高等数学-几何中的应用.ppt

《高等数学-几何中的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学-几何中的应用.ppt（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数引例 的向量方程 对 上的动点M,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹,值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.已知空间曲线 的参数方程:此轨迹称为向量值函数的终端曲线.目录 上页 下页 返回 结束 定义 给定数集 D R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量 因变量向量值函数的极限、连续和导数

2、都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P90因此下面仅以 n=3 的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则:(P91)设 是可导向量值函数,是可导函数,则C 是常向量,c 是任一常数,目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义:在 R3中,设 的终端曲线为,切线的生成表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致.,则设目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 例1 设速度向量：加速度向量：解 目录 上页 下页 返回 结束 例2 设空间曲线 的向量方程为

3、 求曲线 上对应于解 的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为=6目录 上页 下页 返回 结束 例3 一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解(1)(3)由 即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面置.给定光滑曲线 在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方

4、程空间光滑曲线在点 M 处的 为此点处割线的极限位切线过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的导向量为法平面方程 给定光滑曲线为0,切线方程目录 上页 下页 返回 结束 例4 求曲线在点 M(1,1,1)处的切线 方程与法平面方程.解 点(1,1,1)对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有 可表示为处的切向量为 目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线

5、方程法平面方程有或目录 上页 下页 返回 结束 例5 求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1 令 则即切向量目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程即解法2曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得方程组两边对 x 求导,得目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量目录 上页 下页 返回 结束 三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.此平面称为 在该点的切平面.目录 上页 下页 返回

6、 结束 证 在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的 法线方程 切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 法向量:称为曲面 在点 M 的法线.目录 上页 下页 返回 结束 曲面时,则在点故当函数 法线方程令当光滑曲面 的方程为显式 在点 有连续偏导数时,切平面方程法向量特别,全微分的几何意目录 上页 下页 返回 结束 法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为 则向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束 例6 求球面 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解 令所以球面在点

7、(1,2,3)处有:切平面方程 即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 例7 确定正数 使曲面在点 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面,因此有解目录 上页 下页 返回 结束 1.空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结目录 上页 下页 返回 结束 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面法线方程1)隐式情况.切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面 在点的法向量目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面

8、方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点 则通过此2.设 f(u)可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为目录 上页 下页 返回 结束 补充题与定直线平行,曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒 1.证明曲面证目录 上页 下页 返回 结束 2.求曲线在点(1,1,1)的切线解 点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.