高一数学必修二课件第三章 第六节简单的三角恒等变换.ppt

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1、第六节 简单的三角恒等变换1.1.半角公式半角公式2sin2sin2 22cos2cos2 222【解析解析】(1)(1)错误错误.在第一象限时，在第一象限时，在第一或第三象限在第一或第三象限.当当 在第一象限时，在第一象限时，当当 在第三象限时，在第三象限时，(2)(2)错误错误.此式子必须使此式子必须使 有意义且有意义且1+cos 0.1+cos 0.即即 且且2k+,2k+,即即(2k+1)(kZ).(2k+1)(kZ).2.2.辅助角公式辅助角公式asin x+bcos x=_sin(x+asin x+bcos x=_sin(x+)，判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中

2、打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)当当是第一象限角时，是第一象限角时，()()(2)(2)对任意角对任意角，都成立都成立.().()(3)(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的的.().()(4)(4)公式公式asin x+bcos x=sin(x+asin x+bcos x=sin(x+)中中的取值与的取值与a,ba,b的值无关的值无关.().()(3)(3)正确正确.由半角公式推导过程可知正确由半角公式推导过程可知正确.(4)(4)错误错误.由由 可知可知的取值与的取值与a,ba,b的值有关的值有关.答

3、案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(4)(3)(4)1.1.已知已知cos=(,2)cos=(,2)，则，则 等于等于()()【解析解析】选选B.(,2)B.(,2)，2.2.已知已知 等于等于()()【解析解析】选选A.A.=2+2tan=3.=2+2tan=3.3.3.若若sin(+)=a,sin(+)=a,则则cos(-)cos(-)等于等于()()(A)-a (B)a (C)1-a (D)1+a(A)-a (B)a (C)1-a (D)1+a【解析解析】选选B.B.4.4.函数函数f(x)=sin x-cos xf(x)=sin x-cos x的值域是的值域是_._.【解析解析】由

4、已知得由已知得答案答案:-2,2-2,25.5.计算计算:=_.:=_.【解析解析】原式原式答案答案:考向考向 1 1 三角函数式的化简问题三角函数式的化简问题【典例典例1 1】(1)(1)化简：化简：(2)=_.2)=_.(2)(2)化简：化简：【思路点拨思路点拨】(1)(1)分子左边利用倍角公式、分母利用半角公式分子左边利用倍角公式、分母利用半角公式升幂，整理后可解升幂，整理后可解.(2)(2)利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解.【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：原式方法一：原式方法二：原式方法二：原式=下同方法一下同方法一.答案答案

5、:cos cos【拓展提升拓展提升】三角函数式化简的原则、要求及方法三角函数式化简的原则、要求及方法(1)(1)化简原则化简原则:一是统一角，二是统一函数名一是统一角，二是统一函数名.能求值的则求值能求值的则求值.(2)(2)化简要求：化简要求：能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数.(3)(3)化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒提醒】同角三角函

6、数关系式和诱导公式在化简中经常应用，同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是特别是“1 1”的代换经常用到的代换经常用到.【变式训练变式训练】化简：化简：【解析解析】考向考向 2 2 三角函数的求值与求角问题三角函数的求值与求角问题【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013威海模拟威海模拟)若若则则tan 2+=_.tan 2+=_.(2)(2)已知已知sin=+cos,sin=+cos,且且(0,)(0,)，则，则的值为的值为_._.(3)(2013(3)(2013兰州模拟兰州模拟)已知已知且且0 0 则则=_.=_.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将所求式子将所求式子“

7、切化弦切化弦”，通过应用倍角公式，通过应用倍角公式展开，再展开，再“弦化切弦化切”可解可解.(2)(2)将已知条件变形，求得将已知条件变形，求得sin-cos sin-cos 与与sin+cos sin+cos，将所求式子应用公式展开代入即可求解将所求式子应用公式展开代入即可求解.(3)(3)构造角构造角“=-(-)=-(-)”从而可解从而可解.【规范解答规范解答】故所求式子故所求式子=2 012.=2 012.答案答案:2 0122 012答案答案:sin=sinsin=sin-(-)-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=sin cos(-)-cos sin(-)答案答案:【

8、互动探究互动探究】本题本题(1)(1)中若将中若将 改为改为 如何求解如何求解 呢？呢？【解析解析】由已知得由已知得【拓展提升拓展提升】1.1.三角函数式求值的类型和思路三角函数式求值的类型和思路(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型分为直接求值和条件求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值；简变形求得三角函数式的值；条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围得所需要的值

9、，同时注意所给角的范围.(2)(2)条件求值的一般思路条件求值的一般思路先化简所求式子或已知条件先化简所求式子或已知条件;观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入从三角函数名及角入手手););将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子,化简求值化简求值.2.2.三角函数式给值求角的注意点三角函数式给值求角的注意点一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角，一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角，二是涉及的角的范围要确定准二是涉及的角的范围要确定准.【变式备选变式备选】已知已知,(),()，且，且tan,tan tan,tan

10、 是方程是方程x x2 2+x+4=0+x+4=0的两个根，求的两个根，求+的值的值.【解析解析】由根与系数的关系得：由根与系数的关系得：考向考向 3 3 asin x+bcos x=sin(x+asin x+bcos x=sin(x+)的应用的应用【典例典例3 3】设设aR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cosaR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2 2(-x)(-x)满足满足f()=f(0).f()=f(0).(1)(1)求求f(x)f(x)的解析式的解析式.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小

11、值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将将f(x)f(x)的关系式展开合并再利用的关系式展开合并再利用f()=f()=f(0)f(0)可求可求a a，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从而，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从而得得f(x)f(x)的解析式的解析式.(2)(2)利用利用x x的范围及函数单调性求最值的范围及函数单调性求最值.【规范解答规范解答】(1)f(x)=asin xcos x-cos(1)f(x)=asin xcos x-cos2 2x+sinx+sin2 2x x=sin 2x-cos 2x.=sin 2x-cos 2x.【拓展提升拓展提升】asin x+bcos

12、 x=sin(x+asin x+bcos x=sin(x+)在解决三角在解决三角函数性质问题中的应用函数性质问题中的应用(1)(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为三角函数性质的讨论，可通过变形为asin x+bcos xasin x+bcos x=sin(x+=sin(x+)()(其中其中tan tan=)=)的形式去讨论的形式去讨论.这样的变形，这样的变形，主要是主要是角的确定角的确定.(2)(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的

13、性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质从而影响函数的值域和周期等性质.【提醒提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当当为特殊为特殊角，即角，即 时要熟练掌握时要熟练掌握.对对是非特殊角时是非特殊角时,只要求会求最值即可只要求会求最值即可.【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=sinf(x)=sin2 2x+sin xsin(x+)x+sin xsin(x+)(0)(0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求求的值的值.(2)(2)

14、求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围.【解析解析】【满分指导满分指导】三角函数综合题的规范解答三角函数综合题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012北京高考北京高考)已知函数已知函数f(x)=f(x)=(1)(1)求求f(x)f(x)的定义域及最小正周期的定义域及最小正周期.(2)(2)求求f(x)f(x)的单调递增区间的单调递增区间.【思路点拨思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析分母是分母是sin xsin x令令sin x0sin x0得定义域得定义域sin 2xsin 2x可利用倍角公式可利用倍角公式sin 2xsin 2x=2s

15、in xcos x=2sin xcos x利用公式整理化成一个角的利用公式整理化成一个角的三角函数三角函数【规范解答规范解答】(1)(1)由由sin x0sin x0得，得，xk,kZxk,kZ，所以定义域所以定义域为为x|xk,kZ.x|xk,kZ.3 3分分 5 5分分所以所以f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期 8 8分分(2)(2)令令其中其中kZkZ，1010分分所以单调递增区间为所以单调递增区间为 1212分分【失分警示失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013娄底模拟娄底模拟)已知锐角已知锐角满足满足则则sin 2sin 2等于等于()()

16、(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选A.A.coscos2 2-sin-sin2 2=(cos-sin)(cos-sin)2 2=1-sin 2=1-sin 2=sin 2=sin 2=2.(20132.(2013长沙模拟长沙模拟)已知函数已知函数f(x)=sin x-cos x,xR,f(x)=sin x-cos x,xR,若若f(x)1f(x)1，则，则x x的取值范围为的取值范围为()()(A)x|k+xk+,kZ(A)x|k+xk+,kZ(B)x|2k+x2k+,kZ(B)x|2k+x2k+,kZ(C)x|k+xk+kZ(C)x|k+xk+kZ(D)x|2k

17、+x2k+kZ(D)x|2k+x2k+kZ【解析解析】选选B.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=sin x-cos x3.(20133.(2013洛阳模拟洛阳模拟)化简化简:=_.=_.【解析解析】答案答案:2 24.(20134.(2013唐山模拟唐山模拟)已知已知,均为锐角，且均为锐角，且tan=tan=则则tan(+)=_.tan(+)=_.【解析解析】即即tan+tan tan=1-tan,tan+tan tan=1-tan,即即tan+tan=1-tan tan,tan+tan=1-tan tan,即即tan(+)=1.tan(+)=1.答案答案:1 15.(20125.

18、(2012天津高考天津高考)已知函数已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos+2cos2 2x-1x-1，xR.xR.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.【解析解析】(1)f(x)=sin 2x(1)f(x)=sin 2xcos +cos 2xcos +cos 2xsin +sin +sin 2xsin 2xcos -cos 2xcos -cos 2xsin +cos 2xsin +cos 2x所以所以f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期1.1.已知已知a=(sin x,cos x),=(sin x,cos x),b=(sin x,sin x),f(x)=(sin x,sin x),f(x)=ab，则，则f(x)f(x)在在xx0,0,的最大值与最小值的差等于的最大值与最小值的差等于()()【解析解析】选选B.B.由由f(x)=f(x)=ab=2.2.函数函数 的图象的图象()()(A)(A)关于原点对称关于原点对称(B)(B)关于关于y y轴对称轴对称(C)(C)关于点关于点(0)(0)对称对称(D)(D)关于直线关于直线 对称对称【解析解析】选选D.D.