高等数学课件D1211常数项级数.ppt
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1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十二章5/29/2023高等数学课件数项级数一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十二章 5/29/2023高等数学课件一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设
2、a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件引例引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项。级数的前 n 项和称为级数的部分和；次相加,简记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为级数的部分和序列。它也有收敛的问题通
3、项5/29/2023高等数学课件当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散.显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作5/29/2023高等数学课件例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散。则级数成为不存在,因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等
4、数学课件例例2.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“分项抵消分项抵消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件所以级数(2)收敛,其和为 1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件 例例3.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023高等数学课件二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,证证:令则这说明收敛,其和为 c S.说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c
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