高等数学课件D85隐函数求导.ppt
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1、 第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 5/29/2023多元函数本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式
2、)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数5/29/2023多元函数两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求5/29/2023多元函数机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数例例2.设解法解法1 利用隐函数求导机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导5/29/2023多元函数解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故5/29/2023多元函数对方程两边求微分:解法解法2 微分法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023多元函数二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比(J
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