高等数学微积分第2章第2节函数的极限.ppt

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1、第二节第二节 函数的极限函数的极限本节我们讨论一般函数本节我们讨论一般函数的极限的极限自变量的变化过程分为自变量的变化过程分为:1.定义定义(描述性定义描述性定义)如果如果设有函数设有函数当当无限增大时无限增大时,无限接近于某常数无限接近于某常数则称当则称当趋于正无穷大时趋于正无穷大时,极限存在极限存在,极限值为极限值为注注(1)记号记号(2)完全可以认为是从非常大完全可以认为是从非常大的正数开始的的正数开始的.1.当当无限增大时无限增大时,无限接近于常数无限接近于常数分析分析:2.当当无限增大时无限增大时,可以任意小可以任意小.3.要使要使有多小有多小,当当大到一定程度时大到一定程度时,就能

2、有多小就能有多小.对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.即即2.定义定义则称当则称当趋于正无穷大时趋于正无穷大时,极限存在极限存在,极限值为极限值为设设在在内有定义内有定义,如果如果记作记作:对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.精确性定义几何表示例例1.验证验证 证证对对要使要使只需只需即可即可故故 对对都存在都存在当当时时,所以原式成立所以原式成立.恒成立恒成立分析分析验证极限总结验证极限总结目标目标:找找具体操作具体操作:从从中找中找与与之间

3、的关系之间的关系设设在在内有定义内有定义,如果如果则则.定理定理注：反之不成立注：反之不成立注注(1)记号记号(2)完全可以认为从绝对值完全可以认为从绝对值非常大的负数开始非常大的负数开始.1.定义定义(描述性定义描述性定义)如果如果设有函数设有函数当当无限增大，无限增大，无限接近于某常数无限接近于某常数则称当则称当趋于负无穷大时趋于负无穷大时,极限存在极限存在,极限值为极限值为分析分析:无限变小时无限变小时,无限接近于某常数无限接近于某常数1.2.无限变小时无限变小时,可以任意小可以任意小3.要使要使有多小有多小,当当就能有多小就能有多小小到一定小到一定 程度时程度时,取负数绝对值取负数绝对

4、值无限变大无限变大当当当当对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.即即无限趋近于零无限趋近于零2.定义定义则称当则称当趋于负无穷大时趋于负无穷大时,极限存在极限存在,极限值为极限值为设设在在内有定义内有定义,如果如果记作记作:对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.精确性定义几何表示验证验证 证证对对要使要使只需只需即可即可故故 对对总存在总存在当当恒成立恒成立.例例2.所以原式成立所以原式成立.时时,分析分析1.定义定义(描述性定义描述性定义)设有函

5、数设有函数当当无限增大时无限增大时,无限接近于某常数无限接近于某常数则称当则称当趋于无穷大时趋于无穷大时,极限存在极限存在,极限值为极限值为注注(1)记号记号(2)完全可以认为从绝对值非常大完全可以认为从绝对值非常大的数开始的数开始.如果如果1.当当无限增大时无限增大时,无限接近于常数无限接近于常数分析分析:2.当当无限增大时无限增大时,可以任意小可以任意小.3.要使要使有多小有多小,当当大到一定程度时大到一定程度时,就能有多小就能有多小.对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.即即2.定义定义则称当则称当趋于无穷大时趋于

6、无穷大时,极限极限极限值为极限值为设设在在有定义有定义,如果如果记作记作:对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.精确性定义存在存在,几何表示验证验证 证证对对要使要使只需只需即可即可故故 对对总存在总存在当当恒成立恒成立.例例3.所以原式成立所以原式成立.时时分析分析前三种极限之间的关系前三种极限之间的关系:考察考察 六种基本初等函数六种基本初等函数在以上三种变化状态下的变化趋势在以上三种变化状态下的变化趋势1.定义定义(描述性定义描述性定义)设有函数设有函数当当无限趋近无限趋近无限接近于某常数无限接近于某常数则称则称极

7、限存在极限存在,注注(1)记号记号(2)完全可以认为完全可以认为如果如果时时,无限趋近无限趋近时时,值为值为从从附近开始附近开始,(3)存在存在是是存在存在的的无关条件无关条件.且且分析分析:无限接近于某常数无限接近于某常数1.当当2.当当无限变小时无限变小时,可以任意小可以任意小.3.要使要使有多小有多小,当当就能有多小就能有多小.无限趋近无限趋近时时,小到一定小到一定对任意给定的正数对任意给定的正数(不论多么小不论多么小),总存在一个正数总存在一个正数,当当时时,恒成立恒成立.即即程度时程度时,设设在在的某空心邻域内有定义的某空心邻域内有定义,如果如果对任给正数对任给正数不论多么小不论多么

8、小,总存在正数总存在正数当当时时,记作记作:恒成立恒成立,2.定义定义(精确性定义精确性定义)则称则称极限存在极限存在,趋近趋近时时,极限值为极限值为几何表示验证验证 证证对对要使要使只需只需即可即可故故 对对总存在总存在当当恒成立恒成立.例例4.所以所以时时,分析分析1.定义定义(描述性定义描述性定义)设有函数设有函数当当 从从无限接近于无限接近于注注(1)记号记号(2)完全可以认为完全可以认为如果如果时时,从从右侧附近开始右侧附近开始.某常数某常数右侧无限趋近右侧无限趋近则称则称无限趋近无限趋近极限存在极限存在,极限值为极限值为时时,从从的右侧的右侧或称或称无限趋近无限趋近时时,的右极限存

9、在的右极限存在,或或右极限值为右极限值为设设在在的某右邻域内有定义的某右邻域内有定义,如果如果对任给正数对任给正数不论多么小不论多么小,总存在正数总存在正数当当时时,恒成立恒成立,2.定义定义(精确性定义精确性定义)则称则称无限趋近无限趋近存在存在,极限值为极限值为时时,从从的右侧的右侧或称或称无限趋近无限趋近时时,的右极限存在的右极限存在,右极限值为右极限值为极限极限1.定义定义(描述性定义描述性定义)设有函数设有函数当当 从从无限接近于无限接近于注注(1)记号记号(2)完全可以认为完全可以认为如果如果时时,从从左侧附近开始左侧附近开始.某常数某常数左侧无限趋近左侧无限趋近则称则称无限趋近无

10、限趋近极限存在极限存在,极限值为极限值为时时,从从的左侧的左侧或称或称无限趋近无限趋近时时,的左极限存在的左极限存在,或或左极限值为左极限值为设设在在的某左邻域内有定义的某左邻域内有定义,如果如果对任给正数对任给正数不论多么小不论多么小,总存在正数总存在正数当当时时,恒成立恒成立,2.定义定义(精确性定义精确性定义)则称则称无限趋近无限趋近存在存在,极限值为极限值为时时,从从的左侧的左侧或称或称无限趋近无限趋近时时,的左极限存在的左极限存在,左极限值为左极限值为极限极限后三种极限之间的关系重要结论重要结论例例5.设函数设函数求求解解因因故故不存在不存在.将将六加一六加一种自变量变化状态下种自变量变化状态下要求要求的极限的精确性定义对比记忆的极限的精确性定义对比记忆!作业题作业题2.习题二习题二(A)4、5、6、7、8、9.1.深刻理解函数极限的精确性定义深刻理解函数极限的精确性定义.