微积分学PPt标准课件37-第37讲线性微分方程解的结构.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第三十讲第三十讲第三十讲第三十讲 一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用(六六六六)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降

2、阶法：n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为阶线性方程的一般形式为二阶

3、线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为通常称通常称(2)为为(1)的相对应的齐方程。的相对应的齐方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至自然推广至 n 阶线性方程中。阶线性方程中。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解，你打算怎么证明这个原理？证证的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。推推推推 广广广广在什么情况下，叠加所得可以成为方程在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？的通解？(2)线性无关、线性相关线性无关、线

4、性相关 例证证由三角函数知识可知，这是不可能的，故由三角函数知识可知，这是不可能的，故 例证证朗斯基朗斯基(Wronsky)行列式行列式朗斯基行列式可以推广到朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。个函数的情形。例(3)二阶齐线性微分方程解的结构二阶齐线性微分方程解的结构定理定理定理定理 1 1的两个线性无关的解，则的两个线性无关的解，则是方程是方程(2)的通解。的通解。定理定理定理定理 2 2 例解解又容易看出：又容易看出：而而由叠加原理，原方程的通解为由叠加原理，原方程的通解为问题：问题：该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问

5、题的解决归功于数学家刘维尔。代入方程中，得代入方程中，得怎么做？怎么做？关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程即即故有故有两边积分，得两边积分，得关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程刘维尔公式刘维尔公式为原方程的通解。为原方程的通解。则则 例解解由刘维尔公式由刘维尔公式故原方程的通解为故原方程的通解为2.二阶非齐线性微分方程解的结构二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质解的性质性质性质性质性质 1 1的一个特解，则的一个特解，则是原方程的一个特解。是原方程的一个特解。性质性质性质性质 2 2的一个特解，则的一个特解，则是方程是方程的一个特解。的一个特解。性质性质性质性质 3 3是

6、其对应的齐方程是其对应的齐方程的一个特解。的一个特解。性质性质性质性质 4 4的一个特解。的一个特解。可以直接验证性质可以直接验证性质1性质性质4。如何求特解？如何求特解？如何求特解？如何求特解？定理定理定理定理 3 3的通解，则的通解，则是方程是方程(1)的通解。的通解。由性质由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。以及通解的概念立即可以得知该定理成立。常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法常常常常数数数数变变变变易易易易法法法法常常常常数数数数变变变变易易易易法法法法则有则有令令以下推导的前提以下推导的前提以下推导的前提以下推导的前提于是于是对上式两边关于对上式两边关于 x 求导

7、，得求导，得 这两部分这两部分为零。为零。即即联立联立(3)、(4)构成方程组构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 例解解该方程所对应的齐方程为该方程所对应的齐方程为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组由常数变易法，解方程组两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解故原方程有一特解从而，原方程的通解为从而，原方程的通解为 在这一节中所讲述的理论均可推广到在这一节中所讲述的理论均可推广到 n 阶线性微分方程中去。阶线性微分方程中去。参考书：参考书：北京大学、复旦大学、中山大学等编写的北京大学、复旦大学、中山大学等编写的常微分方程教材常微分方程教材