方程模型的区间估计.ppt

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1、2.5 2.5 多元线性回归模型的区间估计多元线性回归模型的区间估计Interval Estimation of Multiple Linear Regression Model多元线性回归模型的置信区间问题多元线性回归模型的置信区间问题,包括参数的置包括参数的置信区间和被解释变量预测期实际值的置信区间两个信区间和被解释变量预测期实际值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计，就是用一个取值区间来表达对总体所谓区间估计，就是用一个取值区间来表达对总体参数的估计。该数值区间称为总体参数的置信区间参数的估计。该数值区间称为总体参数的置信

2、区间（confidence interval）。该数值区间将总体参数包。该数值区间将总体参数包含在内的概率称为置信水平含在内的概率称为置信水平（confidence coefficient）。一、参数的区间估计一、参数的区间估计线线性性回回归归模模型型的的参参数数估估计计量量是是随随机机变变量量(N(?,?)(N(?,?)，利利用用一一次次抽抽样样的的样样本本观观测测值值，估估计得到的只是参数的一个点估计值。计得到的只是参数的一个点估计值。如如果果用用参参数数的的一一个个点点估估计计值值近近似似代代表表参参数数值值，那那么么，二二者者的的接接近近程程度度如如何何？以以多多大大的的概概率率达到该

3、接近程度？达到该接近程度？1 1、问题的提出、问题的提出为为回回答答上上面面的的问问题题，这这就就要要构构造造一一个个以以参参数数的的点点估估计计值值为为中中心心的的区区间间（称称为为置置信信区区间间），该该区区间间以以一一定的概率（称为置信水平）包含该参数。定的概率（称为置信水平）包含该参数。ab bb bb b-=+-1)(a aa aPjjj参数的区间估计的目的就是参数的区间估计的目的就是要求出与要求出与a相对应的相对应的a a。如何理解区间估计：（1）一般意义。这种区间是一个随机区间，而）一般意义。这种区间是一个随机区间，而真值真值为一非随机数（固定的常数），从长期看，为一非随机数（固

4、定的常数），从长期看，平均地说，在重复抽样过程中，这些区间将有平均地说，在重复抽样过程中，这些区间将有（1-）%次包含着真值。次包含着真值。（2）具体而言，一旦给定样本，那么这个区间）具体而言，一旦给定样本，那么这个区间就不在是随机的了，而是一个确定的区间。因此，就不在是随机的了，而是一个确定的区间。因此，此区间包含真值的概率不是此区间包含真值的概率不是1就是就是0。（3）进行估计值的区间估计，实质上就是如何）进行估计值的区间估计，实质上就是如何确定确定a。根据数理统计的知识，要完成。根据数理统计的知识，要完成a 的确定，的确定，必须要知道估计式（量）的必须要知道估计式（量）的抽样分布抽样分布

5、。2 2、参数的区间估计、参数的区间估计在实际应用中，我们当然希望置信水平越高越好，置信区间在实际应用中，我们当然希望置信水平越高越好，置信区间越小越好。越小越好。问问 题题那么，在保持置信水平不变的情况下，怎样才能缩小置信区那么，在保持置信水平不变的情况下，怎样才能缩小置信区间？间？但是但是，置信水平与置信区间是矛盾的。置信水平与置信区间是矛盾的。置信水平越高，在其置信水平越高，在其它情况不变时，临界值它情况不变时，临界值2a at越大，置信区间越大。越大，置信区间越大。如果要求缩如果要求缩小置信区间，在其它情况不变时，就必须降低对置信水平的小置信区间，在其它情况不变时，就必须降低对置信水平

6、的要求。要求。3 3、如何缩小参数的置信区间、如何缩小参数的置信区间增大样本容量增大样本容量n n。在同样的置信水平下，在同样的置信水平下，n 越大，从越大，从 t 分布分布表中查得自由度为（表中查得自由度为（n-k-1）的临界值）的临界值2a at越小；同时，增大样越小；同时，增大样本容量，在一般情况下可使本容量，在一般情况下可使1)(-=kncSejjjeeb b减小，因为式减小，因为式中分母中分母 的增大是肯定的，分子并不一定增大。的增大是肯定的，分子并不一定增大。更主要的是提高模型的拟合优度。更主要的是提高模型的拟合优度。因为模型的拟合优度越因为模型的拟合优度越高，残差平方和高，残差平

7、方和ee 越小。设想一种极端情况，如果模型完全越小。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为，则置信区间也为 0。提高样本观测值的分散度。提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越在一般情况下，样本观测值越分散，分散，cjj越小。越小。二、预测期实际值的区间估计二、预测期实际值的区间估计1 1、问题的提出、问题的提出计量经济学模型的一个重要应用是经济预测。对于模型计量经济学模型的一个重要应用是经济预测。对于模型$YX=$B B如果给定样本以外的解释变量的观测值如果给定样本以外的解释变量的观测值),1(02010kXXXL=

8、0X，可以得到被解释变量的预测值可以得到被解释变量的预测值 =B B00XY于是，又是一个区间估计问题。于是，又是一个区间估计问题。但是，严格地说，但是，严格地说，我们得到的仅仅是预测期实际值我们得到的仅仅是预测期实际值的一个点估计值的一个点估计值,而不是对应于而不是对应于X0的真实的的真实的Y0。原因原因在于两方面：一是模型中的参数估计量是不确在于两方面：一是模型中的参数估计量是不确定的，随样本的不同而不同；二是随机项的影响。定的，随样本的不同而不同；二是随机项的影响。这样，预测期的实际值仅以某一个置信水平处于以这样，预测期的实际值仅以某一个置信水平处于以该估计值为中心的一个区间中。该估计值

9、为中心的一个区间中。2 2、预测期实际值的置信区间的推导、预测期实际值的置信区间的推导如果已知被解释变量的预测期实际值如果已知被解释变量的预测期实际值Y0，那么预测，那么预测误差为：误差为：容易证明：容易证明：所以所以 取取e0的方差的估计量为的方差的估计量为 构造统计量构造统计量 这就是说，当给定解释变量值这就是说，当给定解释变量值X X0 0后，该区间将以（后，该区间将以（1-1-）的置信的置信水平包含被解释变量水平包含被解释变量Y Y0 0 。于是，预测误差于是，预测误差e0的标准差为的标准差为利用该统计量，在给定利用该统计量，在给定)1(a-的置信水平下可以得到的置信水平下可以得到0Y

10、的置的置信区间信区间 注注 意意 通常情况下，预测误差通常情况下，预测误差e0的标准差也记作的标准差也记作于是于是，在给定在给定)1(a-的置信水平下的置信水平下，0Y的置信区间的置信区间也也可以可以表表示示成成 010)(100XXXX+=-msYYSE 对于对于一元一元线性回归预测，有线性回归预测，有 对于对于二元二元线性回归预测，有线性回归预测，有 对于对于一元一元线性回归预测，有线性回归预测，有 对于对于二元二元线性回归预测，有线性回归预测，有 3 3、一点启示、一点启示计量经济学模型用于预测时，必须严格科学地计量经济学模型用于预测时，必须严格科学地描述预测结果。描述预测结果。如果要求

11、给出一个如果要求给出一个“准确准确”的预测值，那么真的预测值，那么真实值与该预测值相同的概率为实值与该预测值相同的概率为0 0。如果要求以如果要求以100%100%的概率给出区间，那么该区间的概率给出区间，那么该区间是是。模型研制者的任务是尽可能地模型研制者的任务是尽可能地缩小置信区缩小置信区间间。4 4、如何缩小、如何缩小Y Y0 0或或E E（Y Y0 0）的置信区间）的置信区间增大样本容量增大样本容量n。在同样的置信水平下，在同样的置信水平下，n越大，从越大，从t 分布分布表中查得自由度为表中查得自由度为)1(-kn的临界值的临界值2a at越小；同时，增大样越小；同时，增大样本容量，在

12、一般情况下可使本容量，在一般情况下可使1-=kneem ms s减小，因为式中分减小，因为式中分母的增大是肯定的，分子并不一定增大。母的增大是肯定的，分子并不一定增大。更主要的是提高模型的拟合优度更主要的是提高模型的拟合优度。因为模型的拟合优度越因为模型的拟合优度越高，残差平方和高，残差平方和ee 越小。设想一种极端情况，如果模型完全越小。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为则置信区间也为0。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越在一般情况下，样本观测值越分散，作为分散，作为()-X X1的分

13、母的的分母的XX 的值越大，致使的值越大，致使 置信置信区间缩区间缩小。小。三、多元线性回归分析计算步骤三、多元线性回归分析计算步骤及主要公式及主要公式1、由样本观测值（、由样本观测值（Yi，X1i，X2i，Xki）,（i=1,2,n），写出），写出 对于一元回归：对于一元回归：对于二元回归对于二元回归：、计算、计算 XX，1)(-XX，YX3、计算、计算OLS估计量估计量 4、计算残差平方和、计算残差平方和 5、计算随机误差项的方差的估计量、计算随机误差项的方差的估计量 6、进行拟合优度检验、进行拟合优度检验 7、计算参数估计量的标准差、计算参数估计量的标准差（j=0,1,2,k）8、进行、

14、进行F检验和检验和t检验检验 9、在、在X=X0处进行点预测和区间预测处进行点预测和区间预测 其中其中其中其中例例：设设某某中中心心城城市市对对各各地地区区商商品品流流出出量量Y取取决决于于各各地地区区的的社社会会商商品品购购买买力力X1以以及及各各地地区区对对该该市市的的商商品品流流入入X2，即即可可能能有有如如下下总体回归模型：总体回归模型：在下列样本下进行回归分析：在下列样本下进行回归分析：1 6800 1300 400 2 1900 350 1200 3 2800 180 700 4 1000 340 400 5 700 70 1600 6 500 200 1200 7 60 30 2

15、40 8 50 20 400 地地 该市对各地区商品该市对各地区商品区区 销售额销售额Y（万元）（万元）各地区社会商品购各地区社会商品购买力买力X 1(亿元亿元)各地区商品流入该各地区商品流入该市量市量X 2（万元）（万元）（2）拟合优度检验：）拟合优度检验：（3 3）总体显著性检验（）总体显著性检验（F F检验）检验）：06.18)38()13/(=-=RSSESSF 查表，在查表，在5%的显著性水平下，临界值的显著性水平下，临界值aF(3-1,8-3)=5.79 因为通过样本计算的因为通过样本计算的 F 值大于临界值值大于临界值aF，因此模型总体因此模型总体上是显著的上是显著的。（4 4）

16、参数显著性检验（）参数显著性检验（t t检验）检验）查表，在查表，在5%的显著水平下，的显著水平下，t0.05/2=2.571。这说明，各地区商品流入量这说明，各地区商品流入量X2不是重要的影响因素，而各地不是重要的影响因素，而各地区社会商品购买力区社会商品购买力X1则是重要的影响因素。则是重要的影响因素。在原模型中删去在原模型中删去X2，重新建立模型：，重新建立模型：利用表中资料通过利用表中资料通过OLS法得到的回归结果如下：法得到的回归结果如下：t：（0.4128）（6.540）R2=0.8774 F=42.9544SplusSplus软件输出软件输出（1 1）模型中包括）模型中包括x x1 1与与x x2 2 ：（2 2）模型中仅包括）模型中仅包括x x1 1