明明的的方方法法（如如反反证证法法）；感感受受逻逻辑辑证证明明在在数数学学以以及及生生活活中中的的作作用，养成严谨习惯。用，养成严谨习惯。三、如何讲三、如何讲“推理与证明推理与证明”？1、课时课时分配（分配（理科理科8课时课时、文科文科13课时课时）2.1.1 合情推理合情推理1课时课时（2）2.1.2 演演绎绎推理推理2课时课时（3）2.2.11综综合法合法1课时课时（2）2.2.12分析法分析法1课时课时（1）2.2.2

12、反反证证法法1课时课时（2）2.2.3 数学数学归纳归纳法法1课时课时（0）小小结结1课时课时（3）2、重难点确立2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论三段论”进行简单的推理。进行简单的推理。难点是用归纳和类比进难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法明的两种基本方法综合法、分析法

13、，了解间接证综合法、分析法，了解间接证明的一种方法明的一种方法反证法；了解综合法、分析法和反反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把各种证明方法结合使用。当的证明方法或把各种证明方法结合使用。归纳推理 归归纳纳推推理理是是针针对对一一类类事事物物S而而言言的的，如如图图所所示示：S 的的部部分分事事物物A和和B共共同同具具有有的的某某种种特特性性，是是否否可可以以推推广广到到整整个个S？这这就就是是一一个个

14、从从局局部部到到整整体体的的推推理理过过程。程。3 3、概念关系认识、概念关系认识类比推理 类类比比推推理理是是针针对对的的两两类类事事物物，如如图图所所示示，在在A和和B两两类类事事物物中中，A类类中中有有性性质质P成成立立，B类类中中也也有有性性质质P成成立立，A类类中中还还有有性性质质Q成成立立，那那么么B类类中中是是否否也也具具有有性性质质Q成成立立呢呢？通通过过两两类类事事物物的的类类比比可可以以对对事事物物的的性性质质有有更更深深刻刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。合情推理合情推理 合合情情推推理理是是根根据据已已有有的的事事实实和和正正确确的的

15、结结论论（包包括括定定义义、公公理理、定定理理等等）、实实验验和和实实践践的的结结果果，以以及及个个人人的的经经验验和和直直觉觉等等推推测测某某些些结结果果的的推推理理过过程程。归归纳纳、类类比比是是合合情情推推理理常常用用的的思思维方法。维方法。演绎推理演绎推理 演演绎绎推推理理是是根根据据已已有有的的事事实实和和正正确确的的结结论论（包包括括定定义义、公公理理、定定理理等等），按按照照严严格格的的逻逻辑辑法法则则得得到到新新结结论论的的推推理理过程。过程。例例 大前提大前提:马有四条腿马有四条腿;小前提小前提:白马是马白马是马;结论结论:白马有四条腿白马有四条腿.它是从一般到特殊的推理它是

16、从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.合合情情推推理理具具有有猜猜测测和和发发现现新新结结论论、探探索索和和提提供供解解决决问问题题的的思思路路和和方方法法的的作作用用；演演绎绎推推理理则则具具有有证证明明结结论论，整整理理和和建建构构知知识识体体系系的的作作用用，是是公公理理体体系系中中的的基基本本推推理理方方法。法。合情推理与演绎推理的作用合情推理与演绎推理的作用合合情情推推理理和和演演绎绎推推理理之之间间联联系系紧紧密密、相相辅辅相相成成。证证明明通通常常包包括括逻逻辑辑证证明明和和实

17、实验验、实实践践证证明明，数数学学结结论论的的正正确确性性必必须须通通过过逻逻辑辑证证明明来来保保证证，即即在在前前提提正正确确的的基基础础上上，通通过过正正确确使使用推理规则得出结论。用推理规则得出结论。合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系类比的风险类比的风险直接证明综合法所证结论所证结论直接证明分析法在已知条件下新结果是否成立直接证明数学归纳法 要证明的结论要证明的结论否定要证明的结论否定要证明的结论把把“否定要证明的结论否定要证明的结论”作为条件作为条件结合相关公理、定理或已得的结论结合相关公理、定理或已得的结论得出新的结论得出新的结论结束结束是否与已知条件、是否与已知条件、

18、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是间接证明反证法 4 4、整体把握、整体把握l演绎推理与合情推理并重演绎推理与合情推理并重l以实际问题与已学问题为主以实际问题与已学问题为主要素材开展教学要素材开展教学l长期渗透、控制难度长期渗透、控制难度在在“合情推理合情推理”和和“演绎推理演绎推理”教学中，要通过具体实例理解合教学中，要通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。的抽象表述。补充的实例也应以补充的实例也应以“已经学过已经学过的数学实例和生活中的实例的数学实例和生活中的实例”为准，为准，对证明的问题的难度也要加以控制。对证明的问题的难度也要加以控制。

19、一点说明本章的教学属于思想方法的教学范畴，对于思想方法的教学，一般都应采取先让学生自己独立思考、实践，再讨论、归纳、概括的方式进行，这是因为思想方法不能靠讲解、灌输、记忆而学会，只能通过在实践基础上的领悟而掌握。重视过程、理清思路犹为重要。四、关于复数四、关于复数与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x210在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义 对复数教学的二个建议1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程

20、中的作用2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系五、关于框图教学五、关于框图教学4 41 1 流程图流程图流程图流程图基本要求基本要求基本要求基本要求：1.1.通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例，通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例，2.2.了解流程图的概念，能读懂流程图，并体会其优越性。了解流程图的概念，能读懂流程图，并体会其优越性。3.3.联系实际问题学会绘制简单的流程图，体会它在解决实际问题中联系实际问题学会绘制简单的流程图，体会它在解决实际问题中的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的用法。的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的

21、用法。4.4.理解流程图可以直观地表示数学计算、证明中的主要思路、步理解流程图可以直观地表示数学计算、证明中的主要思路、步骤和实际问题中的工程流程。骤和实际问题中的工程流程。发展要求：发展要求：总结一些重要的数学方法在解决数学问题中的流程。说明：说明：本节学习要紧扣增强学生应用流程图解决实际问题的能力来安排。4 42 2 结构图结构图结构图结构图基本要求基本要求基本要求基本要求：1.1.通过实例了解结构图，能读懂结构图，并体会结构图的优越性。通过实例了解结构图，能读懂结构图，并体会结构图的优越性。2.2.结合绘制简单结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用，结合绘制简单结构图，体会结构图在揭示

22、事物联系中的作用，并理解其特征，掌握其初步用法。并理解其特征，掌握其初步用法。3.3.会运用结构图梳理已学习过的知识，整理收集到的资料信息。会运用结构图梳理已学习过的知识，整理收集到的资料信息。3.3.理解结构图可以直观地表示某些数学知识系统、某些组织的结理解结构图可以直观地表示某些数学知识系统、某些组织的结构关系构关系 发展要求：发展要求：选择必修各册教材中的某些数知识（如不等式、函数、解析几何、立体几何等），运用结构图按数学知识体系进行梳理，并与他人做交流，体会各知识块的内涵与外延。说明：说明：本节学习要紧扣增强学生应用结构图解决实际问题的能力来安排，并注意揭示其与流程图的联系与区别。框图

23、课时安排建议框图课时安排建议：（共6课时）4.1流程图 约3课时 4.2结构图 约2课时 小结 约1课时框图框图教学建议教学建议：4 41 1流程图流程图流程图流程图 4.1的重点和难点都是构造流程图的方法。4.1流程图的教学可分为两步实现：一是通过读图，认识流程图;二是结合简单的具体问题学会绘制流程图，同时，渗透流程图作用及优越性的体验。框图框图教学建议教学建议：4 41 1流程图流程图流程图流程图 第一课时，认识流程图。对例1的教学要把握两点：一是联系必修3算法，回忆已经学过的框图知识，二是由此引出流程图的概念。接着的“图书借阅流程图”和“诊病流程图”意在让学生读图，并体会流程图的优越性，

24、揭示流程图的特征。本节课教学目标应该是：让学生读懂流程图，体会流程图的优越性，初步认识其特征。框图框图教学建议教学建议：4 41 1流程图流程图流程图流程图 第二节课，学习绘制流程图。要在复习的基础上引出例2，由此出发，学习用流程图表示解决问题的过程，例2后的思考要安排较充分的时间，让学生尝试运用流程图解决问题，并组织交流，促进学生通过思维活动认识流程图的绘制方法。例3既是学习绘制流程图的过程，也是运用流程图的过程，因此，例3后的思考，也要加以重视，这里安排的思考既可以体会流程图的作用，也可以概括出流程图的特征，同时，在思考的小结中，还可以联系前面例题表明绘制流程图的重要方法“先粗后细”。框图

25、框图教学建议教学建议：4 41 1流程图流程图流程图流程图 第三节课，可以由本节的探究开始，设计学生活动的情境，继续学习流程图的绘制，体会流程图的作用。这里“儿童之家”活动设计的探究问题，相比前面流程图的设计有所不同，它有两条主线，需要学生在原有经验基础之上，经过思维活动，动手尝试才能解决，而解决后对理解流程图的绘制会大有帮助。探究问题的小结中，又引入了综合法和分析法的解题过程的流程图，由此突出一个观点“数学问题是不胜枚举的，解决问题的方法也千差万别，但解决问题的过程是类似的”，并用流程图做了直观的表示，教学中，要突出流程图运用的作用，突出以上观点。框图框图教学建议教学建议：4 42 2 结构

26、图结构图结构图结构图 4.2的重点和难点都是构造结构图的方法。4.2结构图的教学也可分两步完成，一是通过读图认识结构图，二是对联系实际，学会绘制结构图表示某些数学知识系统、某些组织的结构关系，同时，要提示结构图与流程图的联系与区别。框图框图教学建议教学建议：4 42 2 结构图结构图结构图结构图 第一节课可以简单复习流程图，突出其描述具有时间特征的动态过程，而后提出问题“如何描述数学1第2章“基本初等函数（1）”的知识结构？在问题解决后，导出结构图的概念，并借助问题，提炼出结构图可以描述“从属关系或逻辑的先后关系”，而后可安排一些简单问题，认为结构图，理解其作用，并促进学生认识它与流程图的联系

27、“首先要确定组织结构图的基本要素”，然后通过连线来标明各要素之间的关系。引入后的“思考”旨在使学生理解结构图的作用，需要安排学生的自主活动，先思考，再交流。后一个探究问题，可以让学生先尝试解决，老师的小结要侧重对“下位”、“下位”概念的理解上，由此，促进学生进一步理解流程图。框图框图教学建议教学建议：4 42 2 结构图结构图结构图结构图 第二节课通过学习结构图表示各种结构，进一步理解结构图的特点和广泛的应用性，如“环”形结构、一个组织或部门的构成（“树”形结构）、及从多种不同联系的角度理解数列等方面的应用，从而揭示结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具，进一步学会结构图的绘制。框图框图教学建议教学建议：小结小结小结小结 小结时，可以对两种框图做对比，流程图可以用来表示具有时间特征的动态过程，结构图可以描述系统或组织的结构。流程图通常会有一个“起点”，一个或多个终点，其基本单元之间由流程给予连接。结构图更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属或逻辑上的先后关系。两者都是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它们能够表达比较复杂的系统合部分之间的关系，是表达和交流的有力工具。而后，可以设计一些实际问题，由学生尝试选择流程图或结构图，尝试绘制框图，进一步掌握框图的运用方法，体会其作用。再再 见见