高考一轮复习课件：平面向量基本定理及坐标表.ppt

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1、平面向量的基本定理及坐标表示高三第一轮复习（第一课时）(1)定义 已知两个 向量a和b，作 OA=a,OB=b，则AOB=叫做向量a 与b的夹角(如图).非零 考点分析 考点分析1.两个向量的夹角(2)范围 向量夹角 的范围是,a 与b 同向时,夹角=_;a 与b 反向时,夹角=.0180 0 180 90 a b 不平行(3)向量垂直如果向量a 与b 的夹角是,则a 与b 垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的

2、一组.(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示 1e1+2e2基底 互相垂直 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj.把有序数对 叫做向量a 的坐标,记作a=,其中 叫做a 在x 轴上的坐标,叫做a 在y 轴上的坐标.a=xi+yj a=(x,y),(x,y)(x,y)(x,y)向量OA的坐标(x,y)x y 设OA=xi+yj,则 就是终点A 的坐标,即若OA=(x,y),则A 点坐标为,反之亦成立(O 是坐标原点).3

3、.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向 量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a 与b 共线 a=.x1y2-x2y1=0终点始点 b 如右图，在ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC.AM 与BN 相交于点P，求AP:PM 的值.【分析】【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然 后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.考点一 考点一 平面向量基本定理

4、的应用 平面向量基本定理的应用 题型分析 题型分析【解析】【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M 和B,P,N 分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2=3+=3,=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.由基本定理，得 解得【评析】【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用.（3）用基底表示向量

5、也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.对应演练 对应演练设OA,OB 不共线，P 点在AB 上,求证:OP=OA+OB 且+=1(,R).证明:P 点在AB 上，AP 与AB 共线.AP=tAB(t R).OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1(,R).已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc 的实数m,n;(3)求M,N 的坐标及向量MN 的坐标.【分析】【分析】利

6、用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.考点二 考点二 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5 m=-1-3m+8n=-5,n=-1.解得【评析】【评析】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)CM=OM-OC=3

7、c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).对应演练 对应演练已知A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.设D 的坐标为(x,y).(1)若是ABCD,则由AB=DC 得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1-2-y=2,x=0,y=-4.D 点的坐标为(0,-4)(如图中的D1).(2)若是ADBC,

8、则由AD=CB 得(x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2),即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D 点坐标为(2,4)(如图中的D2).(3)若是ABDC,则由AB=CD 得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D 点的坐标为(-2,0)(如图中的D3).综上所述,以A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题:(1)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x

9、,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.【分析】【分析】(1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k 的方程,从而求出实数k 的值.(2)由两向量平行及|d-c|=1 得出关于x,y 的两个方程,解方程组即可得出x,y 的值,从而求出d.考点三 考点三 平行 平行(共线 共线)向量的坐标运算 向量的坐标运算【解析】【解析】(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.【评析】【评析】向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得

10、参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=1,x=4+x=4-y=1+y=1-.d=（）或（）.解得 或对应演练 对应演练已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u v,求实数x 的值.因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为u v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10 x=5,解得

11、x=.1.1.要区分点的坐标与向量的坐标 要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它 尽管在形式上它们完全一样 们完全一样,但意义完全不同 但意义完全不同,向量的坐标中同样有方 向量的坐标中同样有方向与大小的信息 向与大小的信息.2.2.在处理分点问题比如碰到条件 在处理分点问题比如碰到条件“若 若P P 是线段 是线段AB AB的分点，且 的分点，且|PA|=2|PB|”|PA|=2|PB|”时，时，P P 可能是 可能是AB AB 的内分点，也 的内分点，也可能是 可能是AB AB 的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：AP=2PB AP=2PB 或 或AP=-2PB.AP=-2PB.3.3.数学上的向量是自由向量 数学上的向量是自由向量,向量 向量x=(a,b)x=(a,b)经过平移 经过平移后得到的向量的坐标仍是 后得到的向量的坐标仍是(a,b).(a,b).高考专家助教 高考专家助教