基本不等式优秀课件.ppt

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1、3.4基本不等式:2002年国际数学大会年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的中央正是经过艺术处理的“弦图弦图”。它标志着中国古代的数学成它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。迎来自世界各地的数学家。一、一、问题引入引入情景设置情景设置新课探究新课探究新课探究新课探究一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 ，我们有，我们有 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立思考：思考：如何证明？如何证明？证明：证明：当且仅当当且仅当 时

2、，时，此时此时2.代数意代数意义：几何平均数小于等于算几何平均数小于等于算术平均数平均数2.代数证明:3.几何意几何意义：半弦半弦长小于等于半径小于等于半径（当且当且仅当当a=b时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中两个正数的等比中项小于等于它小于等于它们的的等差中等差中项1.思考思考:如果当如果当用用去替去替换中的中的,能得到什么能得到什么结论?基本不等式探究探究3 3当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？能否用不等式的性质进行证明？小组合作：小组合作：在右图中，AB是圆的

3、直径，点C是AB上的一点，设 AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。半径不小于半弦。”EP98探究探究oabABPQ1.如如图,AB是是圆o的的直径，直径，Q是是AB上任上任一点，一点，AQ=a,BQ=b,过点点Q作垂直于作垂直于AB的的弦弦PQ，连AP,BP,则半弦半弦PQ=_ _,半径半径AO=_几何意几何意义：圆的半径不小于的半径不小于圆内半弦内半弦长探究探究4 4动态演示你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗?2.PQ与与AO的大小关系怎的大小关系怎样?证明证明:要证要证只要证只要

4、证 ()要证要证，只要证，只要证 ()要证要证，只要证，只要证（)显然显然:是成立的是成立的,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立.证明:当 时,.探究探究平方平方基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.重要不等式：重要不等式：注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2.基本不等式基本不等式（均值定理）（均值定理）1.两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平它们

5、的几何平均数均数.2.两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项。它们的等比中项。此定理又可叙述为：此定理又可叙述为：1.基本不等式：基本不等式：a=b基本不等式的变形：基本不等式的变形：知识要点：知识要点：（当且仅当（当且仅当_时取时取“”号）号）（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“”号）号）如果如果a0，b0，那么，那么 重要变形重要变形2（由小到大）（由小到大）应用基本不等式求最用基本不等式求最值的条件：的条件：a与与b为正正实数数若等号成立，若等号成立，a与与b必必须能能够相等相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小定和最小和定和定积最大最大（a0，b0）基本不等

6、式基本不等式当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值例题：例题：练习：练习：例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。解：解：，因为，因为x0，所以所以得得因此因此f(x)当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等时，式中等号成立。号成立。由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，因此因此 ，此时，此时 。例、已知正数例、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求

7、，求的最小值的最小值错解错解:即即 的最小值为的最小值为过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求的最小值的最小值解解:当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号即此时即此时正确解答是正确解答是:2、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（）A、10 B、C、D、D4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、C 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件