随机变量函数及其分布.ppt

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1、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第六章第六章 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布第一节 一维随机变量的函数及其分布 定义 设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x集合上的函数,对X的每一可能取值x,有唯一的y=f(x)与之对应,Y是y的集合,则Y是一个随机变量,称Y为X的函数,记作 Y=f(X).问题问题:若X的分布已知,如何求Y的分布？2023/5/291皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为

2、 当当Y的取值有相等的情况时的取值有相等的情况时,把相应的概率相加把相应的概率相加即可。即可。2023/5/292皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例1 已知已知X的分布列如下：的分布列如下：解：解：2023/5/293皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计整理整理,得得2023/5/294皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布1 1、公式法、公式法 g(x)严格单调严格单调2023/5/2

3、95皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计定理的证明定理的证明:2023/5/296皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/297皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/298皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/299皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2910皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论

4、论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充说明补充说明:2023/5/2911皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2、分布函数法分布函数法 g(x)为任意形式为任意形式（1）先确定先确定Y的可能取值范围的可能取值范围;（2）在在Y的可能取值范围内的可能取值范围内,求出其分布函数求出其分布函数;（3）在在Y的可能取值范围内的可能取值范围内,求其密度函数求其密度函数;（4）在实数区间内在实数区间内,表示出表示出Y的密度函数。的密度函数。2023/5/2912皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计

5、例例3 设设X服从区间服从区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布,求求Y=X2的的分布。分布。2023/5/2913皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2914皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2915皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例5 设设X的密度函数为的密度函数为 Y2023/5/2916皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2917皖西学院

6、应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例6 假设由自动线加工的某种零件的内径服从正假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布态分布N(11,1),内径小于内径小于10或大于或大于12为不合格品。为不合格品。销售每件合格品获利销售每件合格品获利,而销售不合格品亏损而销售不合格品亏损,已知已知销售利润销售利润Y与销售零件的内径与销售零件的内径X关系如下关系如下,求求Y的的分布列。分布列。2023/5/2918皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计分析分析:Y的可能取值有那些？的可能取值有那些？如何求离散型随机

7、变量的分布？如何求离散型随机变量的分布？计算概率计算概率利用等价事件利用等价事件,考虑考虑X与与Y的关系。的关系。2023/5/2919皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2920皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计从而得到从而得到Y的分布列为的分布列为2023/5/2921皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布 如果如果(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,且分布函数

8、已知且分布函数已知,Z=g(X,Y)是关于是关于X和和Y的二元函数的二元函数,则则Z是一个一是一个一维随机变量维随机变量,当然也存在着分布问题当然也存在着分布问题,而且与而且与(X,Y)的联合分布有着必然的联系。的联合分布有着必然的联系。第二节第二节 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布2023/5/2922皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2923皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2924皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理

9、理理统统统统计计计计2023/5/2925皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2926皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布1 1、和的分布、和的分布连续场合下的卷积公式连续场合下的卷积公式2023/5/2927皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例3 设设XU(0,1),YExp(1),且且X,Y相互独立相互独立,求求ZX+Y的密度函数。的密度函数。解解:X和和Y的密

10、度函数分别是的密度函数分别是2023/5/2928皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2929皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2930皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2、分布函数法、分布函数法2023/5/2931皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计注注:分布函数法是普遍适用的一种方法。分布函数法是普遍适用的一种方法。2023/5/2932皖西学院 应用数学学院

11、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例3 设设XU(0,1),YExp(1),且且X,Y相互独立相互独立,求求ZX+Y的密度函数。的密度函数。2023/5/2933皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2934皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2935皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2936皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计

12、计计2023/5/2937皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性性,对任意的对任意的函数函数都适用都适用,无论是一维还是多维函无论是一维还是多维函数数,而利用其他方法或公式求随机变量函数的分而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时布时,必须注意定理或公式应满足的条件。必须注意定理或公式应满足的条件。总之总之,分布函数法是一种重要的方法分布函数法是一种重要的方法,同时也同时也是证明其他方法的依据是证明其他方法的依据,因此必须熟练掌握。因此必须熟练掌握。补充说明补充说明2023/5/2938皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2023/5/2939皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计(利用极坐标计算利用极坐标计算)2023/5/2940皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计随机变量的可加性随机变量的可加性2023/5/2941皖西学院 应用数学学院概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计 课后作业课后作业 P75762、3、6、8、11 2023/5/2942皖西学院 应用数学学院