连续型型随机变量及其概率密度.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.4 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1定义定义1 1 如果对随机变量如果对随机变量X X 的分布函数的分布函数F(X)F(X)，存在，存在一个非负可积函数一个非负可积函数 f f(x x),),使得使得则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f f(x x)是它的是它的概率密度函数概率密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密度概率密度一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念2x xf f(x x)x xF F(x x)分布函数分布函数F F(x x)与密度

2、函数与密度函数 f f(x x)的几何意义的几何意义3 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)2)1这这两两条条性性质质是是判判定定一一个个函函数数 f(x)是是否否为为某某个个随随机机变变量量X的的概概率率密密度度函函数数的的充充要要条条件件.3)X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 4注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关由此可得由此可得这是因为这是因为5 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，

3、恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)()对对 f(x)的进一步理解的进一步理解6事实上，若不计高阶无穷小，有：事实上，若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.7 密度函数密度函数 f(x)在某点处

4、在某点处a的高度，并不反的高度，并不反映映X取值的概率取值的概率.但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.也可以说，在也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度附近的程度.1问题：问题：f(a)是是=a的概率吗？的概率吗？8PX=a=0而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=问题：问题：概率为零的事件一定是不可能事件概率为零的事件一定是不可能事件吗？吗？类似可知，类似可知，9例例1 设随机变量设随

5、机变量的密度函数为的密度函数为求其分布函数求其分布函数解解当当当当10当当故故11例例2 设随机变量设随机变量的分布函数为的分布函数为求求(1)概率概率(2)的密度函数的密度函数.解解 由连续型随机变量分布函数的性质由连续型随机变量分布函数的性质,有有(1)12例例2 设随机变量设随机变量的分布函数为的分布函数为求求(2)的密度函数的密度函数.解解(2)的密度函数为的密度函数为13解解例例3得141516今日作业：今日作业：P50：1 ,2.谢谢大家！17二、二、常用连续型分布常用连续型分布.均匀分布均匀分布18X X 的分布函数为的分布函数为19均匀分布的意义均匀分布的意义事实上事实上，若若

6、X U(a,b)，则对于满足，则对于满足的的c,d,总有总有20均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间如公交系统中乘客随机乘车的等车时间21例例4 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午 7 时起时起,每每 15 分钟来一分钟来一班车班车,即即 7:00,7:15,7:

7、30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站,如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间是是 7:00 到到 7:30 之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于 5 分钟的分钟的概率概率.解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意22为使候车时间为使候车时间少于少于 5 分钟分钟,乘客必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间,或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站,故所故所求概率为求概率为即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3.232 2、指数分布指数分布

8、若若 X X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X X 服从服从 参数为参数为 的指数分布的指数分布记作记作X X 的分布函数为的分布函数为 0 0 为常数为常数24指数分布的重要性质指数分布的重要性质:“无记忆性无记忆性”.证明证明指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！25 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间间.有些系统的寿命分布也可用指数分布来有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似近似,当当电子产品的失效是偶然失效时电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布其寿命服从指数分布.

9、在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.一般地一般地,当随机质点流中在长当随机质点流中在长 t 的时间内出现的的时间内出现的质点数服从参数为质点数服从参数为 t 的泊松分布时的泊松分布时,其相继出现两个其相继出现两个质点的事件间就服从参数为质点的事件间就服从参数为 的指数分布的指数分布.

10、26例例5 某元件的寿命某元件的寿命服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,的分布函数为的分布函数为由此得到由此得到27例例5 某元件的寿命某元件的寿命服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时

11、损坏的元件数,所求概率为所求概率为则则283.正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)29正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征303132即即f f(x x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定 ,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 f f(x x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同 形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f f(x x)的形状不同的形状不同.若若 1 1 2 2 则则比比x=x=2 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线 x=x=附近值的概率更大附近值的概率更大.x=x=1 1 所对应的所对应的拐点

12、拐点前者取前者取 33 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 34正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一

13、，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的重要性正态分布的重要性35正态分布的分布函数正态分布的分布函数36正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不

14、是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用统计软件计算利用统计软件计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算37标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为38标准正态分布的图形标准正态分布的图形39查表标准正态分布函数表查表标准正态分布函数表解解例例6 40由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：即即41证明证明 Y Y 的分布函数的分布函数为为.所以所以42将上两式分别对求将上两式分别对求y导导,得得43(2)(2)在在(1)(

15、1)中取中取44注注 如果如果那么那么45例例7 设设求求解解 这里这里故故查表得查表得0.9772;46例例7 设设求求解解 6.10XP;3094.0=47例例8 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩若按参赛人若按参赛人数的数的 10%发奖发奖,问获奖分数线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为立的立的即即则求使则求使成成48例例8 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩若按参赛人若按参赛人数的数的 10%发奖发奖,问获奖分数线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为立的立的即即则求使则求使成成查表得查表得解得解得定为定为78分分.故分数线可故分数线

16、可49例例9解解假假设设某某地地区区成成年年男男性性的的身身高高(单单 位位:厘厘 米米)求该地区成年男性的身高超过求该地区成年男性的身高超过厘米的概率厘米的概率.根据假设根据假设且且表表示该地区成年男性的身高超过示该地区成年男性的身高超过厘米厘米,可得可得50例例10格品的概率格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度(单位单位:厘米厘米)根据假设根据假设记记表示螺栓为合格品表示螺栓为合格品.则则解解于是于是规定螺规定螺服从参数服从参数的正态分布的正态分布.内为合格品内为合格品,栓长度在栓长度在试求螺栓为合试求螺栓为合即螺栓为合格品的概率等于即螺栓为合格品的概率等于 0

17、.9544.51例例11在电源电压不超过在电源电压不超过 200 伏伏,在在 200240 伏和超伏和超过过 240 伏三种情形下伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分某种电子元件损坏的概率分别为别为 0.1,0.001 和和 0.2.假设电源电压假设电源电压服从正态分服从正态分布布试求试求:(1)该电子元件损坏的概率该电子元件损坏的概率(2)该电子元件损坏时该电子元件损坏时,电源电压在电源电压在 200240 伏的伏的概率概率52解解 引入事件引入事件电压不超过电压不超过 200 伏伏,电压不超过电压不超过 200240 伏伏,电压超过电压超过240伏伏;电子元件损坏电子元件损坏.由条件知由条件知因此因此2525532554(1)由题设条件由题设条件,于是由全概率公式于是由全概率公式,有有(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式,有有553 法则法则：服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X落落在区间内的概率为在区间内的概率为0.9974，落在该，落在该区间外的概率只有区间外的概率只有0.0026.也就是说，也就是说，X几乎不可能几乎不可能在区间之外取值。在区间之外取值。事实上，若则事实上，若则56今日作业：今日作业：P50：4 ,8 ,14.谢谢大家！57