元变量数学期望与方差.ppt

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1、3.2 随机向量的数字特征随机向量的数字特征一、二维随机向量的数学期望及方差一、二维随机向量的数学期望及方差1.二维随机向量的数学期望二维随机向量的数学期望定义定义1 1 设二维随机向量设二维随机向量(X，Y)，如果，如果EX及及EY E(X，Y)=（EX，EY).机向量的机向量的(X，Y)的数学期望，记作的数学期望，记作 存在，则称二维向量存在，则称二维向量(EX，EY)为二维随为二维随 2)若（若（X,Y）的）的联联合密度函数合密度函数为为注注 1)若若(X,Y)的的联联合概率分布律合概率分布律为为：2.二二维维随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望一个二元函数，一个二元函数，则则称

2、称为为二二维维随机向量随机向量设设（X,Y）是二）是二维维随机向量，随机向量，是是是一是一维维（X,Y）的函数。（注意：）的函数。（注意：随机变量），有：随机变量），有：定理定理1 设设（X,Y）是二）是二维维随机向量，随机向量，则则随机随机变变量量是二是二维维随机向量（随机向量（X,Y）的函数，）的函数，1)若若(X,Y)的的联联合概率分布律合概率分布律为为：，2）若（）若（X,Y）的）的联联合密度函数合密度函数为为设设（X,Y）是二）是二维维随机向量，随机向量，则则3.二二维维随机向量的方差随机向量的方差 若若(X,Y)的的联联合概率分布律合概率分布律为为：若若(X,Y)的的联联合密度函数

3、合密度函数为为 例例1 设设(X,Y)是二是二维维随机向量，其随机向量，其联联合密度函数合密度函数为为求求EX，EY，DY，DX，E(X+Y)，E(XY)。注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立 2.设设X、Y 独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);1.E(X1X2)=E(X1)E(X2);（诸（诸Xi独立时）独立时）3.若若X1与与X2 独立，则独立，则 可推广为：若可推广为：若X1,X2,Xn相互独立相互独立,则则D(X1X2)=D(X1)+D(X2);X1 与与X2不一定独立时不一定独立时，D(X1+X2)=？请思考请思考二、二维随机向

4、量和、积的数学期望及方差的性质二、二维随机向量和、积的数学期望及方差的性质例例2 把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合，求巧合个数的数学期望合，求巧合个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=1P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X,k=1,2,n则则故故引入引入例例3 设设随机向量随机向量(X,Y)的的联联合概率分布律合概率分布律为为(1)判定判定X与与Y是否相互独立是否相互独立?0.3 0 0.3 0.1 0.2 0.1 -1 1-1 0 1-1 0 1(2)E(XY)与与EXEY相

5、等相等吗吗?例例4 设随机变量设随机变量X服从服从0,1上的均匀分布，随机上的均匀分布，随机 立立,求求E(XY)及及D(XY)。变量变量Y服从服从1,3上的均匀分布，且上的均匀分布，且X与与Y相互独相互独例例3、4说明：说明：若若EXY=EXEY，并不能得到，并不能得到X与与必有必有D(XY)=DXDY.Y相互独立的结果。且若相互独立的结果。且若X与与Y相互独立，未相互独立，未 前面我们介绍了随机前面我们介绍了随机变量变量的数学期望的数学期望和方差，对于多维随机向量，反映分量之和方差，对于多维随机向量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是下间关系的数字特征中，最重要的，就是下面要讨论

6、的面要讨论的三、二维随机向量的协方差与相关系数三、二维随机向量的协方差与相关系数定定义义2 设设X与与Y是两个随机是两个随机变变量，且量，且EX，EY均均为为X与与Y存在，存在，则则称称的的协协方差方差，记记作作（一）协方差（一）协方差1.基本概念基本概念2.简单性质简单性质a,b是常数是常数3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得即即可见，若可见，若X与与Y独立，则独立，则定理定理2 若随机若随机变变量量X与与Y相互独立，相互独立，则则定定义义3 若若，则则称随机称随机变变量量X与与Y是是不相关不相关的。否的。否则则

7、称称X与与Y有有(线线性性)相关关系相关关系.注意注意：若随机变量：若随机变量X与与Y相互独立，则相互独立，则X与与Y是是 关的，未必有关的，未必有X与与Y相互独立。相互独立。不相关的；反之若随机变量不相关的；反之若随机变量X与与Y是不相是不相 4.随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系若若 两两独立两两独立,，上式化为，上式化为例例5 设随机向量设随机向量(X,Y)等可能地取等可能地取(-2(-2,0)0),(0(0,-2)2),独立？独立？X与与Y是否线性相关？是否线性相关？(2,0),(0,2)(2,0),(0,2)四个点，试判断四个点，试判断X与与Y是否相互是否相

8、互例例6 设设随机向量随机向量(X,Y)的的联联合密度函数合密度函数为为：试试判断：判断：X与与Y是否相互独立？是否相互独立？X与与Y是否是否线线性性相关？相关？协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系，但它还受相互间的关系，但它还受X与与Y本身度量单位本身度量单位的影响的影响.例如：例如：为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了这就引入了相关系数相关系数.(二二)相关系数相关系数为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数的相关系数.定义定义4 设设(X,Y)是二维随机向量是二维随机向量,它们的方差它们的方差D(

9、X),在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .D(Y)存在存在,且且D(X)0,D(Y)0,称称证明证明:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数k,有有D(Y-kX)=k2DX+DY-2k Cov(X,Y)0,定理定理3 设设X与与Y是任意两个随机是任意两个随机变变量量,且且存在，存在，则则这是一个关于这是一个关于k的一个二次多项式的一个二次多项式,则必有则必有即即故故 注注 X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真，但其逆不真.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，定理定理4 如果

10、随机如果随机变变量量Y是随机是随机变变量量X的的线线性函数，性函数，即即从上述定理可以知道：相关系数从上述定理可以知道：相关系数刻划了刻划了X和和Y是描述随机是描述随机变变量量X与与Y之之间线间线性相关程度性相关程度,当当X与与Y之之间间具有完全的具有完全的线线性相关性相关.且且称称X 与与Y 之之间间存在存在正相关关系正相关关系，当，当越接近越接近1,认为认为X 与与Y 的的线线性相关程度越性相关程度越强强，X与与Y不相关，不相关，间间“线性相关线性相关”的程度的程度.称称X 与与Y 之之间间存在存在负负相关关系相关关系，当，当越接近越接近0，则认为则认为X与与Y的的线线性相关性相关反之当反之当程度程度较较弱。弱。注意注意:相关系数是随机变量之间相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱强弱 的一个度量的一个度量(参见如下的示意图参见如下的示意图).例例7 已知随机已知随机变变量量Z服从服从0，2上的均匀分布，上的均匀分布，N(0,16)，且，且X与与Y的相关系数的相关系数为为设设2)求求X与与Z的相关系数的相关系数且且X=sinZ，Y=sin(Z+k),k为常数为常数,求求X与与Y的相的相关系数关系数例例8 设设随机随机变变量量X、Y分分别别服从正服从正态态分布分布N(1,9)，1)求求EZ及及DZ；