傅里叶级数数学课件.ppt

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1、一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 10.7 傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数 一、三角级数 三角函数系的正交性v三角级数 形如 的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx v三角函数系 v三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 上的积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于零 提示:a000提示:an00提示:二、函数展开成傅里叶级数v傅里叶系数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:且假定三角级数可逐项积分 则 bn

2、00二、函数展开成傅里叶级数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:且假定三角级数可逐项积分 则 系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数 v傅里叶系数 v傅里叶级数 三角级数 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1 是傅里叶系数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的 一个定义在()上周期为2的函数f(x)如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数v定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断

3、点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时 级数收敛于 v傅里叶级数 三角级数 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1 是傅里叶系数 例1 设周期为2的函数f(x)在)上的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 当xk时傅里叶级数收敛于 当xk时级数收敛于f(x)解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛 因为傅里叶系数为 所以f(x)的傅里叶级数展开式为(x 例2 设周期为2的函数f(x)在)上

4、的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数 v周期延拓 设f(x)只在 上有定义 我们可以在)或(外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x)在()内 F(x)f(x)延拓前 yf(x)延拓后 yF(x)解 所给函数在区间 上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 上收敛于f(x)例3 将函数 展开成傅里叶级数 所以f(x)的傅里叶级数展开式为 因为傅里叶系数为 解 所给函数在区间 上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 上收敛于f(x)例3 将函数 展开成傅里叶

5、级数 三、正弦级数和余弦级数 v奇函数与偶函数的傅里叶系数an0(n0 1 2 )bn0(n1 2 )当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为 当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为v正弦级数和余弦级数 如果f(x)为奇函数 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 如果f(x)为偶函数 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在)上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数 解 所给函数满足收敛定理的条件 因此f(x)的傅里叶级

6、数收敛 当x(2k1)(k0,1,2,)时 傅里叶级数收敛于 当x(2k1)(k0,1,2,)时 傅里叶级数收敛于f(x)f(x)的图形和函数的图形 解 所给函数满足收敛定理的条件 因此f(x)的傅里叶级数收敛当x(2k1)(k0,1,2,)时 傅里叶级数收敛于f(x)因为f(x)在()上是奇函数 其傅里叶级数是正弦级数 而所以f(x)的傅里叶级数展开式为 (x 例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在)上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数 当x(2k1)(k0,1,2,)时 傅里叶级数收敛于 例5 将周期函数 展开成傅里叶级数 其中E是正的常数 解 函数u(t)在整个数轴上连续 满足收敛定理的条件 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)因为u(t)是周期为2的偶函数 其傅里叶级数是余弦级数 所以u(t)的傅里叶级数展开式为 而 所以u(t)的傅里叶级数展开式为 而(t在端点x0及x处 级数的和为零(0 x 例6 将函数f(x)x1(0 x)分别展开成正弦级数和余弦级数 解