建筑力学第四章-杆件的强度、刚度和稳定性计算.ppt

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1、第四章第四章 杆件的强度、刚度和稳定性计算杆件的强度、刚度和稳定性计算1第一节第一节 应力、应变、胡克定律应力、应变、胡克定律1 1、应力应力 平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运动，但一定会产生变形。动，但一定会产生变形。的概念：的概念：考虑受力杆件考虑受力杆件I-I I-I截面上任意一点截面上任意一点A A称为面积称为面积A A上的平均应力。上的平均应力。而而 称为称为A A点出的应力点出的应力 应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度布疏密程度，内力集度.AIIpII p A2F1FnF3F2 工工程

2、程构构件件，大大多多数数情情形形下下，内内力力并并非非均均匀匀分分布布，集集度度的的定定义义不不仅仅准准确确而而且且重重要要，因因为为“破破坏坏”或或“失效失效”往往从内力集度最大处开始。往往从内力集度最大处开始。应力就是单应力就是单应力就是单应力就是单位面积上的位面积上的位面积上的位面积上的力力力力3正应力：正应力：杆件内部应力杆件内部应力p p的截面法线分量称为正的截面法线分量称为正应力应力。剪应力：剪应力：杆件内部应力杆件内部应力p p的截面切线分量称为剪的截面切线分量称为剪应力应力。应力的单位是帕斯卡，简称帕（应力的单位是帕斯卡，简称帕（PaPa）1MPa(1MPa(兆帕兆帕)=10)

3、=106 6 PaPa，1GPa(1GPa(吉帕吉帕)=10)=109 9 P P IIA p4内力：内力：横截面上所有点应力的总和。横截面上所有点应力的总和。IIFN轴力轴力F FN N表示截面上所有点正应力表示截面上所有点正应力在轴在轴线（或法线）方向上作用的总和。线（或法线）方向上作用的总和。剪力剪力F FQ表示截面上所有点剪应力表示截面上所有点剪应力在在切线方向上作用的总和。切线方向上作用的总和。FQ当同一横截面上正应力有正有负时，当同一横截面上正应力有正有负时，弯矩弯矩M M表示截面上所有点正应力表示截面上所有点正应力对正对正负应力分界轴负应力分界轴x-x的力偶作用。的力偶作用。Mx

4、x扭矩扭矩F FT T表示截面上所有点剪应力表示截面上所有点剪应力对截对截面中心点面中心点O点的力偶作用。点的力偶作用。O5剪力剪力F FQ表示截面上所有点剪应力表示截面上所有点剪应力在在切线方向上作用的总和。切线方向上作用的总和。FQ当同一横截面上正应力有正有负时，当同一横截面上正应力有正有负时，弯矩弯矩M M表示截面上所有点正应力表示截面上所有点正应力对正对正负应力分界轴负应力分界轴x-x的力偶作用。的力偶作用。Mxx扭矩扭矩F FT T表示截面上所有点剪应力表示截面上所有点剪应力对截对截面中心点面中心点O点的力偶作用。点的力偶作用。O6刚度刚度：构件抵抗变形的能力。：构件抵抗变形的能力。

5、杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或增大），称为横向变形。增大），称为横向变形。1 1）纵向变形与胡克定律）纵向变形与胡克定律长为长为 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了的等直杆，在轴向力作用下，伸长了纵向线应变纵向线应变为：为：试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系极限值，则正应力和正应变成线性正比关系 2 2、轴向拉伸（压缩）变形、轴向拉伸（压缩）变形7称为称为胡克定律胡克定律

6、英国科学家胡克英国科学家胡克（Robet Hooke，1635170316351703）于于16781678年首次用试验方法论证了这种线性关系年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。后提出的。胡克定律：胡克定律：EAEA称为杆的称为杆的拉压刚度拉压刚度 上式只适用于在杆长为上式只适用于在杆长为l l长度内长度内FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为均为常值的情况下，即在杆为l l长度内变形是均长度内变形是均匀的情况。比例常数匀的情况。比例常数E E 称为弹性模量，它表示材称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应力相同，常用单

7、位为力相同，常用单位为MPa.82 2）横向变形、泊松比）横向变形、泊松比横向正应变为：横向正应变为：当应力不超过一定限度时，横向应变当应力不超过一定限度时，横向应变与轴向应变与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。之比的绝对值是一个常数。法国科学家泊松法国科学家泊松（1781184017811840）于于18291829年从理论上推演得出的结果。年从理论上推演得出的结果。横向变形因数或泊松比横向变形因数或泊松比表表4-14-1给出了常用材料的给出了常用材料的E E、值。值。9三、三、变形计算变形计算材料名称E值（单位GPa)值值低碳钢（Q235）2002100.240.2816锰钢2002200

8、.250.33铸铁1151600.230.27铝合金70720.260.33混凝土15360.160.18木材（顺纹）912砖石料2.73.50.120.20花岗石490.160.34常用材料的常用材料的E E、值值10选择材料选择材料与材料的机械性质有关与材料的机械性质有关确定尺寸确定尺寸与截面大小、形状有关与截面大小、形状有关在面积在面积A A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计

9、算中不可缺少的几何参数。中不可缺少的几何参数。第二节第二节 截面的几何性质截面的几何性质11 截面的形心就是截面图形的截面的形心就是截面图形的几何中心几何中心一、形心一、形心yzOdAyzzCyCC1、形心的概念、形心的概念通过形心的坐标轴称为通过形心的坐标轴称为形心轴形心轴Cr12 截面的形心就是截面图形的几何中心一、形心一、形心yzOdAyzzCyCC1、形心的概念、形心的概念通过形心的坐标轴称为形心轴形心坐标公式形心坐标公式13 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三三部分，以图形的铅垂对称轴为部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂

10、直的轴线取轴垂直的轴线取为为x轴，则轴，则例例1 1 求图示图形的形心。求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：由于对称知：xC=0141、静矩、静矩ozyAdAzyA ydA AzdA平面图形对平面图形对y轴的静矩轴的静矩平面图形对平面图形对z轴的静矩轴的静矩单位：单位：二、静矩和惯性矩二、静矩和惯性矩15（1 1）静矩可）静矩可 0；0；0。（2 2）若图形形心）若图形形心C已知，则：已知，则：oyzAC（3 3）求静矩的另一公式：）求静矩的另一公式：16（4）yzAC 如果平面图形具有如果平面图形具有对称轴，则平面图形的对称轴，则平面图形的

11、形心必然在对称轴上。形心必然在对称轴上。平面图形对其对称轴的平面图形对其对称轴的静矩必为零。静矩必为零。若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。该坐标轴必通过图形的形心。轴过形心轴过形心 S该轴该轴=0 17组合图形的静组合图形的静矩计算公式矩计算公式求所示图形对求所示图形对y轴的静矩轴的静矩zyzORz+dz解：182 2、惯性矩、惯性矩oyzAdAyz AydA AzdA图形对图形对y y轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩单位：单位：惯性矩恒惯性矩恒 0；19yzbh例例1、矩形。求、矩形。求解：解：（1

12、）（2）zdz同理同理c例例2、圆形。、圆形。yzd20A3 3、平行移轴公式、平行移轴公式CyzdAyzoba已知已知:(y、z轴过形心轴过形心C)求求解：解：21平行移轴公式平行移轴公式 注意：注意：（1 1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩应通过平行的形心轴惯性矩来换算来换算;（2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心以对通过形心轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小.ACyzdAyzoba22dD根据定义：根据定义：整个图形对某

13、一轴的静矩、惯性矩等于各个分图整个图形对某一轴的静矩、惯性矩等于各个分图形对同一轴的静矩、惯性矩之和。形对同一轴的静矩、惯性矩之和。IIIIIIyz4 4、组合图形惯性矩的计算、组合图形惯性矩的计算23例如例如:则则IIIIIIyz同理同理24空心圆空心圆其中其中dDyzIIIIIIyzy12520cm3173例：例：T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯性矩。求其对形心轴的惯性矩。解解:(1)求形心求形心zyC任选参考坐标系任选参考坐标系,如如III而而y126(2)求求20cm3173zyCIIIy127即：即：惯性半径惯性半径（单位：（单位：）5、惯性半径、惯性半径 工程中因为计算需要，常

14、将图形的惯性工程中因为计算需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。与某一长度平方的乘积。28yzbh例：例：1、矩形。求、矩形。求解：解：zdzc29力学性质力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。表现出的力学性能。材料的力学性能材料的力学性能 工程材料根据其断裂时发生变形的大小工程材料根据其断裂时发生变形的大小分为脆性材料和塑性材料两大类。分为脆性材料和塑性材料两大类。在常温、静在常温、静载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能具有明显的差异。具有明显

15、的差异。第三节第三节 杆件的轴向拉伸（压缩）杆件的轴向拉伸（压缩）1 1、材料在轴向拉伸（压缩）时的力学性能、材料在轴向拉伸（压缩）时的力学性能301 1）低碳钢拉伸时的力学性能）低碳钢拉伸时的力学性能常常温温、静静载载标准试样（圆截面）标准试样（圆截面）31标准试样（矩形截面）标准试样（矩形截面）试样原始标距与原始横截面面积试样原始标距与原始横截面面积 关系者关系者,有为比例试样。有为比例试样。国际上使用的比例系数国际上使用的比例系数k k的值为的值为5.655.65。若若k k 为为5.655.65的值不能符合这一最小标距要求的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用时，可

16、以采取较高的值（优先采用11.311.3值）。值）。3233应力应力应变图应变图34（1 1）弹性阶段（）弹性阶段（ObOb 段）段）Oa 段为直线段，说明段为直线段，说明正应正应力和正应变成线性正比，材力和正应变成线性正比，材料遵循胡克定律，即料遵循胡克定律，即EE。a点对应的应力称为点对应的应力称为比例极比例极限限，用，用P表示表示。弹性阶段最高点弹性阶段最高点b对应的应对应的应力值为弹性极限，用力值为弹性极限，用e表示。表示。弹性模量弹性模量E和和 的关系：的关系：应力应力应变图应变图35 过过b b点，应力变化不大，点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水应变急剧增大，曲线上出现水

17、平锯齿形状，材料失去继续抵平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生抗变形的能力，发生屈服现象屈服现象 。工程上常称下屈服强度为工程上常称下屈服强度为材料的材料的屈服极限屈服极限，用，用s s表示。表示。材料在屈服阶段，其弹性材料在屈服阶段，其弹性变形基本不再增长，而塑性变变形基本不再增长，而塑性变形迅速增加，不能使用胡克定形迅速增加，不能使用胡克定律。律。材料屈服时，在光滑试样材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹表面可以观察到与轴线成的纹线，称为线，称为4545滑移线滑移线。（2 2）屈服阶段（）屈服阶段（bcbc 段）段）36 材料晶格重材料晶格重组组后，又增加了后，又增加了

18、抵抗抵抗变变形的能力，要使形的能力，要使试试件件继继续续伸伸长长就必就必须须再增加拉力，再增加拉力，这这阶阶段称段称为为强强化化阶阶段段。曲线最高点曲线最高点d处的应力，称处的应力，称为为强度极限强度极限(b)。若将杆件拉伸到强化阶段若将杆件拉伸到强化阶段的某一点的某一点k时停止加载，并逐步时停止加载，并逐步卸载到零，则试样的应力卸载到零，则试样的应力应应变曲线会沿着变曲线会沿着kO1回到回到O1，卸载，卸载后消失的应变后消失的应变O1k1为弹性应变，为弹性应变，保留下的应变保留下的应变OO1为塑性应变。为塑性应变。冷作硬化冷作硬化现象，在强化阶现象，在强化阶段某一点段某一点 k k处，缓慢卸

19、载，处，缓慢卸载，冷作冷作硬化硬化使材料的弹性强度提高，使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现象。而塑性降低的现象。（3 3）强化阶段（）强化阶段（cdcd 段）段）代表材料强度性能的主要指标：代表材料强度性能的主要指标：屈服极限屈服极限s和和 强度极限强度极限b 37（4 4）局部）局部径缩径缩阶段（阶段（de段）段）试样变形集中到某一局部试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的缩，形成了图示的“颈缩颈缩”现现象象最后在最后在“颈缩颈缩”处被拉断。处被拉断。38两个塑性指标两个塑性指标:延伸率延伸率断面收缩率断面收缩率为塑性材料为塑性材料为脆性

20、材料为脆性材料低碳钢的低碳钢的为塑性材料为塑性材料（2)2)延伸率和截面收缩率延伸率和截面收缩率杆件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来。杆件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来。39（3 3）低碳钢压缩时的力学性能低碳钢压缩时的力学性能 试试件件和和实实验验条条件件常常温温、静静载载40屈服极限屈服极限比例极限比例极限弹性极限弹性极限 拉伸与压缩在屈服拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。阶段以前完全相同。E E-弹性摸量弹性摸量塑性材料（低碳钢）的压缩塑性材料（低碳钢）的压缩41 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服

21、和径缩现应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%0.5%。为典型的脆性材料。为典型的脆性材料。b b拉伸强度极限（约为拉伸强度极限（约为140MPa140MPa）。它是衡）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。（1 1）拉伸性能）拉伸性能2 2）铸铁的力学性能）铸铁的力学性能42 脆性材料的抗拉与抗压脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同性质不完全相同 压缩时的强度极限远大压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限于拉伸时的强度极限（2 2）压缩性能）压缩性能43低碳钢压缩低碳钢压缩,愈

22、压愈扁愈压愈扁铸铁压缩铸铁压缩,约约45454545度开裂度开裂度开裂度开裂44 对于没有明显对于没有明显屈服阶段的塑性材屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极料，用名义屈服极限限0.20.2来表示。来表示。3 3）其它材料的力学性能）其它材料的力学性能45建筑专业用的混凝土，压缩时的应力建筑专业用的混凝土，压缩时的应力应变图，如图示。应变图，如图示。混凝土的抗压强度要比抗拉强度大混凝土的抗压强度要比抗拉强度大1010倍左右。倍左右。46几种常用材料的主要力学性能几种常用材料的主要力学性能材料名称材料名称屈服极限屈服极限s/MPa 强度极限强度极限b/MPa伸长率伸长率/%受拉受拉受压受压Q235钢

23、钢220240370460252716Mn钢钢2803404705101931灰口铸铁灰口铸铁9839064013000.5混凝土混凝土C201.614.2混凝土混凝土C302.121红松（顺纹）红松（顺纹）9632.2471.1.极限应力极限应力 塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效失效，因此把屈服，因此把屈服极限作为塑性材料极限作为塑性材料极限应力极限应力。即即 s 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯

24、一标志，因而把强度极限作为脆性材料的效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力极限应力。即即 b 根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极极限应力限应力()4 4）许用应力与安全系数）许用应力与安全系数工作应力工作应力杆件工作时由荷载引起的应力杆件工作时由荷载引起的应力极限应力极限应力使材料丧失正常工作能力的应力使材料丧失正常工作能力的应力48把极限应力除以一个大于把极限应力除以一个大于1 1的因数，得到的因数，得到的应力值称为的应力值称为许用应力许用应力()()大于大于1 1的因数的因数n n 称为称为安全因数安全因数。工程中安全因数工程

25、中安全因数n n的取值范围，由国家标准的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。规定，一般不能任意改变。2.2.许用应力许用应力49 思考：两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的思考：两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，哪根杆首先被拉断？拉力作用下，随着拉力的增加，哪根杆首先被拉断？答案：答案：细杆细杆说说明明：杆杆件件的的强强度度不不仅仅与与内内力力有有关关，而而且且与与截截面面的尺寸有关。的尺寸有关。A=10mm210KN10KN10KNA=100mm210KN哪个杆先破坏哪个杆先破坏?2 2、轴向拉伸（压缩）的强度计算、轴向拉伸（压缩）的强度计算50 为

26、了研究构件的强度问题，必须研究为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布集度内力在截面上的分布集度应力。杆件的强应力。杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。必须用应力来比较和判断杆件的强度。51等截面直杆的假设推论：等截面直杆的假设推论：（1）平面假设平面假设：杆件横截面变形前为平面，变：杆件横截面变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于杆轴。形后仍为平面，且仍垂直于杆轴。（2）横截面只沿杆轴线平行移动，任何两个横）横截面只沿杆轴线平行移动，任何两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量（或缩短量）截面之间所有纵向

27、纤维的伸长量（或缩短量）均相等，横截面上只有正应力，而且各点处的均相等，横截面上只有正应力，而且各点处的正应力都相等。正应力都相等。521 1）正应力计算公式）正应力计算公式 计算公式：计算公式：该式为横截面上的正应力该式为横截面上的正应力计计算公式。正应力算公式。正应力和轴力和轴力F FN N同号。同号。即拉应力为正，压应力为负。即拉应力为正，压应力为负。AA拉（压）拉（压）杆横截面面积杆横截面面积F FNN轴力轴力53 对于等截面直杆，最大正应力一定发生在对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上，其计算公式为：轴力最大的截面上，其计算公式为：习惯上把杆件在荷载只有下产生的应力，

28、习惯上把杆件在荷载只有下产生的应力，称为工作应力。并且通常把产生最大工作应力称为工作应力。并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。对于产生轴向拉（压）变形的等称为危险点。对于产生轴向拉（压）变形的等直杆。轴力最大的截面就是危险截面，该截面直杆。轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。上任意一点都是危险点。54轴向拉压杆的强度条件轴向拉压杆的强度条件强度强度：构件抵抗破坏的能力。：构件抵抗破坏的能力。为了保障构件安全工作，构件内为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力最大工作应力必须小于必须小于许用应力

29、许用应力。公式称为拉压杆的公式称为拉压杆的强度条件强度条件 2 2）强度条件强度条件等截面直杆等截面直杆：变截面杆：综合考虑，算出危险截面变截面杆：综合考虑，算出危险截面max代入代入强度条件度条件进行行计算。算。55对于塑性材料的等截面杆，强度条件式为：对于塑性材料的等截面杆，强度条件式为：对于脆性材料的等截面杆，强度条件式为：对于脆性材料的等截面杆，强度条件式为：最大工作拉应力和允许拉应力最大工作拉应力和允许拉应力最大工作压应力和允许压应力最大工作压应力和允许压应力56利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：1 1、强度校核：、强度校核：在已知拉压杆

30、的形状、尺寸和许用在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。件，以判别构件能否安全工作。轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算在计算中，若工作应力不超过许用应力的在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%5%，在工程中，在工程中仍然是允许的。仍然是允许的。57例题：例题：起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩螺栓内径螺栓内径材料容许应力材料容许应力试校核螺栓部分的强度。试校核螺栓部分的强度。计算螺栓内径处的面积计算螺栓内径处的面积吊钩螺栓部分安全。吊钩螺栓部分安全。

31、解：解：582 2、设计截面：、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：在计算中，若工作应力不超过许用应力的在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%5%，在工程中，在工程中仍然是允许的。仍然是允许的。59例题：例题：图示一托架，图示一托架，ACAC是圆钢杆，许用拉应力是圆钢杆，许用拉应力，BCBC是方木杆，是方木杆，试选定钢杆直径试选定钢杆直径d d？解：解：（1 1）、轴力分析。）、轴力分析。并假设钢杆的轴力并假设钢杆的轴力为研究对象。为研究对象。取结

32、点取结点60613 3、计算许用载荷：、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的容许应力，计算杆件所能承受的容许轴力，再根据此料的容许应力，计算杆件所能承受的容许轴力，再根据此轴力计算容许载荷，表达式为：轴力计算容许载荷，表达式为：在计算中，若工作应力不超过许用应力的在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%5%，在工程中，在工程中仍然是允许的。仍然是允许的。例题：例题：已知一个三角架，已知一个三角架，ABAB杆杆由两根由两根8080780807等边角钢组成，等边角钢组成，横截面积为横截面积为A1A1，长度为，长度为2 m2 m，ACAC杆由两根杆由两根1010

33、号槽刚组成，横号槽刚组成，横截面积为截面积为A2A2，钢材为，钢材为3 3号钢，容号钢，容许应力许应力 求：容许载荷？求：容许载荷？62解：解：（2 2）、计算容许轴力）、计算容许轴力查型钢表：查型钢表：（1 1）、对）、对A A节点受力分析：节点受力分析：63由强度计算公式：由强度计算公式：（3 3）、计算容许载荷：）、计算容许载荷：64 梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为为弯曲正应力弯曲正应力与与弯曲切应力弯曲切应力。MFQMs sFQt t一、弯曲时梁的正应力计算公式一、弯曲时梁的正应力计算公式第第 四四 节节 杆件的平面弯曲杆件的平面弯曲

34、 651 1、弯曲正应力计算公式、弯曲正应力计算公式 纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。平面平面弯曲弯曲纯弯曲纯弯曲只有只有MM无无F FQQ横力弯曲横力弯曲FFQQ、MM同时同时存在存在纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力66（1 1 1 1 1 1）实验观察与分析）实验观察与分析）实验观察与分析）实验观察与分析）实验观察与分析）实验观察与分析1 1、变形前互相平行的纵、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。

35、维伸长。2 2、变形前垂直于纵向线、变形前垂直于纵向线的横向线的横向线,变形后仍为直线，变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对交，但两条横向线间相对转动了一个角度。转动了一个角度。1 1、平面假设：、平面假设：变形前杆件的横截面变变形前杆件的横截面变形后仍为平面。形后仍为平面。2.2.单向受力假设：单向受力假设：各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。因此梁横截面上只有正应力或受压的状态。因此梁横截面上只有正应力而无剪而无剪应力应力67 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面梁在弯

36、曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层中性层.中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴，中性轴通过，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。且与截面纵向对称轴截面形心，是一条形心轴。且与截面纵向对称轴y y垂直，垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时，各横截将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时，各横截面绕中性轴转动。面绕中性轴转动。中性层中性层中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴纵向对称面纵向对称面6

37、8（2 2 2 2 2 2）正应力公式推导）正应力公式推导）正应力公式推导）正应力公式推导）正应力公式推导）正应力公式推导1 1）变形几何条件）变形几何条件69MMs smaxs smaxmaxmax对于指定截面，对于指定截面，为常数。为常数。2 2）应力与应变的物理关系）应力与应变的物理关系由胡克定律的横截面上坐标为由胡克定律的横截面上坐标为y y处各点的正应力为：处各点的正应力为：70横截面上正应力分布规律：横截面上正应力分布规律：1 1、受拉区、受拉区 拉应力，受压区拉应力，受压区 压应力。压应力。2 2、中性轴上应力为零。、中性轴上应力为零。3 3、沿沿y y轴线性分布，同一坐标轴线性

38、分布，同一坐标y y处，正应力相等。处，正应力相等。既沿截面宽度均匀分布。既沿截面宽度均匀分布。4 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。缘处。若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力。力。71梁纯弯曲时横截面上任一点梁纯弯曲时横截面上任一点正应力计算公式：正应力计算公式：MMZ Z:横截面上的弯矩横截面上的弯矩y:y:到中性轴的距离到中性轴的距离I IZ Z:截面对中性轴的惯性矩，截面对中性轴的惯性矩，与截面形状与截面形状和尺寸有关，常用单位为和尺寸有关，常用单位为mm4 4或或mmmm4

39、 4。3 3）静力条件）静力条件72 使用此公式注意：使用此公式注意：公式中的公式中的MM、y y都用绝对值，都用绝对值，的正负由的正负由MM的正负判断。的正负判断。M0M0时：下侧受拉，中性轴以下时：下侧受拉，中性轴以下00，以上，以上00M0M0时：上侧受拉，中性轴以下时：上侧受拉，中性轴以下000计算梁中某截面上一点的正应力步骤：计算梁中某截面上一点的正应力步骤：（1 1）明确截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定截）明确截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定截面的弯矩值；面的弯矩值；（2 2）计算截面对中性轴的惯性矩）计算截面对中性轴的惯性矩I IZ Z(若中性轴若中性轴Z Z轴位置，轴位

40、置，先求形心位置）；先求形心位置）；（3 3）计算点到中心轴距离）计算点到中心轴距离y y；（4 4）根据公式计算正应力，其正负号可根据）根据公式计算正应力，其正负号可根据MM值及值及y y的位置判断。的位置判断。73横力弯曲时正应力计算横力弯曲时正应力计算横力弯曲时正应力计算横力弯曲时正应力计算 横力弯曲时，截面上不仅有正应力，而且横力弯曲时，截面上不仅有正应力，而且有剪应力，平面假设不严格成立。此外，在横有剪应力，平面假设不严格成立。此外，在横力弯曲下，还有由横向力引起的挤压应力，因力弯曲下，还有由横向力引起的挤压应力，因此与纯弯曲存在差异。但当梁跨度此与纯弯曲存在差异。但当梁跨度 l l

41、 与高度与高度 h h 之之比大于比大于5 5（即为细长梁）时，剪力对正应力分布（即为细长梁）时，剪力对正应力分布规律影响很小，所以纯弯曲正应力计算公式近规律影响很小，所以纯弯曲正应力计算公式近似成立，即：似成立，即：74 二、梁的正应力强度计算二、梁的正应力强度计算 为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。应力强度条件和剪应力强度条件。75横截面上距中性轴最远边缘处的弯曲正应力最大横截面上距中性轴最远边缘处的弯曲正应力最大,即：即：对于矩形截面：对于矩

42、形截面：WWz z 称为抗弯截面系数（模量）与截面形状称为抗弯截面系数（模量）与截面形状和尺寸有关，常用单位为和尺寸有关，常用单位为mm3 3或或 mm mm3 3。令令则则对于圆形截面：对于圆形截面：yzh/2h/2bd/2yzd/276 如果梁的横截面对中性轴不对称，则其如果梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力分别为：截面上的最大拉应力和最大压应力分别为：最大拉压力最大拉压力最大拉压力最大拉压力最大压应力最大压应力最大压应力最大压应力77 简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式惯性矩惯性矩弯曲截弯曲截面系数面系数型钢查型钢表型钢

43、查型钢表78 1 1 1 1、梁的正应力强度条件、梁的正应力强度条件、梁的正应力强度条件、梁的正应力强度条件对于低碳钢等塑性材料，常将梁做成矩形、圆形、工字对于低碳钢等塑性材料，常将梁做成矩形、圆形、工字对于低碳钢等塑性材料，常将梁做成矩形、圆形、工字对于低碳钢等塑性材料，常将梁做成矩形、圆形、工字形等中心轴对称的截面，其弯曲正应力的强度条件为：形等中心轴对称的截面，其弯曲正应力的强度条件为：形等中心轴对称的截面，其弯曲正应力的强度条件为：形等中心轴对称的截面，其弯曲正应力的强度条件为：对于铸铁等脆性材料，常将梁做成对于铸铁等脆性材料，常将梁做成对于铸铁等脆性材料，常将梁做成对于铸铁等脆性材料

44、，常将梁做成T T T T形等中心轴不对称的形等中心轴不对称的形等中心轴不对称的形等中心轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件为：截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件为：截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件为：截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件为：y y y y1 1 1 1和和和和y y y y2 2 2 2分别表示梁上拉应力和压应力最大点离中心轴的距离；分别表示梁上拉应力和压应力最大点离中心轴的距离；分别表示梁上拉应力和压应力最大点离中心轴的距离；分别表示梁上拉应力和压应力最大点离中心轴的距离；+和和和和 -分别为脆性材料的弯曲容许拉应力和容许压应力。分别为脆性材

45、料的弯曲容许拉应力和容许压应力。分别为脆性材料的弯曲容许拉应力和容许压应力。分别为脆性材料的弯曲容许拉应力和容许压应力。强度条件强度条件79 利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用1 1 1 1、强度校核、强度校核、强度校核、强度校核2 2 2 2、设计截面、设计截面、设计截面、设计截面3 3 3 3、确定容许荷载、确定容许荷载、确定容许荷载、确定容许荷载80长为长为长为长为长为长为l l l 的矩形截面悬臂梁

46、，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F F F F F F，已知，已知，已知，已知，已知，已知b b b b b b120mm120mm120mm120mm120mm120mm，h h h h h h180mm180mm180mm180mm180mm180mm、l l l2m2m2m2m2m2m，F F F F F F1.6kN1.6kN1.6kN1.6kN1.6kN1.6kN，试求，试求，试求，试求，试求，试求B B

47、B B B B截截截截截截面上面上面上面上面上面上a a a a a a、b b b b b b、c c c c c c各点的正应力。各点的正应力。各点的正应力。各点的正应力。各点的正应力。各点的正应力。（压压）例81 图示图示T T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力F F32kN32kN，梁的长度，梁的长度L L2m2m。y yc c96.4mm96.4mm，横截面对于，横截面对于z z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02101.02108 8mmmm4 4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。82三、提高梁抗弯强度的措施三、

48、提高梁抗弯强度的措施 弯曲正应力强度条件通常是控制量的强度的主要因素。弯曲正应力强度条件通常是控制量的强度的主要因素。提高梁强度的两种方法：提高梁强度的两种方法：1 1）合理安排梁的受力情况，降低梁的最大弯矩值；）合理安排梁的受力情况，降低梁的最大弯矩值；2 2）采用合理的截面形状，提高其抗弯截面模量的数值。）采用合理的截面形状，提高其抗弯截面模量的数值。1.1.1.1.合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值83合理布置梁的支座合理布置梁的支座合理布置梁的支座合理布置梁的支座84适当增加梁的支座适当增加梁的支座适当增加梁的支座适当增加梁的支座85改善荷

49、载的布置情况改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况+862.选择合理的截面形状，尽量增大Wz值梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面87 工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理88根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面中性轴不对称的截面893.采用变截面梁90例例:外伸梁外伸梁 T T 形梁截面，用铸铁制成，形梁截面，用铸铁制成，校核梁的强度。校核梁的强度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP20kN 2

50、m2m91解：解：（1 1）梁的内力分析，找出危险截面梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/mADBEP20kN 5kN 35kN ADBE10kN*m 20kN*m(-)(+)危险截面：危险截面：B,D B,D？92（2 2）找出危险截面上的危险点找出危险截面上的危险点危险点：危险点：a,b,da,b,dCy2y1ADBE10kN*m 20kN*m(-)(+)B B截面截面D D截面截面压应力压应力拉应力拉应力abed拉应力拉应力压应力压应力 d d e e d d和和 a a谁大谁小要计算谁大谁小要计算93（3 3）计算）计算危险点应力危险点应力 校核强度校核强度最大压应力：最大压应力：