高中数学课件：第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.ppt

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1、1.11.1空空间间几几何何体体柱、柱、锥、锥、台和台和球的球的体积体积课前预习课前预习巧设计巧设计名师课堂名师课堂一点通一点通创新演练创新演练大冲关大冲关第第一一章章立立体体几几何何初初步步考点一考点一考点二考点二考点三考点三读教材读教材填要点填要点小问题小问题大思维大思维解题高手解题高手NO.1NO.1课堂强化课堂强化No.2No.2课下检测课下检测考点四考点四 读教材读教材填要点填要点 1长方体的体积长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体，那么它的体积为积为V长方体长方体 .(2)若长方体的底面积和高分别为若长方体的底面积和高分别为

2、S、h，那么它的体积，那么它的体积V长方体长方体 .abcSh 2祖祖暅暅原理：原理：幂势幂势既同，既同，则积则积不容异不容异 这这就是就是说说：夹夹在两个平行平面在两个平行平面间间的两个几何体，被平行的两个几何体，被平行于于这这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积积总总相等，那么相等，那么这这两个几何体的体两个几何体的体积积相等相等应应用祖用祖暅暅原理可原理可说说明：明：的两个柱体或的两个柱体或锥锥体的体体的体积积相等相等等底面等底面积积、等高、等高 3柱、柱、锥锥、台、球的体、台、球的体积积 其中其中S、S分分别别表示上、下底面的面

3、表示上、下底面的面积积，h表示高，表示高，r和和r分分别别表示上、下底面的半径，表示上、下底面的半径，R表示球的半径表示球的半径.名称名称体体积积(V)柱体柱体棱柱棱柱 圆圆柱柱 锥锥体体棱棱锥锥圆锥圆锥Shr2h名称名称体体积积(V)台体台体棱台棱台圆圆台台球球 小问题小问题大思维大思维 1夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个 平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等吗？则这两个几何体的体积相等吗？提示：提示：不一定，被任意平面所截，若截得的面积总相不一定，

4、被任意平面所截，若截得的面积总相 等，则这两个几何体的体积相等等，则这两个几何体的体积相等2锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无 关正确吗？关正确吗？提示：提示：正确正确提示：提示：可以可以4如果一个球的表面如果一个球的表面积变为积变为原来的原来的2倍，那么它的半倍，那么它的半 径径变为变为原来的原来的_倍，体倍，体积变为积变为原来的原来的_ 倍倍 研一题研一题 例例1圆柱的侧面展开图是长、宽分别为圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6和和4的矩形，求圆柱的体积的矩形，求圆柱的体积自主解答自主解答设圆设圆柱的底面半径柱的底面半径为为R，高，高为

5、为h.当当圆圆柱的底面周柱的底面周长为长为6时时，高，高为为4，即即2R6，h4，R3，VR2hR24324362.当当圆圆柱的底面周柱的底面周长为长为4时时，高，高为为6，即即2R4，h6，R2，VR2hR26226242.故故圆圆柱的体柱的体积为积为362或或242.悟一法悟一法 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积则需要确定底面半径和高体积则需要确定底面半径和高 通一类通一类 1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比侧面积也相等，求正方体和

6、圆柱的体积之比 研一题研一题 例例2如如图图，棱，棱锥锥的底的底ABCD是一个是一个矩形，矩形，AC与与BD交于交于M，VM是棱是棱锥锥的高，的高，若若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求棱求棱锥锥的体的体积积 悟一法悟一法 求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积或等体积法法)，通常运用此法求点到平面的距离，通常运用此法求点到平面的距离(后面将会学习后面

7、将会学习)，也会给我们的计算带来方便也会给我们的计算带来方便 通一类通一类 2一个边长为一个边长为2的正三角形，绕它的对的正三角形，绕它的对 称轴旋转一周，如图，求所得几何称轴旋转一周，如图，求所得几何 体的体积体的体积 研一题研一题 例例3设圆台的高为设圆台的高为3，如图，在轴，如图，在轴截面中母线截面中母线AA1与底面圆直径与底面圆直径AB的夹角为的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积求圆台的体积 悟一法悟一法 解决此类问题必须灵活构造运用正棱台中的直角梯解决此类问题必须灵活构造运用正棱台中的直角梯形，将直角梯形转化为矩形和直角三角形进行计算

8、是关形，将直角梯形转化为矩形和直角三角形进行计算是关键；解决台体问题常键；解决台体问题常“还台为锥还台为锥”，并借助于过高的截面，并借助于过高的截面，将空间问题转化为平面问题求出相关数据，然后进行运将空间问题转化为平面问题求出相关数据，然后进行运算算 通一类通一类 3正四棱台的上下底面边长分别为正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和和12 cm，侧面积，侧面积 为为180 cm2，求棱台的体积，求棱台的体积解：解：如如图图，分，分别过别过正四棱台的正四棱台的底面中心底面中心O1，O作作O1E1B1C1，OEBC，垂足分，垂足分别为别为E1，E，则则E1E为为正四棱台的斜高正四棱台的斜高由于正四

9、棱台的由于正四棱台的侧侧面面积为积为180 cm2，研一题研一题 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的的截面到球心的距离等于球半径的一半，且距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，求球，求球的表面积与球的体积的表面积与球的体积自主解答自主解答如如图图，设设球心球心为为O，球半径，球半径为为R，作，作OO1垂垂直平面直平面ABC于于O1，由于由于OAOBOCR，则则O1是是ABC的外心的外心设设M是是AB的中点，由于的中点，由于ACBC，悟一法悟一法 由球的体积公式可知，求球的体积关键是求球的半径，由球的体积公式可知，求球的体积关键是求球的半径，要根据具体题目灵活掌

10、握球的半径的求法利用球的半径、要根据具体题目灵活掌握球的半径的求法利用球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形求取截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形求取半径是常用的方法半径是常用的方法 通一类通一类 4如果三个球的半径之比是如果三个球的半径之比是1 2 3，那么最大球的体积，那么最大球的体积 是其余两个球的体积之和的是其余两个球的体积之和的 ()A1倍倍B2倍倍 C3倍倍 D4倍倍答案：答案：C 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比正方体的体积之比 法二：法二：将半球将半球补补成整个的球，同成整个的球，同时时把原半球的内接正把原半球的内接正方体再方体再补补接一个同接一个同样样的正方体，构成的的正方体，构成的长长方体方体刚刚好是好是这这个个球的内接球的内接长长方体，那么方体，那么这这个个长长方体的方体的对对角角线线便是它的外接便是它的外接球的直径球的直径设设原正方体棱原正方体棱长为长为a，球的半径，球的半径为为R，则则根据根据长长方体的方体的对对角角线线性性质质，得，得(2R)2a2a2(2a)2，