高考数学分类讨论思想复习.ppt

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1、1.分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统 一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综 合各类结果得到整体问题的解答.实质上，分类与 整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数 学解题策略.2.分类原则是分类的对象确定,标准统一;不重 复,不遗漏;分层次,不越级讨论;归纳总结,整合 完善.学案3 分类讨论思想1.从平面外一点P引与平面 相交的直线,使得P与交 点A的距离等于1，则满足条件的直线条数一定不可 能是（）A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条解析 设点P到平面 的距离为d,则d=1时，恰有一 条；d1时，不存在；0d1时，有无

2、数条.C2.函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的 所有可能值组成的集合为（）A.1 B.1,-C.-D.1,解析 因为当-1a0时，sina2=1,当a0时，ea-1=1,所以a-1=0，即a=1.综上可知,实数a的所有可能值组成的集合为1，B3.已知集合A=x|(m+2)x2+2mx+10,B=xR，则使 成立的实数m的取值范围是（）A.-2，2）B.（-2，2 C.-2，2 D.-2，-1)（-1，2）解析 因为B=xR=y|y0,令f(x)=(m+2)x2+2mx+1,又f(0)=1,所以函数f(x)的图象恒过定点（0,1）,要使,则必满足 解之得-2m-1或-1m2或m=-2,所以

3、m的取值范围是-2m2.A4.过三棱柱任意两顶点的直线共15条，其中异面 直线有（）A.18对 B.24对 C.30对 D.36对解析 因为侧棱的条数为3,且和每一条侧棱异面的直 线条数为4；侧面对角线条数为6,且和每一条侧面对 角线异面的直线有5条；两底面边的条数为6,且和每 一条边异面的直线有5条，又知直线异面是相互的，所以异面直线共有(34+65+65)=36对.D题型一 由数学概念引起的分类讨论【例1】设0 x0,且a1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.解 因为0 x1,所以01-x1,则01-x21.当0a0,loga(1+x)0,即|loga(1-x)|l

4、oga(1+x)|.当a1时,由loga(1-x)0,所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0,即|loga(1-x)|loga(1+x)|.由可知,|loga(1-x)|loga(1+x)|.【探究拓展】在解答该类问题时,首先从概念出发判 断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝 对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定),再按照 相关的法则去计算,直至得出结论.变式训练1 已知函数,满足f(c2)=(1)求常数c的值;(2)解不等式f(x)解(1)因为0c1,所以c2c,由f(c2)=,即c3+1=,所以c=

5、.(2)由(1)得 题型二 由运算引起的分类讨论【例2】已知函数(1)求f(x)的值域;(2)设函数g(x)=ax-2,x-2,2,若对于任意x1-2,2,总存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a 的取值范围.解(1)当x-2,-1)时,f(x)=x+在-2,-1)上是增函数,此时f(x),-2.(2)当a=0时,g(x)=-2,对于任意x1-2,2,不存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立;当a0时,g(x)=ax-2在-2,2上是增函数,g(x)-2a-2,2a-2,任给x1-2,2,若存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立,则当a0时,g(x)=ax-2在

6、-2,2上是减函数,g(x)2a-2,-2a-2,同理可得综上,实数a的取值范围是【探究拓展】在解答该类问题时,应根据函数g(x)中所含的参数a的取值情况进行讨论,得到函数的单调性，从而得出该函数在给定区间上的值域,再依据题意建立不等式组进行求解,得到a的取值范围.变式训练2 已知函数f(x)=ex-e-x.(1)证明:函数f(x)的导数f(x)2;(2)若对所有x0都有f(x)ax,求实数a的取值范围.(1)证明 因为函数f(x)的导数f(x)=ex+e-x,又ex+e-x(当且仅当x=0时,等号成 立)，所以f(x)2.(2)解 令g(x)=f(x)-ax,则g(x)=f(x)-a=ex+

7、e-x-a;若a2,当x0时，g(x)=ex+e-x-a2-a0,所以函数g(x)在区间(0,+)上为增函数，则x0时，g(x)g(0)=0，即f(x)ax.若a2,方程g(x)=0的一个正根为此时，若x(0,x1),则g(x)0,故函数g(x)在区间（0，x1）上为减函数，所以x(0,x1)时,g(x)g(0)=0,即f(x)ax,与题设f(x)ax相矛盾.综上可知，满足条件的实数a的取值范围是（-,2.题型三 由定理、公式等引起的分类【例3】设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,).（1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2-an+1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与

8、Tn的大小.解(1)因为an是等比数列，Sn0,可得a1=S10,q0,当q=1时，Sn=na10;上式等价于 或解式得q1；解式，由于n可为奇数，可为偶数，故-1q1,q0.综上，q的取值范围是(-1，0)(0，+).又因为Sn0,且-1q0,所以当-1q2时，Tn-Sn0,即TnSn；当 q2且q0时，Tn-Sn0,即TnSn;当q=或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn.【探究拓展】等差、等比数列的通项、前n项的和是 数列的基础，那么在研究一个数列的通项时，对n=1 与n2要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位 相减法求解时，要对公比q是否为1进行分类讨论.变式训练3 已知在等比数列a

9、n中,a1=1,Sn是其前n 项的和,且ak+1，ak+3，ak+2（kN）成等差数列.（1）求数列an的公比；（2）试判断Sk+1，Sk+3，Sk+2（kN）是否也构成 等差数列，说明理由.解(1)设等比数列an的公比为q，则ak+1=a1qk，ak+3=a1qk+2，ak+2=a1qk+1.依题意得2qk+2=qk+qk+1，由于qk0,所以2q2-q-1=0,解得q=1或q=.(2)当q=1时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+3=k+3,Sk+2=k+2,显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+32Sk+3,故Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;所以Sk+1,Sk

10、+3,Sk+2能构成等差数列.综上所述:当q=1时,Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;当q=时,Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列.题型四 由参数变化引起的分类讨论【例4】已知mR,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区 间0,1上的最大值.解(1)当4-3m=0时，即m=时，函数y=-2x+.它在0,1上是减函数，所以f(x)max=f(0)=.(2)当4-3m0,即 时，f(x)是二次函数.若4-3m0，即 时，二次函数f(x)的图象开 口向上，对称轴，它在0,1的最大 值只能在区间端点取得.f(0)=m,f(1)=2-2m.当m2-2m,又m,即当m2-2m,

11、又m，即m 时，f(x)max=2(1-m).若4-3m 时,二次函数f(x)的图象开口向 下,又它的对称轴方程,所以函数f(x)在 0,1上是减函数.于是f(x)max=f(0)=m.由(1)(2)可知,这个函数的最大值为【探究拓展】在解答该类问题时，应根据条件首先 确定函数的属性，即分成 两类这是 一级分类；然后对 时，按照抛物线的开口方 向分成 两类，这是二级分类；最后 在 中，比较f(0),f(1)的大小关系，又分成 两类，这是三级分类，每次分 类都有一个标准，要做到不重不漏.变式训练4 已知函数(a,b为常数)，且 方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(1)求函

12、数f(x)的解析式；（2）设k1,解关于x的不等式：解(1)将x1=3,x2=4分别代入方程 解之得(2)不等式即为 即(x-2)(x-1)(x-k)0,当1k2时,解集为(1,2)(k,+).【考题再现】已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值.【解题示范】解(1)f(x)=x(ax+2)eax.2分 当a=0时，令f(x)=0，得x=0;若x0,则f(x)0,从而f(x)在(0,+)上单调递增；若x0,则f(x)0,从而f(x)在(-,0)上单调递减.4分当a0时,令f(x)=0，得x(ax+2)

13、=0,故x=0或x=.5分若x0，则f(x)0，从而f(x)在（-,0)上单调递减.6分 7分 8分(2)当a=0时，f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1.9分当-2a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是 f(1)=ea.10分当a-2时，f(x)在区间0,1上的最大值是 11分综上所述，当a=0时，f(x)max=1;当-2a0时，f(x)max=ea 当a-2时,f(x)max=12分 分类讨论并不是凭空产生的,有着它出现的原因.这个原因就是我们分类的标准和依据.一般来说,可以归纳为以下几点：1.涉及的数学概念是分类定义的.2.运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的.3.由题

14、中所给的限制条件或研究对象的性质而引发的.4.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的.5.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的.6.有实际问题的实际意义引起的.7.复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的.在运用分类讨论问题时,我们要明确分类的原因是什么、对象是什么、分几个类别.不仅要掌握分类的原则,而且要把握分类的时机,重视分类的合理性与完整性.一、选择题1.不等式 的解集是（）A.x|-2x2 B.C.x|-2x0或0 x2 D.解析 当x0时，原不等式等价于,所以0 x2;当x0时，原不等式等价于 即 解集为 答案 B2.若不等式x2+ax+10对于一切x(0,成立,则a 最小值

15、是（）A.0 B.-2 C.D.-3 解析 C3.设函数,则当ab时，的值应为（）A.|a|B.|b|C.a，b中较小的数 D.a，b中较大的数解析 当ab时，a-b0，则f(a-b)=1,所以当ab时，a-b0，则f(a-b)=-1,所以 D4.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为（）A.B.C.D.解析 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情 况.D5.设函数,集合M=x|f(x)0,若,则实数a的取值范围是（）A.(-,1)B.(0,1)C.(1,+)D.1,+)解析 因为,由f(x)1时,M=x|1xa；当a1时，M=x|ax0,得a1,P=x|x1,又,故a

16、1.C6.在正四面体的一个顶点处,有一只蚂蚁每一次都以 的概率从一个顶点爬到另一个顶点,那么它爬行 了4次又回到起点的概率是（）A.B.C.D.解析 若4次爬行了一条棱的概率为;若4次爬行了两条棱的概率为;若4次爬行了四条棱的概率为B二、填空题7.设0a1，函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)0的 x的取值范围是_.解析 因为0a1且f(x)1,即a2x-2ax-30,则(ax-3)(ax+1)0,所以ax3或ax-1（舍），即xloga3.(-,loga3)8.双曲线(mn0)的离心率为2，则 的值为_.解析 当m0,n0时，e=解之得，当m0,n0时，e=解之得，综上

17、可得9.已知开口向上的二次函数f(x),对一切实数x都有 f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2),则不等式f(ab）f(5)的解集为_.解析 由f(2-x)=f(2+x)知，开口向上的二次函数 f(x)的对称轴为直线x=2,又因为f(ab)f(5),所以ab5或ab5,即|x+2|+|2x-1|3,当x-2时，原不等式解集为x|x-2;当 时,原不等式的解集为x|-2x0;当 时，原不等式的解集为；综上可知，原不等式解集为.答案 10.函数f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0 成立，则a=_.解析 若x=0，则不论a取何值，

18、f(x)0显然成立；当x0即x（0，1时，f(x)=ax3-3x+10可化为 设,所以g(x)在区 间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此，从而a4;当x0即x-1，0）时，f(x)=ax3-3x+10可化为 在区间-1，0）上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上a=4.答案 4 三、解答题11.设函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，曲线y=f(x)通过点（0,2a+3），且在点（-1,f(-1)处的切线垂直于y轴.（1）用a分别表示b和c；（2）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）ex 的单调区间.解（1）因为f（x）=ax2+bx+c，所以f(x)=

19、2ax+b.又因为曲线y=f(x)通过点（0,2a+3），故f(0)=2a+3,而f(0)=c,从而c=2a+3.又曲线y=f(x)在（-1，f(-1)处的切线垂直于y轴，故f（-1）=0，即-2a+b=0,因此b=2a.所以g(x)=-f(x)e-x,所以g(x)=（f(x)-f(x)）e-x=令g(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x（-,-2）时，g(x)0,故g(x)在x(-,-2)上为减函数；当x(-2,2)时，g(x)0,故g(x)在x(-2,2)上为增函数.当x(2,+)时，g(x)0,故g(x)在x(2,+)上为减函数.由此可见，函数g(x)的单调递减区间为(-,-2)和(

20、2,+)；单调递增区间为（-2，2）.12.设函数（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的 解集为(0,+)？若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.解(1)故当x(0,1)时,f(x)0；当x(1,+)时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减.由此知f(x)在(0,+）上的极大值为f(1)=ln 2,没有极小值.(2)当a0时，故关于x的不等式f(x)a的解集为(0,+).当a0时,其中n为正整数，且有 又n2时，且 取整数n0满足 且n02,则 即 当a0时,关于x的不等式f(x)a的解集不是(0,+).综合知,存在a,使得关于x的不等式f(x)a的解 集为(0,+）,且a的取值范围为（-，0.返回