微积分10 多元函数的概念、极限与连续.ppt

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1、第一节第一节 多元函数的概念、极限与连续多元函数的概念、极限与连续 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续例例1 1 圆柱体的体积 和它的底半径,高 之间的关系为 ,其中、是三个变量,当变量 、在一定范围（，）内取定一对数值 时,根据给定的关系，就有一个确定的值 与之对应.例例2 2 电路中电流强度,电压 和电阻 之间满足 关系式 ,其中 是三个变量,当变量 在一定范围()内取定一对数值 时，根据给定的关系 ,就有一个确定的值 与之对应 1.1.引例引例一、多元函数的概念一、多元函数的概念 2.2.二元函数的定义二元函数的定义定义1 设 是三个变

2、量.如果当变量 在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对应,则称变量 是变量 的二元函数,记为其中 称为自变量,称为因变量.自变量 的取值范围称为函数的定义域二元函数在点 所取得的函数值记为 ，或 例例 设求解解表示数轴上点,则一元函数可以表示为;数组表示空间一点称为点若所以三元函数可表示为的坐标以点为点表示自变量的函数称为点函数这样不论是一元函数还是多元函数都可统一地表示的函数 3.3.二元函数的定义域二元函数的定义域 二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区

3、域；围成区域的曲线称为该区域的边界;不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域以点 为中心，为半径的圆内所有点的集合 称为点 的 邻域，记作 如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域开区域开区域 如如:闭区域闭区域 如如:例例4 4 求下列函数的定义域，并画出的图形 (1)解解 要使函数有意义，应有即定义域为有界开区域（2）解：要使函数有意义，应有 即定义域为无界闭区域设 是二元函数 的定义域 内的任一点,则相应的函数值为,有序数组 确定了空间一点 ,称点集为二元函数的图形.二元函数 的图形通常是一张曲面.4.4.二元函数的几何意义二元函数

4、的几何意义当1 1二元函数的极限二元函数的极限邻域内有定义（点定义2 设二元函数在点可以除外）,如果当点沿任意路径趋于点时,函数趋于常数,那么称为函数的某一总无限AA时的极限，记为或二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续说明：说明：（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。xyoP0例例5 5 求极限 解解:其中其中例例6 6证明 不存在 证：证：其值随k的

5、不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：（1）令点 沿趋向于极限值与 有关，则在点处极限不存在;，若（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在2 2二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3 3 设函数在点的某一邻域内 ,则称函数在点如果函数在区域内每一点都连续,则在区域如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.有定义.如果内连续.处连续.称函数例例7 7 求解解 因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故例例8 8 讨论函数 的连续性时，为初等函数,故函数在点处连续.当不存在,所以函数在点处不连续，即原点是函数的间解 当断点时,由

6、例5知3 3有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质性质性质1 1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质性质2 2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数一、偏导数 二、高阶偏导数二、高阶偏导数1.1.偏导数的定义偏导数的定义 在点定义定义 设函数的某邻域内有定义,而 在 取得增量时,函数相应取得如果极限存在,在点处对或增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数一、偏导数 类似地,函数在点处对记为 或偏导数定义为:的2.2.偏导数的

7、求法偏导数的求法例例1:1:求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解解 把 y 看成常数,得把 x 看成常数,得例例2 2求函数的偏导数解解:例例3 3 设,证明:证证 因为 所以例例4:4:已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证证:因为求证求证:所以=1偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误例例5:5:求在点(0,0)处的偏导数.解解:=0 注意注意:二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的3.3.偏导数的几何意义是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对二、高阶偏导数二

8、、高阶偏导数函数它们都是的函数,如果这两个函的偏导数也存在,则称它们的偏导数的二阶偏导数 数关于 是的二个偏导数四个二阶偏导数二阶混合偏导数 类似地,可定义三阶、四阶以至 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 和 称为函数的一阶偏导数 例例6 6:设 z=x3 y2 3 xy3xy+1,解解:及求 定理定理如果函数的两个二阶混合偏导在区域内连续,则对任何有数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论例例7 7 设函数，求解解，一、全微分的定义一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用第三节第三节 全微分全

9、微分当边长当 其中记,宽为称为函数,则面积一矩形金属片,长为分别有增量时,面积的增量为的全增量，时,即,且时，是比高阶的无穷小.则,，从而有1、引例、引例一、一、全微分的定义全微分的定义2.2.全微分全微分的定义的定义定义定义 设函数在点的某邻域内有定义,且、存在,如果在点处的全增量可表示为其中,则称为函数在点处的全微分，记作由定义可知：(1)如果函数处的两个偏导数在点处可微，则在该点、必都存在(2)函数在点处可微,则函数在点处连续(3)规定自变量的增量等于自变量的微分，即,则全微分又可记为注注:若z=f(x,y)在(x,y)处,z=f(x,y)在(x,y)处可微分.都存在,不能保证在处,但它

10、在处不可微分.例如：在点定理定理1 1(充分条件)如果函数的两个处存在且连续,则函数处必可微例例 求函数的全微分解解偏导数在点注注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.解解例例：计算的全微分例例:求 z=x4 y3+2x 在点(1,2)的全微分.解解 dz=34dx+12dy 极限,连续,偏导存在,可微的关系:极限连续偏导存在可微+连续二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用设函数在点处可微，当分别取得增量时，从而解解 可看作函数例例4 4 求的近似值在的函数值.取第四节第四节 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数

11、的微分法 一、多元复合函数微分 二、隐函数微分法 定理定理(复合函数的偏导数),在对应点在点处有偏导数,处有连续偏导数,在点处的偏导数存在,且设函数函数则复合函数一、一、多元复合函数微分多元复合函数微分 例例1 1 设,而,求,解解情形1：,在求多元复合函数的偏导数时，常用图示法表达变量之间的关系 链式图设情形2：,全导数链式图 设复合函数的中间变量既有一元函数，又有,链式法则 多元函数的情形,设链式图 情形3：注意,链式图链式法则设例例2 2 设函数,其中,求解解,例例3 3 设,而,求解解例例4 4 设,求解解 令，则,1.1.一元隐函数求导公式一元隐函数求导公式方程 链式图 两边对x求导

12、，得：二、隐函数微分法二、隐函数微分法 方程 得 两边对x求导：两边对y求导：得 ，2.2.二元隐函数求导公式二元隐函数求导公式例例5 5 求方程所确定的隐函数的导数解解 设,则例例7 7 求由所确定的二元隐函数的偏导数当解解 令,则时,有第五节第五节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 空间曲线 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 对应于的一点 切线方程为向量是曲线在点处的切线的方向向量.若过点线在点且垂直于曲线在该点的切线的平面称为曲的法平面，则法平面的方程为例例1

13、1 求螺旋线上对应于点处的切线与法平面方程解解 因为所以在处的切向量为切点坐标为于是，螺旋线在点处的切线方程为即即法平面方程为例例2 2 求曲线处的切线与法平面方程在点解解 将看成参数,曲线的参数方程为点的切线的方向向量为 在所以曲线在点即处的切线方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线曲面若过曲面上的点且在曲面上的任何曲线在点则称该平面为曲面 在点处的切平面,直于切平面的直线，称为曲面 在点处的法线.处的切线均在同一个平面上，且垂切平面方程为曲面 在点处的法线方程为过点例例3 3 求圆锥面在点处的切平面及法线方程解解 设,因为因此，圆锥面在点即 即处的切平面方程为法线方

14、程例例4 4 求球面上平行于平面的切平面方程解解 令则切点为过的切平面方程为即因为它与平面平行,所以解得又因为点在球面上，所以有即解得,于是点的坐标为所求切平面方程为第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值 一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值三、条件极值三、条件极值 一、二元函数的极值一、二元函数的极值,点为极大值点,为极大值定义定义：设函数 在点定义，若该邻域内 的某个邻域内有,点为极小值点,为极小值（亦称点 为驻点）定理定理1 1（极值的必要条件）:若函数 在点有极值，且 在点偏导数存在,则 该点的偏导数必为零定理定理2 2（极值

15、存在的充分条件）:设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令则(1)当时,点）时,点是极值点,且（i）当（或）时,点是极大值点；(ii)当（或是极小值点.()当()当时,点不是极值点 时,点不是极值点可能是极值点也可能（2）解方程组得驻点及例例1 1 求函数的极值解:（1）求偏导数结论:在处,在处,取得极大值 函数在处无极值函数在注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别求出各点处的函数值,比较其大小即可.例例2

16、 2 在坐标面上找一点使它到三点的距离平方和为最小解解 设为面上的任一点,则到三点距离的平方和为求 的偏导数，有解方程组得驻点由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点一定存在,又只有一个驻点,因此即为所求点三、条件极值三、条件极值 （1）条件极值 无条件极值 （2）条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）。求函数在约束条件下的极值，其步骤为：(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组得可能极值点构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积例例8 8 求表面积为则长方体体积解解 设长方体长、宽、高分别为约束条件为即 为,解联立方程组解得因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知