2023年中考数学压轴题培优教案专题07 弦图与垂直模型(含答案解析).pdf
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1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题7弦图与垂直模型解题策略_ _7模 型1:垂直模型如图:Z D=ZB CA =ZE=90,BC=AC,结论:RtABCDRtACAf.模型分析说到三垂直模型,不得不说一下弦图,弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位,很多利用垂直求角,勾股定理求边长,相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如图、图,这也是由弦图演变而来的.模 型2:弦图模型如 图,在正方形 A BCD 中,8 F _ L C G,C G _ 1 _ D H.D H J _ A E,A E _ L
2、3 E J :ABE ABCF ACDG ADAH.经典例题【例11.(2021.全国.八年级专题练习)如 图1,正方形ABC力中,点。是对角线AC的中点,点尸是线段上(不与点4 0重合)的一个动点,过点P作尸8且PE交边CC于点D A DB C B图 1 图 2(1)求证:P E=P B;(2)如图2,若正方形A B C D的边长为2,过点E作 E/U A C 于点F,在点尸运动的过程中,P 尸的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值:若变化,请说明理由;(3)用等式表示线段P C,孙,C E 之间的数量关系.【例 2】(2 0 2 1 黑龙江 哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习)正
3、方形A 8 C Z)中,点 E、尸在B C、C 力上,且B E=C R A E 与 B F 交于点、G.(1)如 图 1,求证A E L 8 F;(2)如图2,在 G F上截取G M=G B,Z M A D的平分线交C D于点H,交 B F 于点、N,连接C N,求证:A N+C N=&B N;图1 图2 备用图【例 3】(2 0 2 1 云南曲靖八年级期末)如图1,在正方形4 B C D 中,E 为B C 上一点,连接4 E,过点B 作B G 1 A E 于点乩交C。于点G.Kl(1)求证:AE =B G;(2)如图2,连接力G、GE,点M、N、P、Q分别是4B、AG.G E、EB的中点,试
4、判断四边形MNPQ的形状,并说明理由:(3)如图3,点F、R分别在正方形ZBCD的边4 B、CC上,把正方形沿直线FR翻折,使得BC的对应边BC恰好经过点4 过点4 作4。1 FR 于点、0,若AB =1,正方形的边长为3,求线段OF的长.例 4(2021河南商丘八年级期中)在平面直角坐标系中,点4 的坐标为(4,0),点B为y轴正半轴上的一个动点,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限作等腰R t x AB C.图 1图 2图 3“如 图 1,若0B=3,则点C的坐标为;(2)如图2,若。8=4,点D为。4 延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰R m BDE,连接4E,
5、求证:AE L AB-.(3)如图3,以B为直角顶点,。8 为直角边在第三象限作等腰R柩O B F.连接C凡交y轴于点P,求线段BP的长度.【例 5】.(2 0 2 1 黑龙江 哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习)如图1,正方形A 8 C D 中,点 E是边8 c 延长线上一点,连接。反过点B作 8 尸,D E,垂足为点F,BF与C。相交于点G.(1)求证:/X B C G Q A D C E;(2)如图 2,连接 BD,若 B E=4 V*D G=2 或,求 tanZDBG 的值.-P-P图1 图2培优训练_ _Z一、解答题1.(2 0 2 2 江 苏 八年级课时练习)如 图 1,在4 4B
6、C 中,乙4 cB =9 0。/。=D,BE 1 M N 于 E.M D M、N N图 1图2=B C,直线MN经过点C,且A D 1 M N 于M图 3(1)由图 1,证明:DE=AD+B E;(2)当直线MN绕点C 旋转到图2的位置时,请猜想出D E,A D,B E 的等量关系并说明理由;(3)当直线MN绕点C 旋转到图3的位置时,试问D E/D,B E 乂具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系(不必说明理由).2.(2 0 2 2 全国八年级专题练习)如图所示,4 B C 中=A C B A C=90。,点。为力B 上一点,过点B 作直线C D 的垂线,垂足为E,连接A E,过点4
7、作A E 的垂线交C E 于点F.图1图2图3(1)如 图1,求EC的度数;(2)如图 2,连接B F,且乙4 B F -/.E AB=1 5。,求证:B F=2 C F;(3)如图3,在(2)的条件下,G为D F上一点,连接A G,若乙4 G。=N E B F/G =2,求C F的长.3.(2 0 2 0北京市第十三中学九年级期中)己知:放A A B C中,N A C 8=90。4C=B C.(1)如 图1,点。是B C边上一点(不与点8,C重 合),连接A。,过点8作B E,4。,交4。的延长线于点E,连接C E.若N B A O=a,求 的 大 小(用 含a的式子表示);用等式表示线段E
8、 4,E 8和E C之间的数量关系,并证明.(2)如图2,点。在线段B C的延长线上时,连接A D,过点B作B E L A。,垂足E在线段4力上,连 接C E.依题意补全图2;直接写出线段E A,仍 和E C之间的数量关系.4.(2 0 2 1四川省成都市七中育才学校七年级期中)已知:力B C中/4 C B =90。,A C =C B,D为直线山上一动点,连接A D,在直线4 c右侧作4 E 1 AD,R AE =AD.E(1)如 图 1,当点。在线段B C 上时,过点E 作E H _ L 4 C 于H,连接DE.求证:E H=A C;(2)如图2,当点。在线段B C 的延长线上时,连接B E
9、 交C 4 的延长线于点M.求证:B M =EM;(3)当点。在直线C B 上时,连接B E 交直线4 c 于M,若2 4 c =5 C M,请求出受也的值.5.(2 0 2 2 江苏八年级课时练习)在 A B C 中,4 B =B C/B =90。,点。为直线8 c 上的一个动点(不与B、C重 合),连结A D,将线段A。绕点。按顺时针方向旋转90。,使点A旋转到点E,连结E C.(1)如果点。在线段BC上运动,如 图 1:求证:L B AD =/.E D C(2)如果点。在线段2c上运动,请写出4c与 C E 的位置关系.通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作E F 1 B C
10、 交直线8 C 于尸,如图2所示,通过证明 D E F 三4 A B D,可推证A C E F 等腰直角三角形,从而得出AC与 C E的位置关系,请你写出证明过程.(3)如果点。在线段C B的延长线上运动,利用图3画图分析,(2)中的结论是否仍然成若成立,请证明;若不成立,请说明理由.6.(2 0 2 1.黑龙江.哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试)如图,己知A/I B C 中/B =4 C/B 4 c =90。,分别过8、C 向过4 的直线作垂线,垂足分别为E、F.(1)如 图 1,过A 的直线与斜边B C 不相交时,直接写出线段E F、B E、C F 的 数 量 关 系 是;(2)如图2,
11、过A 的直线与斜边B C 相交时,探究线段E F、B E、C F 的数量关系并加以证明;(3)在(2)的条件下,如图3,直线必交B C 于点H,延长B E 交A C 于点G,连接B F、F G、G,若N 4 HB =乙 GHC,E F=C F =6,E H=2 F H,四边形4 B F G 的面积是90,求 G H C 的面积.7.(2021.江苏泰州.八年级期末)如图,正方形ABCD边长为4,点G在边AO上(不 与 点A、。重 合),8G的垂直平分线分别交A8、CQ于E、F两点,连接EG.(1)当AG=1时,求EG的长;(2)当AG的值等于 时,BE=8-2力 尸;(3)过G点作GM_LEG
12、交 8于M求证:GB平分N4GM;设AG=x,CM=y,试说明招 W-1的值为定值.8.(2021.全国八年级专题练习)已知,如图,在RtAAfiC中,N5AC=9()o,N4BC=45。,点D为直线BC上一动点(点。不与点B,C重合).以AO为边作正方形AQEF,连接CF,当点。在线段BC的反向延长线上,且点A1分别在直线BC的两侧时.(1)求证:ABQZVICF;(2)若正方形AOEF的边长为2 a,对角线AE,。尸相交于点。,连接OC,求。的长度.9.(2021 安徽安庆 八年级期末)如图1,点E为正方形48C D内一点,NAEB=90。,将心AABE绕点B按顺时针方向旋转90 (即N
13、E 8E=90。),得到 C B 9(点A的对应点为点C)延长A E交C E于点F,连接D E.图1 图2(1)试判断四边形B E,F E的形状,并说明理由.(2)如图2,若D 4=O E,请猜想线段C尸于尸E的数量关系并加以证明.(3)如 图1,若A 8=g,C尸=3,请直接写出。E的长.1 0.(2 0 2 1湖北鄂州八年级期末)如图,四边形力B C D是正方形,点P是线段4 B的延长线上一点,点M是线段A B上一点,连接O M,以点M为直角顶点作M N 1 O M交4 c B p的角平分线于N,过点C作C E MN交4 0于E,连接E M,C N,D N.(2)求证:E M/C N.(3
14、)若AE =1,B N=3四,求O N的长.1 1.(20 22.广东塘厦初中八年级期中)四边形A B C 为正方形,点E为线段A C上一点,连接。E,过点E作E F _ L O E,交射线2 c于点F,以D E、E F为邻边作矩形O E F G,连接C G.备用图(1)如图,求证:矩形。E F G 是正方形;(2)若 A B=4,C E=2e,求 CG的长度;(3)当线段D E与正方形A B C O 的某条边的夹角是4 0。时,直接写出NE尸 C的度数.1 2.(20 21 山西八年级期末)综合与实践:如 图 1,在正方形A B C D 中,连接对角线4 C,点。是4 C 的中点,点 E是线
15、段。4 上任意一点(不与点A,0 重合),连接过点E作E F _ L DE 交直线B C 于点F.(1)试猜想线段。E 与E F 的数量关系,并说明理由;(2)试猜想线段C E,C D,C F 之间的数量关系,并说明理由;(3)如图2,当 E在线段c o 上 时(不与点C,0 重合),E F 交8 c 延长线于点F,保持其余条件不变,直接写出线段C E,C D,C F 之间的数量关系.1 3.(20 21.全国.八年级专题练习)如 图 1,已知正方形A B C D 和正方形C E G F,点F,C,B 在同一直线上,连接与E G 相交于点M.(1)求证:B E =FD.(2)如图2,N是BC边
16、上的一点,连接力N交BE于点H,且 瞿=需DC GC求证:B N =E C;若CE=2DE,直接写出器的值.AB14.(2021.全国八年级专题练习)探究证明:(1)如 图 1,正方形ABCD中,点 M、N 分别在边BC、CD上,AM_LBN.求证:BN=AM;(2)如图2,矩形ABCD中,点 M 在 BC上,EFJ_AM,EF分别交AB、CD于点E、F.求证:=AM AB(3)如图 3,四边形 ABCD 中,/ABC=9(r,AB=AD=10,BC=CD=5,AMJ_DNM、N 分别在边 BC、AB ,求器的值.AM15.(2021全国八年级专题练习)如图,已知AABC是等腰直角三角形,NB
17、AC=90。,点 D 是 BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C 分别在DG和 DE上,连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和 AE的 关 系(直接写出答案,不用证明);(2)将正方形DEFG绕点D 逆时针方向旋转a(0a=90,V ZMPB+ZMBP=90,NEPN=/M BP.在 RtZPNC 中,NPCN=45,PNC是等腰直角三角形,:PN=CN、:BM=CN=PN,:BMPQPNE CASA),:.PB=PE.(2)解:在 P 点运动的过程中,P F 的长度不发生变化.理由:如图2,连接。氏 点 O 是正方形ABCD对角线AC的中点,:.OBLAC,:.ZAOB=90,NAOB=N
18、EFP=90,.NOBP+NBPO=90.:.ZBPE=90,:.ZBPO+ZOPE=90,:.ZO BP=ZO PE.由(1)得 PB=PE,:OBP之IXFPE(AAS),:.PF=OB,.,A8=2,ZUBO是等腰直角三角形,0B=专=a.二P F 的长为定值V L(3)解:PC =PA+V 2E C.理由:如图 1,:N BAC=4 5 ,.,.AM P 是等腰直角三角形,:-PA=V 2P M.由(【)知PM=N E,.PA=V 2N E.,:7 可是等腰直角三角形,.PC =V 2N C =a(N E +E C)=y/2N E +五 E C =PA+E C.【点睛】本题主要考查了四
19、边形综合应用,通过对三角形全等的证明找出边之间的关系,准确分析代换求解是解题的关键.【例 2】.(20 21.黑龙江哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习)正方形ABC。中,点 、尸在B C、C D上,且B E=C R A E 与B F 交于点G.(1)如 图 1,求证AE _ L BF;(2)如图2,在 GF上截取G M=G 8,/M 4 O 的平分线交CO于点H,交 8尸于点N,连接C N,求证:A N+C N=&BN;图1图2 备用图【答案】(D 见解析;(2)见解析;【分析】(1)根据正方形 的 性 质 得=乙 B C D=9 0。,用 S AS 证明 A B E三 4 BC F,得/B
20、AE =/C BF,根据三角形内角和定理和等量代换即可得;(2)过点B作B H 1 B N,交 A N于点、,根据正方形的性质和平行线的性质,用 S AS 证明 AGB d 4 G M,得BAG =N M 4 G,根据角平分线性质得N BH 4 =乙 GAN=4 5。,则4H B N 是等腰直角三角形,用 S AS 证明A B H W A C B N,得 AH=C N,在R t H B N 中,根据勾股定理即可得;【详解】解:(1).四边形ABC。是正方形,:.AB=BC,Z.ABC=乙 BCD=90。,在AZBE和ABC尸中,(AB=BCz-ABE=乙 BCF(BE=CF:.ABE=LBCF
21、(SA S),:乙BAE=乙 CBF,Z E 8 +(BAE=180-Z.ABC=180-90=90,.4AEB+4CBF=90。,E G B =180-(44EB+乙CBF)=180-90=90,A/IE I F F;(2)如图所示,过点8 作BH LBM 交 AN于点出四边形ABCD是正方形,:.AB=AC,.ABC=乙 HBN=90,:乙 HBN=乙 HBA+乙 ABN=90,Z.ABC=乙 CBN+乙A BN=90,,乙 HBA=乙 CBN,由 得,AE 1 BF,:.LAGB=LAGM=90,:.Z.HBG=Z.AGM=90,:HB“AE,:.Z.BHA=LEAN、在A/GB和A/G
22、M 中,(AG=AG乙 AGB=Z.AGM(GB=GM:.AGB 三4GM(SAS),:乙BAG=Z.MAG,4N平分Z/MM,:,乙DAN=乙 MAN,,乙BAG+Z.MAG+AMAN+乙 DAN=90,2Z.MAG+2Z.MAN=90。,/.MAG+乙 MAN=45,乙 GAN=45,:.Z.BHA=乙 GAN=45,:乙BNH=180 一 乙HBN-乙BHA=180 90-45=45,.HBN是等腰直角三角形,,BH=BN,在 ABH和 CBN中,BH=BNZ.HBA=乙 C BNAB=C B:q ABH CB N (SAS),:AH=C N,在At H8N中,根据勾股定理HN=y/BH
23、2 4-BN2=&B N,:.AN+C N=AN+AH=HN=&B M【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,角平分线,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理和锐角三角函数,解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点.【例3】.(2021云南曲靖,八年级期末)如图1,在正方形48CD中,E为BC上一点,连接4E,过点B作BG _L4E于点H,交C。于点G.Kl(1)求证:AE =B G;(2)如图2,连接力G、G E,点M、N、P、Q 分别是4 B、AG.G E、E B 的中点,试判断四边形M N P Q 的形状,并说明理由:(3)如图3,点F、R 分别在正方形Z B
24、 C D 的边4 B、C C 上,把正方形沿直线F R 翻折,使得B C 的对应边B C 恰好经过点4过点4 作4。1 FR 于点。,若AB =1,正方形的边长为3,求线段O F 的长.【答案】(1)见解析;(2)四边形M N P Q 为正方形,理由见解析;(3)平【分析】(1)由四边形4 B C D 为正方形,可得乙4 BC =乙 B C D=9 0。,推得乙4 BG +乙 C B G=9 0。,由BG 1 4 E,可得N B4 E +Z/4 BG =9 0 ,可证 AB E 三 段 BC G Q 4 S 4)艮 口 可;(2)M、N为A B、4 G 中点,可得MN为 4 BG 的中位线,可
25、证=BG,由点M、N、P、Q 分别是AB.AG.G E、E B 的中点,可得PQ是 B E G 的 中 位 线,为 A B E 的中位线,N 尸为 A E G 的中位线,可证PQ/B G,PQ=WBG,MQ“AE、MQ=三 AE,N P“A E、N P=可证四边形M N P Q 为平行四边形.再证四边形M N P Q 为菱形,最后证M N 1 MQ即可;(3)延长4。交B C 于点S,由 对 称 性 可 得=B F,AB =B S =L A O =S O,由勾股定理可求AS =V T 6,可得AO =AS=手,设力尸=%,在R t AB F 中2+(3-x)2=解得*=,在&A A O F 中
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