高一数学必修二课件第二章 第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用.ppt

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1、第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用考向考向 1 1 利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题【典例典例1 1】(2013(2013烟台模拟烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y(y(单位单位:千克千克)与销售价格与销售价格x(x(单位单位:元元/千克千克)满足关系式满足关系式y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6,a为常数为常数,已知销售已知销售价格为价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该商品每日可售出该商品1111千克千克.(1)(1)求求a a的值的值.

2、(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定销售价格试确定销售价格x x的值的值,使商场使商场每日销售该商品所获得的利润每日销售该商品所获得的利润f(xf(x)最大最大.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据根据“销售价格为销售价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该每日可售出该商品商品1111千克千克”可知销售函数过点可知销售函数过点(5,11),(5,11),将其代入可求得将其代入可求得a a的值的值.(2)(2)利润为利润为f(xf(x)=()=(每件产品的售价每件产品的售价-每件产品的成本每件产品的成本)销量销量,表表示出函数解析式后示出函数解析式后,可借

3、助导数求最值可借助导数求最值.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(xf(x)=(x-3)+10(x-6)=(x-3)+10(x-6)2 2=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6.,3x)f(xf(x)，对任意正实数，对任意正实数a a，则下列式子成立的，则下列式子成

4、立的是是()()(A)f(aA)f(a)e ea af(0)(B)f(a)f(0)(B)f(a)e ea af(0)f(0)(C)f(aC)f(a)(D)f(a)(D)f(a)(2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考)设设f(xf(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,ba,b为常数为常数)，曲线，曲线y=y=f(xf(x)与直线与直线 在在(0,0)(0,0)点相切点相切.求求a,ba,b的值的值;证明证明:当当0 x20 x2时，时，f(xf(x)00，g(xg(x)在在R R上为增函数，又上为增函数，又a0.a0.g(ag(a)g(

5、0)g(0)，即，即即即f(af(a)e)ea af(0).f(0).(2)(2)由由y yf(xf(x)过过(0,0)(0,0)点，得点，得b b1.1.由由y yf(xf(x)在在(0,0)(0,0)点的切线斜率为点的切线斜率为又又得得a a0.0.方法一：方法一：由基本不等式，当由基本不等式，当x x0 0时，时，x x1 11 1x x2 2，故故记记h(xh(x)则则令令g(xg(x)(x(x6)6)3 3216(x216(x1)1)，则当，则当0 0 x x2 2时，时，g(xg(x)3(x3(x6)6)2 22162160.0.因此因此g(xg(x)在在(0,2)(0,2)内是减

6、函数，又由内是减函数，又由g(0)g(0)0 0，得，得g(xg(x)0 0，所以，所以h(xh(x)0.0.因此因此h(xh(x)在在(0,2)(0,2)内是减函数，又内是减函数，又h(0)h(0)0 0，得，得h(xh(x)0.0.于是当于是当0 0 x x2 2时，时，f(xf(x)f(bf(b)的形式的形式.(2)(2)对形如对形如f(xf(x)g(xg(x),),构造函数构造函数F(xF(x)=)=f(x)-g(xf(x)-g(x).).(3)(3)对于对于(或可化为或可化为)f(x)f(x1 1,x,x2 2)A)A的不等式的不等式,可选可选x x1 1(或或x x2 2)为主元为

7、主元,构造函数构造函数f(x,xf(x,x2 2)()(或或f(xf(x1 1,x).,x).【提醒提醒】解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出导之后得出f(xf(x)g(x)g(x)f(xf(x)g(xg(x)的错误结论的错误结论.2.2.利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)(1)作差或变形作差或变形.(2)(2)构造新的函数构造新的函数h(xh(x).).(3)(3)对对h(xh(x)求导求导.(4)(4)利用利用h(xh(x)判断判断h(xh(x)的单调性或最值的单调性或最值.(5)(5)结论结论.

8、【变式训练变式训练】设设a a为实数为实数,函数函数f(xf(x)=e)=ex x-2x+2a,xR.-2x+2a,xR.(1)(1)求求f(xf(x)的单调区间与极值的单调区间与极值.(2)(2)求证求证:当当aln2-1aln2-1且且x0 x0时时,e,ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.【解析解析】(1)(1)由由f(xf(x)=e)=ex x-2x+2a,xR-2x+2a,xR知知f(xf(x)=e)=ex x-2,xR.-2,xR.令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=ln2,x=ln2,于是当于是当x x变化时变化时,f(x),f(xf(x),f(x)的变化情况的变化

9、情况如表如表.x x(-,ln2)(-,ln2)ln2ln2(ln2,+)(ln2,+)f(xf(x)-0 0+f(xf(x)单调递减单调递减2(1-ln2+a)2(1-ln2+a)单调递增单调递增故故f(xf(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,ln2),(-,ln2),单调递增区间是单调递增区间是(ln2,+),(ln2,+),f(xf(x)在在x=ln2x=ln2处取得极小值处取得极小值,极小值为极小值为2(1-ln2+a).2(1-ln2+a).(2)(2)设设g(xg(x)=e)=ex x-x-x2 2+2ax-1,xR,+2ax-1,xR,于是于是g(xg(x)=e)=ex

10、x-2x+2a,xR.-2x+2a,xR.由由(1)(1)知当知当aln2-1aln2-1时时,g(xg(x)的最小值为的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意于是对任意xRxR,都有都有g(xg(x)0,)0,所以所以g(xg(x)在在R R内单调递增内单调递增.于是当于是当aln2-1aln2-1时时,对任意对任意x(0,+),x(0,+),都有都有g(xg(x)g(0).)g(0).而而g(0)=0,g(0)=0,从而对任意从而对任意x(0,+),g(x)0.x(0,+),g(x)0.即即e ex x-x-x2 2+2ax-10,+

11、2ax-10,故故e ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.考向考向 3 3 利用导数研究函数的零点利用导数研究函数的零点【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013台州模拟台州模拟)方程方程x x3 3-3x=k-3x=k有有3 3个不等的实根个不等的实根,则常数则常数k k的取值范围是的取值范围是.(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考)已知函数已知函数f(xf(x)=)=axsinxaxsinx-(-(aRaR),),且在且在0,0,上的最大值为上的最大值为 ,求函数求函数f(xf(x)的解析式的解析式;判断函数判断函数f(xf(x)在在(0,)(0,)内的零点个

12、数内的零点个数,并加以证明并加以证明.【思路点拨思路点拨】(1)(1)设设f(xf(x)=x)=x3 3-3x-k,-3x-k,利用导数求出利用导数求出f(xf(x)的极值的极值,由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解.(2)(2)利用导数求出利用导数求出f(xf(x)在在0,0,的最大值的最大值,据此求出据此求出a a的值的值;先根据零点存在性定理先根据零点存在性定理,判断出根的存在情况判断出根的存在情况,再利用函数再利用函数的单调性证明的单调性证明.【规范解答规范解答】(1)(1)设设f(xf(x)=x)=x3 3-3x-k,-3x-k,则则f

13、(xf(x)=3x)=3x2 2-3,-3,令令f(xf(x)=0)=0得得x=x=1,1,且且f(1)=-2-k,f(-1)=2-k,f(1)=-2-k,f(-1)=2-k,又又f(xf(x)的图象与的图象与x x轴有轴有3 3个交点个交点,故故 -2k2.-2k2.答案答案:(-2,2)(-2,2)(2)(2)由已知由已知f(xf(x)a(sinxa(sinxxcosxxcosx)，对于任意对于任意x(0 x(0，)，有，有sinxsinxxcosxxcosx0.0.当当a a0 0时，时，f(xf(x)，不合题意；，不合题意；当当a a0 0，x(0 x(0，)时，时，f(xf(x)0

14、0，从而，从而f(xf(x)在在(0(0，)内单内单调递减，调递减，又又f(xf(x)在在0 0，上的图象是连续不断的，故上的图象是连续不断的，故f(xf(x)在在0 0，上的最大值为上的最大值为f(0)f(0)，不合题意；，不合题意；当当a a0 0，x(0 x(0，)时，时，f(xf(x)0 0，从而，从而f(xf(x)在在(0(0，)内单内单调递增，又调递增，又f(xf(x)在在0 0，上的图象是连续不断的，故上的图象是连续不断的，故f(xf(x)在在0 0，上的最大值为上的最大值为f()f()，即，即 ，解得，解得a a1.1.综上所述，得综上所述，得f(xf(x)xsinxxsinx

15、 .f(xf(x)在在(0(0，)内有且只有两个零点内有且只有两个零点.理由如下：理由如下：由由知，知，f(xf(x)xsinxxsinx ，从而有，从而有f(0)f(0)0.0.0 0，又又f(xf(x)在在0 0，上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的.所以所以f(xf(x)在在(0(0，)内至少存在一个零点内至少存在一个零点.又由又由知知f(xf(x)在在0 0，上单调递增，故上单调递增，故f(xf(x)在在(0(0，)内有内有且仅有一个零点且仅有一个零点.当当xx ，时，令时，令g(xg(x)f(xf(x)sinxsinxxcosxxcosx.由由g()g()1 10 0，g(g()

16、0 0，且，且g(xg(x)在在 ，上的上的图象是连续不断的，故存在图象是连续不断的，故存在m(m(，)，使得，使得g(mg(m)0.0.由由g(xg(x)2cosx2cosxxsinxxsinx，知，知x(x(，)时，时，有有g(xg(x)0 0，从而从而g(xg(x)在在(，)内单调递减内单调递减.当当x(x(，m)m)时，时，g(xg(x)g(mg(m)0 0，即，即f(xf(x)0 0，从而，从而f(xf(x)在在(，m)m)内单调递增，内单调递增，故当故当xx ，m m时，时，f(x)ff(x)f()()0 0，故故f(xf(x)在在 ，m m上无零点；上无零点；当当x(mx(m，)

17、时，有时，有g(xg(x)g(mg(m)0 0，即，即f(xf(x)0 0，从而，从而f(xf(x)在在(m(m，)内单调递减内单调递减.又又f(mf(m)0 0，f(f()0 0，且，且f(xf(x)在在m m，上的图象是连续不上的图象是连续不断的，从而断的，从而f(xf(x)在在(m(m，)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.综上所述，综上所述，f(xf(x)在在(0(0，)内有且只有两个零点内有且只有两个零点.【互动探究互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中中,若改为若改为“方程只有一个实数根方程只有一个实数根”,其他条件不变其他条件不变,求求k k的取值范围的取值范围.【解析解析】

18、要使原方程只有一个实数根要使原方程只有一个实数根,只需只需2-k02-k0,-2-k0,解解得得k2k2或或k-2,k0).+cx+d(a0).则则f(xf(x)=3ax)=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.方程方程f(xf(x)=0)=0的判别式的判别式=(2b)=(2b)2 2-12ac,-12ac,(1)0(1)0即即b b2 23ac3ac时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,f(xf(x)在在R R上为增函数上为增函数,结合函数结合函数f(xf(x)的图象知的图象知,方程方程f(xf(x)=0)=0有唯一一个实根有唯一一个实根.(2)(2)当当00即即b b2 23ac3a

19、c时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有两个实根有两个实根,设为设为x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xm).m).当当m0m0时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有唯一一个实根有唯一一个实根;当当m=0m=0时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有两个实根有两个实根;当当m0m0时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有三个实根有三个实根;当当M=0M=0时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有两个实根有两个实根;当当M0M0时时,方程方程f(xf(x)=0)=0有一个实根有一个实根.【变式备选变式备选】(2013(2013安庆模拟安庆模拟)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3

20、 3-3ax-1,a0.-3ax-1,a0.(1)(1)求求f(xf(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)若若f(xf(x)在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值,直线直线y=my=m与与y=y=f(xf(x)的图象有三个的图象有三个不同的交点不同的交点,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)f(x)=3x(1)f(x)=3x2 2-3a=3(x-3a=3(x2 2-a),-a),当当a0a0,)0,故当故当a0a0a0时时,由由f(xf(x)0)0解得解得x-x ;x ;由由f(xf(x)0)0解得解得-x ,-x0a0时时,f(xf(x)的单调递增区间为的单调递增区

21、间为(-,-),(,+);(-,-),(,+);f(xf(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(-,).(-,).(2)(2)因为因为f(xf(x)在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值,所以所以f(-1)=3f(-1)=3(-1)(-1)2 2-3a=0,a=1.-3a=0,a=1.所以所以f(xf(x)=x)=x3 3-3x-1,f(x)=3x-3x-1,f(x)=3x2 2-3,-3,由由f(xf(x)=0)=0解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1.=1.由由(1)(1)中中f(xf(x)单调性可知单调性可知,f(xf(x)在在x=-1x=-1处取得极大值处取得极大值f(

22、-1)=1,f(-1)=1,在在x=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.f(1)=-3.因为直线因为直线y=my=m与函数与函数y=y=f(xf(x)的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点,结合结合f(xf(x)的单调性可知的单调性可知,m,m的取值范围是的取值范围是(-3,1).(-3,1).【满分指导满分指导】导数综合问题的规范解答导数综合问题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012山东高考山东高考)已知函数已知函数f(xf(x)=)=(k(k为常数为常数,e=2.718 28,e=2.718 28是自然对数的底数是自然对数的底数),),曲线曲线y=

23、y=f(xf(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行.(1)(1)求求k k的值的值.(2)(2)求求f(xf(x)的单调区间的单调区间.(3)(3)设设g(xg(x)=(x)=(x2 2+x)f(x),+x)f(x),其中其中f(xf(x)为为f(xf(x)的导函数，证明：的导函数，证明：对任意对任意x x0 0，g(xg(x)1+e1+e-2-2.【思路点拨思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析曲线曲线y=y=f(xf(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴轴平行平行得出得出f(1)=0f(1)=0即可求出即可求出k

24、 k的值的值求出求出f(xf(x)及及f(xf(x)=0)=0的根的根,再再判断判断f(xf(x)的符号的符号g(xg(x)=(x)=(x2 2+x)f(x)+x)f(x)直接求直接求g(xg(x)的最值困难，可对的最值困难，可对g(xg(x)放缩后，再求最值放缩后，再求最值.【规范解答规范解答】(1)(1)f(xf(x)=)=2 2分分由曲线由曲线y=y=f(xf(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行可知轴平行可知解得解得k=1.k=1.3 3分分(2)f(x)=x(0,+)(2)f(x)=x(0,+)，令令f(xf(x)=0)=0可得可得x=1x=1，4

25、 4分分当当0 x10 x1x1时，时，于是于是f(xf(x)在区间在区间(0(0，1)1)上为增函数；在上为增函数；在(1(1，+)+)上为减函数上为减函数.6 6分分(3)g(x)=(x(3)g(x)=(x2 2+x)f(x)=x(0,+)+x)f(x)=x(0,+)，因此，对任意因此，对任意x0,x0,7 7分分令令h(xh(x)=1-x-xln x,x(0,+),)=1-x-xln x,x(0,+),则则h(xh(x)=-)=-lnln x-2=-(x-2=-(lnln x-lnx-ln e e-2-2),x(0,+),),x(0,+),因此，当因此，当x(0,ex(0,e-2-2)时

26、，时，h(xh(x)0,h(x)0,h(x)单调递增；单调递增；当当x(ex(e-2-2,+),+)时，时，h(xh(x)0,h(x)0,)0,(x)(x)单调递增单调递增,(x(x)(0)=0,(0)=0,故故x(0,+)x(0,+)时，时，(x(x)=e)=ex x-(x+1)0,-(x+1)0,即即 11 11分分所以所以因此，对任意因此，对任意x0,g(x)0,g(x)0.a0.(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)若对任意的若对任意的xx0,+)0,+)，有，有f(x)kxf(x)kx2 2成立，求实数成立，求实数k k的最的最小值小值.(3)(3)证明证明 2(nN1,f(2

27、)=2,f(x)1,则不等式则不等式f(x)-xf(x)-x00的解集为的解集为.【解析解析】令令g(xg(x)=)=f(x)-x,g(xf(x)-x,g(x)=f(x)-1,)=f(x)-1,由题意知由题意知g(xg(x)0,g(x)0,g(x)为增函数为增函数,g(2)=f(2)-2=0,g(x)0g(2)=f(2)-2=0,g(x)0的解集为的解集为(2,+).(2,+).答案答案:(2,+)(2,+)2.2.已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+d(b,c,d+cx+d(b,c,d为常数为常数),),当当k(-,0)k(-,0)(4,+)(4,+)时时

28、,f(x)-kf(x)-k=0=0只有一个实根只有一个实根;当当k(0,4)k(0,4)时时,f(x)-kf(x)-k=0=0有有3 3个相异实根个相异实根,现给出下列四个命题现给出下列四个命题:f(x)-4=0f(x)-4=0和和f(xf(x)=0)=0有一个相同的实根有一个相同的实根;f(xf(x)=0)=0和和f(xf(x)=0)=0有一个相同的实根有一个相同的实根;f(x)-3=0f(x)-3=0的任一实根大于的任一实根大于f(x)-1=0f(x)-1=0的任一实根的任一实根;f(x)+5=0f(x)+5=0的任一实根小于的任一实根小于f(x)-2=0f(x)-2=0的任一实根的任一实

29、根.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是.【解析解析】由题意知由题意知0 0和和4 4为函数的极值为函数的极值,设设f(xf(x)=0)=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2,且且x x1 1xx2 2,则则f(xf(x)在在x x1 1处取极大值处取极大值,在在x x2 2处取极小值处取极小值,故故f(xf(x1 1)=4,f(x)=4,f(x2 2)=0.)=0.由此作出由此作出f(xf(x)的草的草图图,如图所示如图所示.结合图象可知结合图象可知,正确正确.答案答案:3.3.设设a a0 0，函数，函数f(xf(x)=x+,g(x)=)=x+,g(x)=x-lnx-ln x

30、x，若对任意的，若对任意的x x1 1，x x2 21,e1,e,都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2)成立，则实数成立，则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】只需满足只需满足f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax即可即可.g(xg(x)=1-0,)=1-0,所以函数所以函数g(xg(x)在在1,e1,e上为增函数，上为增函数，g(x)g(x)maxmax=g(eg(e)=e-1.)=e-1.由由f(xf(x)=1-=0)=1-=0，得，得x=a.x=a.当当0 0a1a1时，函数时，函数f(xf(x)在在1,e1,e上为增函数上为增函数,此时此时f(x)f(x)minmin=f(1)=a=f(1)=a2 2+1,+1,解解 得得 a1;a1;当当1 1aeae时，函数时，函数f(xf(x)在在(1,a)(1,a)上为减函数，在上为减函数，在(a,ea,e)上为上为增函数增函数,此时此时f(x)f(x)minmin=f(af(a)=2a,)=2a,解解 得得1 1aeae;当当a ae e时，函数时，函数f(xf(x)在在1,e1,e上为减函数，上为减函数，此时此时f(x)f(x)minmin=f(ef(e)=e+)=e+，解，解 得得a ae.e.综上综上,a .,a .答案答案:a a