微积分基础参考资料.ppt

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1、2023年5月29日上海交通大学继续教育学院1微微微微 积积积积 分分分分 基基基基 础础础础 使用教材：高等数学使用教材：高等数学使用教材：高等数学使用教材：高等数学使用教材：高等数学使用教材：高等数学(经管类经管类经管类经管类经管类经管类)上册上册上册上册上册上册212121世纪高职高专规划教材世纪高职高专规划教材世纪高职高专规划教材世纪高职高专规划教材世纪高职高专规划教材世纪高职高专规划教材主讲教师：王培康主讲教师：王培康主讲教师：王培康主讲教师：王培康主讲教师：王培康主讲教师：王培康2023年5月29日上海交通大学继续教育学院2第一章第一章第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续

2、函数的极限与连续函数的极限与连续 2023年5月29日上海交通大学继续教育学院3 经济数学是以微积分作为核心内容。微积分是人经济数学是以微积分作为核心内容。微积分是人类二千多年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，类二千多年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。又是其他课程的基础。微积分的起源主要来自两方面的问题：微积分的起源主要来自两方面的问题：一是物理一是物理学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当老的问题，作曲线的切线和确

3、定面积和体积等问题。老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些在古代就研究过，在这些在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿要归功于牛顿(Newton，英，英)和莱布尼兹和莱布尼兹(Leibniz，德，德)。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院4 牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的

4、努力加以能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法巧统一为两类普遍的算法微分和积分，并且微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。有决定性的意义。微积分是以变量与变量之间的关系微积分是以变量与变量之间的关系(即函数即函数)为研究对象，所用的主要工具是极

5、限。为研究对象，所用的主要工具是极限。本章先对以前学过的有关函数的内容作些复本章先对以前学过的有关函数的内容作些复习和小结，为以后各章的学习作些必要的准备。习和小结，为以后各章的学习作些必要的准备。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院51.1 1.1 1.1 1.1 函函函函 数数数数 一、集合一、集合一、集合一、集合 把一定的并且彼此可以明确识别的事物把一定的并且彼此可以明确识别的事物把一定的并且彼此可以明确识别的事物把一定的并且彼此可以明确识别的事物把一定的并且彼此可以明确识别的事物把一定的并且彼此可以明确识别的事物（这种事物可以是直观的对象，也可以是思（这种事物可以是直观的对象，

6、也可以是思（这种事物可以是直观的对象，也可以是思（这种事物可以是直观的对象，也可以是思（这种事物可以是直观的对象，也可以是思（这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象）放在一起，称为一个维的对象）放在一起，称为一个维的对象）放在一起，称为一个维的对象）放在一起，称为一个维的对象）放在一起，称为一个维的对象）放在一起，称为一个集合集合集合集合集合集合。乔治乔治乔治乔治乔治乔治 康托康托康托康托康托康托 （德国数学家、集合论创始人）（德国数学家、集合论创始人）（德国数学家、集合论创始人）（德国数学家、集合论创始人）（德国数学家、集合论创始人）（德国数学家、集合论创始人）2023年5月29日上海

7、交通大学继续教育学院6 两种常用的实数集合：区间与邻域两种常用的实数集合：区间与邻域两种常用的实数集合：区间与邻域两种常用的实数集合：区间与邻域两种常用的实数集合：区间与邻域两种常用的实数集合：区间与邻域2023年5月29日上海交通大学继续教育学院7.。区间用区间用不等式不等式不等式不等式表示：表示：x-110区间用区间用集合集合集合集合表示：表示：x02023年5月29日上海交通大学继续教育学院8此区间称为此区间称为点点 a 的的 邻域邻域,称为称为点点点点 a a 的的的的 去心邻域去心邻域去心邻域去心邻域,称为称为邻域半径邻域半径邻域半径邻域半径。a 称为称为邻域中心邻域中心邻域中心邻域

8、中心,若此邻域中不包含点若此邻域中不包含点 a,即即记为记为记为记为。xa a2023年5月29日上海交通大学继续教育学院9二、二、二、二、二、二、绝对值绝对值绝对值绝对值绝对值绝对值2023年5月29日上海交通大学继续教育学院102023年5月29日上海交通大学继续教育学院11x-自变量自变量,y-因变量因变量,定义定义D-定义域定义域三、三、三、三、三、三、函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念-值域值域。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院12例例:xy函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象:由由定的平面点集定的平面点集.(一般为平面曲线一般为平面曲线)所

9、确所确oxy2023年5月29日上海交通大学继续教育学院13 函数的定义域就是使得函数表达式有意义的函数的定义域就是使得函数表达式有意义的构成函数的基本要素：构成函数的基本要素：定义域定义域定义域定义域及及及及对应法则对应法则对应法则对应法则.自变量的一切可能的取值组成的集合自变量的一切可能的取值组成的集合.只要定义域及对应法则确定只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院14函数相等函数相等：例例1：判断下列函数是否为相等函数：判断下列函数是否为相等

10、函数：必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。(1)(常值函数常值函数)(2)(3)定定义义域域不不同同对应关对应关系不同系不同三三组组函函数数均均为为不不同同函函数数2023年5月29日上海交通大学继续教育学院15例例2：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：(2)(1)2023年5月29日上海交通大学继续教育学院16函数的表示法函数的表示法函数的表示法函数的表示法:公式法公式法,图示法图示法,表格法表格法.公式法中公式法中,当自变量在定义域内的不同范围取值当自变量在定义域内的不同范围取值时用不同的式子所表示的函数时用

11、不同的式子所表示的函数,称为称为分段函数分段函数分段函数分段函数.如如：0 xy12又如又如:某商店对某商品的售价规定如下某商店对某商品的售价规定如下:购买量购买量不超过不超过5千克时千克时,每千克每千克0.8元元,购买量大于购买量大于5千克千克时时,超出超出5千克的部分优惠价每千克千克的部分优惠价每千克0.6元元.若以若以 x 表示购买量表示购买量,y 表示购买表示购买 x 千克的费用千克的费用,则则2023年5月29日上海交通大学继续教育学院17解解解解:2023年5月29日上海交通大学继续教育学院181.1.1.有界性有界性有界性有界性有界性有界性否则称否则称无界无界无界无界。设设 f(

12、x)的定义域为的定义域为D,使对任一使对任一 则称则称 f(x)在在 D 上上有界有界有界有界,如：如：=M,为为 D 上的有界函数上的有界函数。无界。无界。有界。有界。oxy12若存在正数若存在正数 MM,四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性2023年5月29日上海交通大学继续教育学院192023年5月29日上海交通大学继续教育学院202023年5月29日上海交通大学继续教育学院212.2.2.单调性单调性单调性单调性单调性单调性两者统称为两者统称为严格单调函数严格单调函数严格单调函数严格单调函数,I 为为严格单调区间严

13、格单调区间严格单调区间严格单调区间。设设 f(x)的定义域为的定义域为D,区间区间对对 I 上任二点上任二点 x1,x2,当当 x x1 1 0,使对一切使对一切2023年5月29日上海交通大学继续教育学院613.3.数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限考察数列考察数列.1.0 0.当当 n 无限增大时无限增大时,xn 与与 0(原点原点)的距离的距离无限变小无限变小,要多小就能多小要多小就能多小要多小就能多小要多小就能多小!数数 0 0 称为数列称为数列2023年5月29日上海交通大学继续教育学院62定义定义:2023年5月29日上海交通大学继续教育学院63例：考察下列数列收敛与否例：考

14、察下列数列收敛与否;若收敛若收敛,求其极限求其极限.1,2,3,n,发散发散收敛收敛发散发散收敛收敛2023年5月29日上海交通大学继续教育学院64 4.4.4.收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理1.若数列若数列 xn 收敛收敛,则其极限值唯一。则其极限值唯一。（数列极限的唯一性数列极限的唯一性数列极限的唯一性数列极限的唯一性）定理定理2.若数列若数列 xn 收敛收敛,则数列则数列 xn 有界有界。（收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性）注注 意意此定理逆定理不成立此定理逆定理不成立,即即 有界数列不一定收敛

15、。有界数列不一定收敛。如如：xn=(1)n+1发散发散,但但有界有界。定理定理3.单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院65？(1)(2)二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限(1)(2)(1)(2)2023年5月29日上海交通大学继续教育学院66考察函数考察函数oxy2023年5月29日上海交通大学继续教育学院67定义定义2023年5月29日上海交通大学继续教育学院68对反正切函数对反正切函数2023年5月29日上海交通大学继续教育学院69指数函数指数函数oxy2023年5月29日上海交通

16、大学继续教育学院70正弦函数正弦函数2023年5月29日上海交通大学继续教育学院71 重要的结论重要的结论 2023年5月29日上海交通大学继续教育学院720 xy-1124当当 x 无限趋近无限趋近 1 时时,f(x)无限趋近于无限趋近于 4,即即 x 与与 1 的距离的距离无限缩小时无限缩小时,f(x)与与 4 的距离的距离也无限缩小也无限缩小。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院73定义定义2023年5月29日上海交通大学继续教育学院74 显然显然 f(x)在在 x=x0 处有无定义与处有无定义与 f(x)当当 xx0 时有时有无极限无关无极限无关.2023年5月29日上海交通大

17、学继续教育学院75左极限与右极限统称为左极限与右极限统称为单侧极限单侧极限单侧极限单侧极限。重要的结论重要的结论 可以证明可以证明还可证明还可证明2023年5月29日上海交通大学继续教育学院76例例：解：解：0 xy1。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院77例例：0 xy1。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院78三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.1.唯一性唯一性唯一性唯一性2.(2.(局部局部局部局部)有界性有界性有界性有界性3.(3.(局部局部局部局部)保号性保号性保号性保号性且且 A 0,20

18、23年5月29日上海交通大学继续教育学院794.4.迫敛性迫敛性迫敛性迫敛性 如果如果2023年5月29日上海交通大学继续教育学院801 1 1、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大定义：定义：若函数若函数 f(x)在自变量在自变量 x 的某个变化过程的某个变化过程中以零为极限中以零为极限,则称在该变化过程中则称在该变化过程中,f(x)为为简称简称无穷小无穷小。无穷小量无穷小量。如如2023年5月29日上海交通大学继续教育学院81说明：说明：说明：说明：(1)无穷小不是一个数无穷小不是一个数(或一个很小的数或一个

19、很小的数),在自变量的某一变化过程中在自变量的某一变化过程中,以零为极限的以零为极限的如如：(2)0 是无穷小中唯一的数是无穷小中唯一的数。(3)讲到无穷小一定要和自变量的变化过讲到无穷小一定要和自变量的变化过程联系程联系在一起。否则会发生错误。在一起。否则会发生错误。而是而是变量变量。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院82推论推论1.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷小的性质无穷小的性质:定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.注意注意:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理定理2.有界函数与无穷小的乘积

20、是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2.无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院83例例2023年5月29日上海交通大学继续教育学院84无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系定理定理.反之亦成立反之亦成立.注：注：实际上在实际上在时上述结论也成立时上述结论也成立.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院85无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较x,x2,sin x 当当 x 0 时都为无穷小时都为无穷小,两个无穷小之比的极限的各种不同情况两个无穷

21、小之比的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋向于零的反映了不同的无穷小趋向于零的 “快慢快慢”程度程度的不同的不同.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院86定义：定义：高阶高阶的无穷小的无穷小；同阶同阶无穷小无穷小；等价等价无穷小无穷小。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院872023年5月29日上海交通大学继续教育学院88定理定理定理定理.(.(.(.(等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）同理同理,有有2023年5月29日上海交通大学继续教育学院89一些重要的等价无穷小：一些重要的等价无穷小：一些重要的等价无穷小：一些重要的等价

22、无穷小：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院90求下列函数的极限：求下列函数的极限：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院912 2、无穷大、无穷大、无穷大、无穷大无穷大无穷大(量量).2023年5月29日上海交通大学继续教育学院92(2)在在如如 f(x)为无穷大为无穷大则则是不存在的是不存在的,但为了方便但为了方便起见起见,称其极限为无穷大称其极限为无穷大,记为记为(3)说明：说明：说明：说明：(1)无穷大不是一个数无穷大不是一个数,也是一个变量也是一个变量,是表是表示变量的一种越来越大的趋势示变量的一种越来越大的趋势.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院93(4)当

23、说当说 f(x)是无穷大时是无穷大时,必须同时指出自变必须同时指出自变量量 x 的变化过程的变化过程.例如例如2023年5月29日上海交通大学继续教育学院94 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系定理定理2.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,若若 f(x)为无穷大为无穷大,若若 f(x)不为零且为无穷小不为零且为无穷小,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院951.3 1.3 1.3 1.3 极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限2023年

24、5月29日上海交通大学继续教育学院96 定理定理定理定理1 1若若 lim f(x)=A,lim g(x)=B 存在存在,则则 (1)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B.(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB.(C:常数常数)一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则2023年5月29日上海交通大学继续教育学院97例例1.解解2023年5月29日上海交通大学继续教育学院98一般地一般地,设多项式设多项式同理同理,设有理分式函数设有理分式函数P

25、(x),Q(x)均为多项式均为多项式,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院99例例2.当当当当 Q Q(x x0 0)=0)=0 时时时时,则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院100例例3.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院101例例4.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院102用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一 2 2 2 2、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限函数极限的迫

26、敛性函数极限的迫敛性函数极限的迫敛性函数极限的迫敛性如果如果2023年5月29日上海交通大学继续教育学院103重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(1)(1)(1)(1)(1)(1)证证 作单位圆如图作单位圆如图,AOD=x x显然显然：OABCD2023年5月29日上海交通大学继续教育学院104重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(1)(1)(1)(1)(1)(1)xOABCD证毕证毕2023年5月29日上海交通大学继续教育学院105重要极限（重要极限（重要极限（重要极限（1 1 1 1）注意：注意：2.重要极限重要极限(1)的一般形式的一般形式 2023年5月29日

27、上海交通大学继续教育学院106求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：=1.=5.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院1072023年5月29日上海交通大学继续教育学院108数列极限的性质数列极限的性质单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.用此性质可以证明如下的重要极限用此性质可以证明如下的重要极限：重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(2 2 2)更一般的更一般的更一般的更一般的更一般的更一般的,有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限 2 2 2：几种变形几种变形：1.2.202

28、3年5月29日上海交通大学继续教育学院109求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院1101 1 1 1.4 4 4 4 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性增量概念：增量概念：设变量设变量 u 从它的一个初值从它的一个初值 u1 变到变到终值终值 u2,则则 u2u1 叫做变量叫做变量 u 的的增量增量.记作记作 u.即即 u=u2u1注意：注意：增量增量 u 可正可负也可为零可正可负也可为零。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院11

29、1设设 y=f(x)在在 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,如果当自变量如果当自变量 x 在在 x0 处获得增量处获得增量 x 变为变为 f(x0+x),则对应的函数值从则对应的函数值从 f(x0)变为变为x0+x 时时,称称 f(x0+x)f(x0)为相应的为相应的 即即 y=f(x0+x)f(x0).函数的增量函数的增量,记为记为 y,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院112设设 y=f(x)在在 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,定义定义如果当自变量如果当自变量 x 在在 x0 的增量的增量 x 趋于零时趋于零时,对应的函数的增量对应的函数的增量 y=f(x

30、0+x)f(x0)也趋于零也趋于零,那么就称那么就称 y=f(x)在在 x0 点连续点连续.点点 x0 称为称为 y=f(x)连续点连续点.即若即若则则 y=f(x)在在 x0 点连续点连续.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院113连续的等连续的等价定义价定义 如果如果 y=f(x)满足满足(1)在点在点 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,则则 y=f(x)在在 x0 点连续点连续.函数在一点连续的三要素函数在一点连续的三要素2023年5月29日上海交通大学继续教育学院114称称 f(x)在点在点 x0 处处左连续左连续;称称 f(x)在点在点 x0 处处右连续右连续。重要

31、结论：重要结论：重要结论：重要结论：f(x)在在 x0 点连续的充要条件是点连续的充要条件是 f(x)在在 x0 点点既是左连续又是右连续的既是左连续又是右连续的.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院115 如如 f(x)在在(a,b)内每一点都连续内每一点都连续,则称则称 f(x)为为(a,b)内的连续函数内的连续函数,或称或称 f(x)在在(a,b)内连续内连续.如如 f(x)在在(a,b)内连续内连续,且在且在 a 点右连续点右连续,在在 b 点左连续点左连续,则称则称 f(x)为为a,b上的连续函数上的连续函数,或称或称f(x)在在a,b上连续上连续.连续函数的图形是一条连续而

32、不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.易证有理整函数、有理分式函数在其定义域易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的内每一点都是连续的.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院116哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地灵，市民普遍爱好数学。灵，市民普遍爱好数学。1736年，该市一位市民向大年，该市一位市民向大数学家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通数学

33、家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？过一次，再回到家里，是否可能？2023年5月29日上海交通大学继续教育学院117xy0例例1：在在 x=0 处处,均为连续函数均为连续函数；=f(0),证证2023年5月29日上海交通大学继续教育学院118讨论讨论 在在 x=1 处的处的例例2:解解=f(1)所以所以 f(x)在在 x=1 处不是右连续处不是右连续,而只在而只在 x=1 处左连续。处左连续。使函数不连续的点称为使函数不连续的点称为间断点间断点间断点间断点。左右连续性。左右连续性。xy 11 22023年5月29日上海交通大学继续教育学院119解解而而202

34、3年5月29日上海交通大学继续教育学院120二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性定理定理2：设设 f(x),g(x)在点在点 x0 处连续处连续，则则(1)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续；(2)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续；在点在点 x0 处也连续处也连续。定理定理1：基本初等函数在其定义域内是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。定理定理3：连续函数的复合函数是连续的。连续函数的复合函数是连续的。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院121例：例：解：解：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院1

35、22初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的。内都是连续的。定义区间：定义区间：指包含在定义域内的区间。指包含在定义域内的区间。1.初等函数在其定义区间内任何一点的极限值初等函数在其定义区间内任何一点的极限值2.初等函数的定义区间就是该函数的连续区间初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。就是函数在该点的函数值就是函数在该点的函数值。定理定理4：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院123例：例：解解所以连续区间为所以连续区间为：2023年5月29日上海交通大学继续教育学院124三、函数的间断点及其分类三、函数的间断点及其分类设设 f(x)在点在点 x0 的某一去心邻域内有定

36、义的某一去心邻域内有定义,(1)f(x)在点在点 x0 没有定义没有定义;(2)f(x)在点在点 x0 有定义有定义,但但(3)f(x)在点在点 x0 有定义有定义,且且则称则称 f(x)在在 x0 处处不连续不连续不连续不连续。在此前提下在此前提下,如如 f(x)有下列三种情形之一有下列三种情形之一：而点而点 x0 称为称为 f(x)的的不连续点不连续点不连续点不连续点或或间断点间断点间断点间断点。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院125例例1.所以所以 x=0 为间断点为间断点。=1若令若令 f(0)=1,则则 x=0 为为 f(x)的连续点的连续点。例例2.所以所以 x=0 为

37、间断点为间断点。若令若令 f(0)=1,则则 x=0 为为 f(x)的连续点的连续点。上述两例中的间断点称为上述两例中的间断点称为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点。因为因为 f(x)在在 x=0 处无定义处无定义,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院126例例3.所以所以 x=0 是其间断点是其间断点。由于间断点处左、右极限存在由于间断点处左、右极限存在,则称间断点则称间断点 x=0 为为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院127例例4.f(x)在在 x=0 处无定义处无定义,间断点间断点：x=0.考察极限考察极限则称间断点则称

38、间断点 x=0 为为无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点。xy02023年5月29日上海交通大学继续教育学院128例例5.间断点间断点：x=0.不存在不存在,且在且在 x=0 附近来回振荡附近来回振荡,则称间断点则称间断点 x=0 为为振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点。xy2023年5月29日上海交通大学继续教育学院129由以上的讨论由以上的讨论由以上的讨论由以上的讨论,可将间断点分为两类可将间断点分为两类可将间断点分为两类可将间断点分为两类:1.则称则称 x0 为为第一类第一类第一类第一类间断点间断点；2.不是第一类间断点的称为不是第一类间断点的称为第二类第二类第二类第二类间断点

39、。间断点。如如：可去可去可去可去、跳跃跳跃跳跃跳跃间断点间断点。如如：无穷无穷无穷无穷、振荡振荡振荡振荡间断点间断点。设设 x0 是是 f(x)的间断点的间断点,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院130解解间断点间断点：x=1,x=2,所以所以 x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,2023年5月29日上海交通大学继续教育学院131解解间断点间断点：x=1,x=2,所以所以 x=2 是第二类间断点是第二类间断点.2023年5月29日上海交通大学继续教育学院132设设 f(x)在区间在区间 I 上有定义上有定义,最大值和最小值的概念最大值和最小值的概念则称则称是函数是函数 f(

40、x)在区间在区间 I 上的最大值上的最大值(最小值最小值最小值最小值)。四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质2023年5月29日上海交通大学继续教育学院133（最大值最小值定理）（最大值最小值定理）定理定理1 1：在闭区间上连续的函数在该区间上至少能在闭区间上连续的函数在该区间上至少能取到最大值和最小值各一次。取到最大值和最小值各一次。即即:若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则必至少存在两点则必至少存在两点m=M(最小值最小值)(最大值最大值)abxy2023年5月29日上海交通大学继续教育学院134说明：说明：说明：

41、说明：闭区间闭区间,连续函数连续函数,缺一不可。缺一不可。若不是闭区间若不是闭区间,如如：y=x 在在(0,1)内连续内连续,01。无最小值无最小值无最大值无最大值若若 f(x)不连续不连续,如如：112。.也无最大、也无最大、最小值。最小值。定理中两条件定理中两条件：xyxy02023年5月29日上海交通大学继续教育学院135定理定理定理定理2 2 2 2：(零点定理零点定理零点定理零点定理)且且 f(a)与与 f(b)异号异号,(即即 f(a)f(b)0)则至少存在一点则至少存在一点设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,abf(a)f(b)结论又可表示为：结论又可表示为：方程方程 f(

42、x)=0 在在(a,b)内至少有一个实根内至少有一个实根。xy0 xy0ab2023年5月29日上海交通大学继续教育学院136定理定理定理定理3(3(3(3(介值定理介值定理介值定理介值定理)证证则其在则其在 a,b 上连续上连续,因为因为 C 在在 A、B之间之间,所以所以(a)(b)0,由零点定理由零点定理,至少存在一点至少存在一点设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,且且 f(a)=A,f(b)=B,AB,则对于则对于A、B 之间的任一数之间的任一数 C,至少存在至少存在一点一点使得使得2023年5月29日上海交通大学继续教育学院137abABC.推论：推论：推论：推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值与最小值 m 之间的任何值。之间的任何值。xy2023年5月29日上海交通大学继续教育学院138例例:证明方程证明方程证证由零点定理由零点定理,至少存在一点至少存在一点 得证。得证。2023年5月29日上海交通大学继续教育学院139任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它趣味题趣味题一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.(沿直线剪沿直线剪)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.则面积函数则面积函数因因故由介值定理可知故由介值定理可知