控制工程数学模型.ppt

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1、第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型作者：浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论自动控制理论普通高等教育普通高等教育普通高等教育普通高等教育“十一五十一五十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材国家级规划教材国家级规划教材5/28/20231第二章 控制系统的数学模型描述系统运动的数学模型描述系统运动的数学模型状态变量描述状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式。状态方程是这种描述的最基本形式。建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法 实验法实验法 解析法解析法 输入输出描述输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它微分方程是这种描述的最基本形式。传

2、递函数、方框图等其它模型均由它而导出。模型均由它而导出。自动控制理论自动控制理论5/28/20232第二章 控制系统的数学模型第一节第一节 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式的微分方程式对所求的微分方程进行标准化处理对所求的微

3、分方程进行标准化处理图2-1-L-C电路消去中间变量 ，则有:自动控制理论自动控制理论由基尔霍夫定律得：由基尔霍夫定律得：电气网络系统电气网络系统1、无负载效应的电路、无负载效应的电路5/28/20233第二章 控制系统的数学模型图2-2 R-C滤波网络消去中间变量消去中间变量i1 、i2 得得或写作自动控制理论自动控制理论2、有负载效应的电路、有负载效应的电路对于图对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：5/28/20234第二章 控制系统的数学

4、模型求图求图求图求图2-32-32-32-3所示弹簧所示弹簧所示弹簧所示弹簧-质量质量质量质量-阻尼器系统的数据模型阻尼器系统的数据模型阻尼器系统的数据模型阻尼器系统的数据模型由牛顿第二定律列出方程由牛顿第二定律列出方程由牛顿第二定律列出方程由牛顿第二定律列出方程图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统即即式中：式中：式中：式中：为阻尼系数为阻尼系数为阻尼系数为阻尼系数阻尼器阻力阻尼器阻力阻尼器阻力阻尼器阻力自动控制理论自动控制理论ky(t)ky(t)弹簧拉力弹簧拉力弹簧拉力弹簧拉力为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数机械位移系统机械位移系统5/28/20235第二章 控制

5、系统的数学模型自动控制理论自动控制理论液位控制系统液位控制系统 图图2-4中，中，Q1、Q2和和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和液位的高度值。液位的高度值。q1(t)、q2(t)和和h为相应变量的增量。为相应变量的增量。设液槽的面积为设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有考虑在平衡状态考虑在平衡状态H=定值，定值，Q1=Q2，则上式可改写为，则上式可改写为基于液位基于液位h(t)与流量与流量q2(

6、t)之间的关系如图之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：所示，它的数学表达式为：（2-4）（2-5）图2-4 液位系统5/28/20236第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论 式中式中为比例常数（与为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后q2(t)与与h(t)的关系为的关系为或写作：或写作：式中，把式（2-6）代入式（2-4）得其中，T=RC或图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线（2-6）（2-7）5/28/20237第二章 控制系统的数学模型第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线

7、性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在微偏法微偏法微偏法微偏法在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们间的，它们间的 关系如图关系如图2-1

8、1所示，相应的数学表达式为所示，相应的数学表达式为图图 2-11 非线性特性的线性非线性特性的线性化化y=f(x)（2-17）自动控制理论自动控制理论5/28/20238第二章 控制系统的数学模型在给定工作点在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数）附近，将上式展开为泰勒级数自动控制理论自动控制理论5/28/20239第二章 控制系统的数学模型第三节第三节 传递函数传递函数传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。变换与其

9、输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。设线性定常系统的微分方程式为设线性定常系统的微分方程式为自动控制理论自动控制理论5/28/202310第二章 控制系统的数学模型在零初始条件下，对上式进行拉式变换得在零初始条件下，对上式进行拉式变换得自动控制理论自动控制理论于是得于是得(2-31)5/28/202311第二章 控制系统的数学模型 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成

10、为描述系统运动的又一形式的数学模型。运动的又一形式的数学模型。由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量用复变量s s表示，把表示，把c(tc(t)和和r(tr(t)换换为相应的象函数为相应的象函数C(sC(s)和和R(sR(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。亦然。单位脉冲响应及应用单位脉冲响应及应用小结小结自动控制理论自动控制理论5/28/202312第二章 控制系统的数学模

11、型传递函数的性质传递函数的性质 传递函数只取决于系统传递函数只取决于系统(或元件或元件)的结构和参数，与外施信号的的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次的最高阶次m，即，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数

12、只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性映系统内部的特性 对于多输入对于多输入多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出的关系，例如对于图与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。所示的系统。自动控制理论自动控制理论5/28/202313第二章 控制系统的数学模型图图2-14 多输入多输出系统多输入多输出系统 由图由图2-14得得自动控制理论自动控制理论5/28/202314第二章 控制系统的数学模型典型环节的传递函数典型环节的传递函数特点：特点：输出不失真、不延迟

13、、成比例地复现输入信号的变化输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化比例环节比例环节惯性环节惯性环节特点：特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程自动控制理论自动控制理论5/28/202315第二章 控制系统的数学模型积分环节积分环节特点：特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有图2-15 积分调节器例如图例如图2-15所示的积分器，其传递函数为所示的积分器，其传递函数为自动控制理论自动控制理论对应的传递函数：对应的传递函数：T-环节的时间常数环节的时间常数5/28/202316第二章 控制系统的

14、数学模型微分环节微分环节理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即图2-16 R-C网络1）实际的微分环节，如图）实际的微分环节，如图2-16所示，它的所示，它的传递函数为：传递函数为：2）直流测速发电机。如图）直流测速发电机。如图2-17所示，所示，图2-17直流测速发电机自动控制理论自动控制理论5/28/202317第二章 控制系统的数学模型振荡环节振荡环节特点：特点：如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式如输入为阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式微分方程具有式（具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到

15、，例如）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如自动控制理论自动控制理论5/28/202318第二章 控制系统的数学模型1）R-L-C电路的传递函数电路的传递函数2）弹簧）弹簧-质量质量-阻尼器系统的传递函数阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数）直流他励电动机在变化时的传递函数上述三个传递函数在化成式（上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼）所示的形式时，虽然它们的阻尼比比和和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是，则它们都是振荡环节。振荡环节。自动控制理论自动控制理论5/28/202319第二

16、章 控制系统的数学模型纯滞后环节纯滞后环节图2-18 具有传递滞后的装置则则如果如果自动控制理论自动控制理论电气网络传递函数的求取电气网络传递函数的求取无源网络电路图2-19 无源网络图图2-19中中z1和和z2为复数阻抗，由图得为复数阻抗，由图得5/28/202320第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论即（2-41）图2-20 R-C电路例例2-1 求图求图2-20所示电路的传递函数所示电路的传递函数解：解：由式（由式（2-41）得）得5/28/202321第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论有源网络电路有源网络电路图2-21 有源网络1图2-22 有源网络2设设

17、Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，为复数阻抗，并略去运放的输入电流，则由图并略去运放的输入电流，则由图2-21得得基于上述同样的假设，由图基于上述同样的假设，由图2-22得得即消去上述式中的中间变量消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和和UB，求得：，求得：5/28/202322第二章 控制系统的数学模型例例2-2 求图求图2-23、图、图2-24所示两个有源网络的传递函数所示两个有源网络的传递函数。1）在图）在图2-23中中，于是得2）在图）在图2-24中，中，则由式（则由式（2-43）得）得图2-23 PI调节器图2-24 PD调节器作业：作业：P58 2-2(a)、2-65/28

18、/202323第二章 控制系统的数学模型第四节第四节 系统框图及其等效交换系统框图及其等效交换绘制系统框图的一般步骤（以拉氏变换形式绘制框图求取传递函数）绘制系统框图的一般步骤（以拉氏变换形式绘制框图求取传递函数）1、写出系统中每一个部件的运动方程式写出系统中每一个部件的运动方程式2、根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示，在框中填入相应的传递函数个方框表示，在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左

19、端，输出量置于最右端入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端例例2-3 绘制图绘制图2-26所示所示R-C网络的系统框图网络的系统框图1）列写该网络的运动方程）列写该网络的运动方程自动控制理论自动控制理论图2-26 R-C网络5/28/202324第二章 控制系统的数学模型2）画出上述两式对应的方框图）画出上述两式对应的方框图例例2-4 绘制图绘制图2-2所示所示R-C网络方框图网络方框图1）列写运动方程自动控制理论自动控制理论图2-27 图2-26所示电路的系统框图图2-2 R-C滤波网络3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-27c的系统方框图

20、的系统方框图5/28/202325第二章 控制系统的数学模型2）画出上述四式对应的方框图，如图）画出上述四式对应的方框图，如图2-28a所示所示3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2-28b所示的所示的方框图方框图自动控制理论自动控制理论图2-28 图2-2所示电路的系统框图5/28/202326第二章 控制系统的数学模型框图的等效变换（目的是为了求取复杂系统的传递函数）框图的等效变换（目的是为了求取复杂系统的传递函数）1、串联连接、串联连接图2-31 环节的串联连接通式：通式：2、并联连接、并联连接图图2-32 环节的并联

21、连接自动控制理论自动控制理论5/28/202327第二章 控制系统的数学模型由图由图2-32得得通式：通式：3、反馈连接、反馈连接图图2-33 环节的反馈连接环节的反馈连接自动控制理论自动控制理论5/28/202328第二章 控制系统的数学模型1）负反馈连接）负反馈连接2）正反馈连接）正反馈连接例如：称为全反馈或例如：称为全反馈或 单位反馈系统单位反馈系统4、引出点移动、引出点移动1）引出点后移）引出点后移图2-34 图2-27所示框图的化简自动控制理论自动控制理论5/28/202329第二章 控制系统的数学模型2）引出点前移）引出点前移5、综合点移动、综合点移动1）综合点后移）综合点后移2）

22、综合点前移）综合点前移自动控制理论自动控制理论等效变换的原则是：确保变换部分在变换前后的传递关系不变等效变换的原则是：确保变换部分在变换前后的传递关系不变;综合点可互换，引出点可互换；综合点可互换，引出点可互换；但综合点和引出点不互换；但综合点和引出点不互换；5/28/202330第二章 控制系统的数学模型例例2-5 求图求图2-35所示系统的传递函数所示系统的传递函数C(s)/R(s)解：解：将图中引出点将图中引出点A后移后移,然后从内回路到外回路逐步化简然后从内回路到外回路逐步化简,其过程为图其过程为图2-28所示所示图2-35 多回路系统的框图自动控制理论自动控制理论5/28/20233

23、1第二章 控制系统的数学模型图2-36 图2-35框图的等效变换自动控制理论自动控制理论作业：作业：P58 2-4、2-5(a)、2-75/28/202332第二章 控制系统的数学模型第五节第五节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 设控制系统的方框图如图设控制系统的方框图如图2-38所示，图中所示，图中R（S）为参考输入，）为参考输入，D（S）为）为扰动信号。扰动信号。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。图2-38 控制系统的方框图开环传递函数与前向通道传递函数开环传递函数与前向通道传递函数开环传递函数定义：开环传递函

24、数定义：系统反馈量系统反馈量B(s)与误差信号与误差信号E(s)之比，即之比，即自动控制理论自动控制理论5/28/202333第二章 控制系统的数学模型 令令D(s)=0，把图，把图2-38变为图变为图2-39。图中。图中CR(s)和和ER(s)分别为分别为R(S)作用下作用下的输出与误差。的输出与误差。自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论闭环系统的传递函数（闭环系统的传递函数（注意：有扰动作用，可用线性叠加的方法注意：有扰动作用，可用线性叠加的方法）前向通路传递函数定义：前向通路传递函数定义：系统的输出量系统的输出量C(s)与误差信号与误差信号E(S)之比值，即之比值，即输入参数

25、输入作用下的闭环传递函数输入参数输入作用下的闭环传递函数1.闭环传递函数闭环传递函数CR(s)/R(s)根据式（根据式（2-46）求得）求得系统相应的输出为：系统相应的输出为：5/28/202334第二章 控制系统的数学模型图图2-39 输入作用下的系统框图输入作用下的系统框图如果如果H(s)=1，则图，则图2-39所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论5/28/202335第二章 控制系统的数学模型扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数 令令r(t)=0，于是图，于是图2-38所示的方

26、框图就可改画为图所示的方框图就可改画为图2-40。图中。图中CD(s)表表示由扰动作用引起系统的输出。示由扰动作用引起系统的输出。自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论2.闭环（闭环（误差）误差）传递函数传递函数ER(s)/R(s)于是求得于是求得在参考输入作用下误差的闭环传递函数在参考输入作用下误差的闭环传递函数。1.闭环传递函数闭环传递函数CD(s)/D(s)CD(s)与与D(s)的比值称为扰动作用下的闭环传递函数。根据式（的比值称为扰动作用下的闭环传递函数。根据式（2-46）得）得5/28/202336第二章 控制系统的数学模型图图2-40 扰动作用下系统的框图扰动作用下系统的

27、框图自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论2.闭环（闭环（扰动误差扰动误差）传递函数）传递函数ED(s)/D(s)由扰动作用产生的误差由扰动作用产生的误差ED(s)与与D(s)之比，称为扰动误差传递函数。即之比，称为扰动误差传递函数。即把扰动把扰动D(s)作为系统的输入，由扰动引起的误差作为系统的输入，由扰动引起的误差ED(s)为系统的输出。这样，为系统的输出。这样，图图2-38所示系统的方框图就可改画为图所示系统的方框图就可改画为图2-41。根据式（。根据式（2-46），求得扰动误），求得扰动误差的传递函数为：差的传递函数为：5/28/202337第二章 控制系统的数学模型 当系统

28、同时受到当系统同时受到R(s)和和 D(s)作用时，由叠加原理可知，系统总的输出作用时，由叠加原理可知，系统总的输出为它们单独作用于系统引起的输出之和。即为它们单独作用于系统引起的输出之和。即自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论图图2-41 扰动作用下系统的框图扰动作用下系统的框图同理，可求得在同理，可求得在R(s)和和 D(s)共同作用下系统总的误差：共同作用下系统总的误差：（2-56）（2-57）上式中，当满足上式中，当满足|G1(s)G2(s)H(s)|1和和|G1(s)H(s)|1时，可得出如下的结时，可得出如下的结论：论：5/28/202338第二章 控制系统的数学模型1

29、）当）当|G1(s)H(s)|1时，由式（时，由式（2-49）得（不考虑扰动）得（不考虑扰动）自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论 这表示，闭环传递函数这表示，闭环传递函数CR(s)/R(s)基本上与基本上与G1(s)、G2(s)无关，它只与无关，它只与H(s)成反比关系：即成反比关系：即G1(s)、G2(s)的变化不会对闭环传递函数产生明显的影响，的变化不会对闭环传递函数产生明显的影响，这是闭环系统的优点之一。这是闭环系统的优点之一。2）由式（）由式（2-53）可知：）可知：由于由于|G1(s)H(s)|1，故，故CD(s)/D(s)很小，这表示由扰动对系统产生的影响很小，这表示

30、由扰动对系统产生的影响基本被抑制，这是闭环系统的又一优点。基本被抑制，这是闭环系统的又一优点。3）当）当H(s)=1，|G1(s)G2(s)|1时，由式（时，由式（2-49）得（不考虑扰动）得（不考虑扰动）作业：作业：P58 2-35/28/202339第二章 控制系统的数学模型第六节第六节 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用 信号流图也是一种图示法，把它应用于线性系统时必须先将系统的微分信号流图也是一种图示法，把它应用于线性系统时必须先将系统的微分方程组变成以方程组变成以s为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式。为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式

31、。信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。节点节点在图中用在图中用“O”表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为用一被称为支路支路的有向线段来表示。的有向线段来表示。箭头箭头表示信号的传输方向，两变量间表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做的因果关系叫做增益增益，标明在相应的支路旁。，标明在相应的支路旁。自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论例如一个线性方程为例如一个线性方程为5/28/202340第二章 控制系统的数学模型下面举例说明信号流图绘制的步骤：下面举例说明信号流图绘制的

32、步骤：绘制的步骤如图绘制的步骤如图2-43所示。所示。图图2-43 方程组的信号流程方程组的信号流程自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论设一系统的线性方程组为：设一系统的线性方程组为：5/28/202341第二章 控制系统的数学模型信号流图的术语和性质信号流图的术语和性质1、术语、术语 节点节点代表系统中的变量代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和并等于所有流入该节点的信号之和 支路支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点 输入节点或源点输入节点或源点相当于自变量，它只有输出支路相当于自变量，它只有输出支路 输出

33、节点或阱点输出节点或阱点只有输入支路的节点，对应于因变量只有输入支路的节点，对应于因变量 通路通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路开通路通路与任一节点相交只有一次通路与任一节点相交只有一次 闭通路闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交只有一次通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交只有一次 前向通路前向通路从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点只有一次，则称从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点只有一次，则称该通路为前向通路该通路为前向通路 回路回路就是闭通路就是闭通路 不接触回路不接触回路

34、一些回路间没有任何公共节点一些回路间没有任何公共节点 前向通路增益前向通路增益在前向通路中，各支路增益的乘积在前向通路中，各支路增益的乘积 回路增益回路增益回路中各支路增益的乘积回路中各支路增益的乘积自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论5/28/202342第二章 控制系统的数学模型2 2、性质、性质 信号流图只适用于线性系统信号流图只适用于线性系统 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递头指向传递 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所在节点上可以把所有输入支路

35、的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路有的输出支路 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理可以把它作为输出节点来处理 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。图图2-44 列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论5/28/202343第二章 控制系统的数学模型图图2-44 框图与相应的信号流图框图与相应的信号流图自动控制理论自动

36、控制理论自动控制理论自动控制理论5/28/202344第二章 控制系统的数学模型梅逊增益公式梅逊增益公式梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论5/28/202345第二章 控制系统的数学模型图图2-45 例例2-7图图例例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数试用梅逊公式求系统的闭环传递函数自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论a)多回路控制系统的框图多回路控制系统的框图 b)系统的信号流图系统的信号流图5/28/202346第二章 控制系统的数学模型解：解

37、：1.求前向通道的传输求前向通道的传输 因为只有一条前向通道，所以因为只有一条前向通道，所以自动控制理论自动控制理论2.求信号流图的特征式求信号流图的特征式 先求不同回路传输之和先求不同回路传输之和因为没有不接触回路，所以因为没有不接触回路，所以3.求系统的闭环传递函数求系统的闭环传递函数作业：作业：P59 2-11(a)5/28/202347第二章 控制系统的数学模型第七节第七节 控制系统的反馈特性控制系统的反馈特性自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论 闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们广泛应用，其原理闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们广泛应用，其

38、原理是它有着下列开环系统所没有的特性。是它有着下列开环系统所没有的特性。反馈能减小参数变化对系统的影响反馈能减小参数变化对系统的影响图图2-46 开环与闭环系统的框图开环与闭环系统的框图图图2-46(a)和和(b)分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出假设由于参数的变化，使假设由于参数的变化，使G(s)变为变为 ，其中，其中 ，则开环系统的输出变为则开环系统的输出变为5/28/202348第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论其输出的变化量其输出的变化量对于图对于图2-46(b)所示的闭环系统，其输出由所示的

39、闭环系统，其输出由变为变为基于基于于是得于是得（2-62）（2-63）对于式（对于式（2-62）和（）和（2-63）可知，由于）可知，由于G(s)的变化，闭环系统输出的变化的变化，闭环系统输出的变化量仅是开环系统输出变化量的量仅是开环系统输出变化量的1/(1+GH)倍。倍。如令如令G(s)=K，H(s)=1，当，当K变为变为K+K时，其中时，其中K0，0，开环传递函数，开环传递函数相应的闭环传递函数相应的闭环传递函数 它们的极点分别为它们的极点分别为-和和-(K+)。若令。若令r(t)=(t),R(s)=1,则开环与闭环系统则开环与闭环系统的脉冲响应函数分别为的脉冲响应函数分别为图图2-47

40、一阶系统一阶系统5/28/202350第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论若令若令=1，K=4，则得，则得 由此可知，闭环系统脉冲响应的时间常数仅为开环系统的由此可知，闭环系统脉冲响应的时间常数仅为开环系统的1/5倍，这倍，这表明具有反馈作用的闭环系统，其瞬态响应要比开环系统快表明具有反馈作用的闭环系统，其瞬态响应要比开环系统快5 倍。倍。反馈能减小或消除干扰对系统的影响反馈能减小或消除干扰对系统的影响图图2-48 直流调速系统的框图直流调速系统的框图图图2-48为一直流调速系统的框图（忽略电感为一直流调速系统的框图（忽略电感L的影响）。图中的影响）。图中

41、5/28/202351第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论被控制量（电动机的角速度）被控制量（电动机的角速度）干扰信号（负载转矩）干扰信号（负载转矩）电势系数电势系数转矩系数转矩系数给定电压给定电压反馈电压反馈电压测速反馈系数测速反馈系数由梅逊公式求得在扰动信号由梅逊公式求得在扰动信号Td作用下的开环与闭环系统的输出分别为作用下的开环与闭环系统的输出分别为开环系统：开环系统：闭环系统：闭环系统：若令若令TD(s)=1/s，则开环系统稳态输出的变化量为，则开环系统稳态输出的变化量为5/28/202352第二章 控制系统的数学模型而闭环系统稳态输出的变化量而闭

42、环系统稳态输出的变化量自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论（2-66）显然，显然，。若把图。若把图2-48中的中的K换作换作 ，则有，则有仍令仍令Td(s)=1/s，于是得，于是得这表示由于闭环系统的反馈作用，扰动对系统稳态输出的影响完全被消除。这表示由于闭环系统的反馈作用，扰动对系统稳态输出的影响完全被消除。5/28/202353第二章 控制系统的数学模型第八节第八节 用用MATLABMATLAB处理控制系统的数学模型处理控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论传递函数模型传递函数模型控制系统常用的数学模型有以下控制系统常用的数学模型有以下4种形式。种形

43、式。传递函数模型传递函数模型(tf对象对象)零、极点增益模型零、极点增益模型ZPK对象对象状态空间模型状态空间模型(SS对象对象)动态框图动态框图本节主要介绍传递函数模型和建立零、极点形式的传递函数。本节主要介绍传递函数模型和建立零、极点形式的传递函数。令系统的传递函数为令系统的传递函数为 在在MATLAB建立传递函数时，需将其分子与分母多项式的系数写成两个矢量，建立传递函数时，需将其分子与分母多项式的系数写成两个矢量，并用并用tf()函数给出，即函数给出，即Sys=tf(num，den)5/28/202354第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论式中，式中

44、，num=b0 b1 b2 bm 表示表示G(s)分子多项式的系数；分子多项式的系数；den=a0 a1 a2 am 表示分母多项式的系数；表示分母多项式的系数；Num和和den都是按都是按s的除幂次序给出。的除幂次序给出。例例2-8 试用试用MATLAB表示下列的传递函数表示下列的传递函数解解 在在MATLAB的命令窗口中键入的命令窗口中键入num=1 2；%分子多项式分子多项式Den=1 2 1；%分母多项式分母多项式Sys=tf(num,den)%求传递函数表达式求传递函数表达式在程序中由在程序中由%引导的部分是注释语句。引导的部分是注释语句。建立零、极点形式的传递函数建立零、极点形式的

45、传递函数如把传递函数写成以零、极点表示的形式，即如把传递函数写成以零、极点表示的形式，即5/28/202355第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论 在在MATLAB中采用中采用ZPK(Z，P，K)函数给出相应零、极点形式的传递函数。函数给出相应零、极点形式的传递函数。其中其中Z=z1，z2zm表示表示G(s)的零点；的零点；P=p1，p2pn表示表示G(s)的极占；的极占；K=K表示增益。表示增益。例例2-9 试用试用MATLAB表示下列的传递函数表示下列的传递函数解解 在在MATLAB的命令窗口中键入的命令窗口中键入Z=-2；%分子多项式分子多项式P=-

46、1-3；%分母多项式分母多项式K=1；Sys=ZPK(Z，P，K)%求传递函数表达式求传递函数表达式 如果需要将零、极点形式的传递函数转换为一般的传递函数形式，只需如果需要将零、极点形式的传递函数转换为一般的传递函数形式，只需再输入下面两条指令：再输入下面两条指令：num，den=ZP2tf(Z，P，K);%将零、极点形式的模型转换为传递函数模型将零、极点形式的模型转换为传递函数模型Sys=tf(num，den);%求传递函数表达式求传递函数表达式5/28/202356第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论框图的串联、并联与反馈连接框图的串联、并联与反馈连接

47、图图2-50 框图框图1、串联、并联连接、串联、并联连接 图图2-50a为串联连接的框图，用指令为串联连接的框图，用指令 可求取串联可求取串联连接后的传递函数。连接后的传递函数。图图2-50b为并联连接的框图，用指令为并联连接的框图，用指令 可求取并联可求取并联连接后的传递函数。连接后的传递函数。例如：令例如：令在在MATLAB的命令窗口中键入下列程序，可求得串联和并联的传递函数。的命令窗口中键入下列程序，可求得串联和并联的传递函数。G1=tf(1,1 2 1);G2=tf(1,1 2);Sys=Series(G1*G2)或或G1=tf(1,1 2 1);G2=tf(1,1 2);Sys=Pa

48、rallel(G1,G2)5/28/202357第二章 控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论1、反馈连接、反馈连接图图2-51 反馈控制系统反馈控制系统 对于图对于图2-51所示框图的反馈连接形式，可用指令所示框图的反馈连接形式，可用指令来求取系统的传递函数。其中来求取系统的传递函数。其中Sign用于定义反馈的极性。如果是正反馈，则用于定义反馈的极性。如果是正反馈，则Sign=+1；如果是负反馈，则；如果是负反馈，则Sign=-1。如果省略。如果省略Sign变量，则默认为负反馈连接。变量，则默认为负反馈连接。例如：令例如：令在在MATLAB的命令窗口中键入下列程序，即可求得反馈连接的传递函数。的命令窗口中键入下列程序，即可求得反馈连接的传递函数。G=tf(1,1 2 1);H=tf(1,1 1);Sys=feekback(G1，H)5/28/202358第二章 控制系统的数学模型