选修4-1第一讲相似三角形的判断及有关性质--公开课一等奖ppt课件.ppt

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1、选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲三三 相似三角形的判定和有关性质相似三角形的判定和有关性质选修选修4-1几何证明选讲几何证明选讲三三 相似三角形的判定和有关性质相似三角形的判定和有关性质 如果一组平行线在一条直线上截如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等得的线段也相等.推论推论1 1 经过三角形一边的中点与另一经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。边平行的直线，必平分第三边。推论推论2 2 经过梯形一腰的中点，且与底经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。边平行的直线平分另一腰。复习三条平行线截

2、两条直线三条平行线截两条直线,所得所得的的对应线段成比例对应线段成比例.平行平行于三角形一边的直线于三角形一边的直线截其他两边截其他两边(或或两边的延长线两边的延长线)所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.反比、合分比的性质 P7三三 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质1.相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形形叫做相似三角形.相似三角形对应边相似三角形对应边的比值叫做相似比的比值叫做相似比(或相似的系数或相似的系数).BACA C B 判定两个三角形相似的简单方法有三种：判定两个三角形相似的简单方法有

3、三种：(1)(1)两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似;(2)(2)两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似;(3)(3)三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.BACACB如何证明？预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或或两边的延长线两边的延长线)相交相交,所构成的三角形与所构成的三角形与原三角形相似原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述简述:两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三

4、角形相似CBA已知已知,如图如图,在在ABC和和A B C 中中,A=A,B=B,求证求证:ABCA B C ABCDE证明:在在ABC的边的边AB(或或AB的延长线的延长线)上上,截截取取AD=AB,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.由由预备定理得预备定理得:ADEABCADE=B,B=B ADE=B A=A,AD=A B ADEA B C A B C ABCABCCBADE判定定理判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例应成比例,并且夹角相等并且夹角相等,那么这两个那么这两个三

5、角形相似三角形相似.简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在ABC和ABC中,A=A,求证:ABCABCADEABCDE/BCABCADECBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE/BCE证明:作 DE/BC,交AC于EAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延或两边的延长线长线)所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例,那么这条直线平行那么这条直线

6、平行于三角形的第三边于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念当一个命题的条件和结论所指的概念唯一唯一存在存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题逆否命题，然后根据，然后根据唯一性唯一性的原理断言命题为的原理断言命题为真，这种解题方法叫做真，这种解题方法叫做同一法同一法 用同一法解题一般有三个步骤：用同一法解题一般有三个步骤：先作出一个符合结论的图形，然后推证出所先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合

7、的；形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 例例 如图如图,在在ABC内任取一点内任取一点D,连接连接AD和和BD.点点E在在ABC外外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证求证:DBEABC.BACDE分析分析:好容易得出好容易得出ABC=DBE只需要再证明只需要再证明 即证即证只要证明只要证明ABDCBE判定定理判定定理3对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例应成比例,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.简述简述:三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似

8、两三角形相似ABCCBA已知已知:如图如图,在在ABC和和A B C 中中求证求证:ABCABC证明证明:在在ABC的边的边AB(或延长线或延长线)上截取上截取AD=A B,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.DEADEABC AD=ABADEABCABCABC例例 如图如图,已知已知D、E、F分别是分别是ABC三边、三边、BC、CA、AB的中点的中点.求证：求证：DEFABCFDEBAC证明证明:线段线段EF、FD、DE都都是是ABC的中位线的中位线DEFABC直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另

9、一个三角形的斜边和一条直角边角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例对应成比例,那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似.(1)(1)如果两个直角三角形有一如果两个直角三角形有一个锐角对应相等个锐角对应相等,那么它们相似那么它们相似;(2)(2)如果两个直角三角形的两条如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例直角边对应成比例,那么它们相似。那么它们相似。(1)相似三角形对应高的比、对应中相似三角形对应高的比、对应中线线 的比和对应角平分线的比都等于的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比

10、等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的平方；平方；2.相似三角形的性质相似三角形的性质 已知已知:梯形梯形ABCD中中ADBC,AD=36cm,BC=60cm,延长两腰延长两腰BA,CD交于点交于点 O,OFBC,交交AD于于E,EF=32cm,则则OF=_.ABCDEFOF80cm问题问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？周长比、面积比与相似比有什么关系？OABCD问题问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？周长比、面积比与相似比有什么关系？结论：结论：1

11、相似三角形外接圆的直径比相似三角形外接圆的直径比、周长周长比等于相似比，外接圆的面积比等于比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方相似比的平方2相似三角形内切圆的直径比、周长相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于比等于相似比，内切圆的面积比等于 相相似比的平方似比的平方1.射影射影点在直线上的正射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。这条直线上的正射

12、影间的线段。AAANMNMABAB点和线段的正射影简称点和线段的正射影简称射影射影探究：探究：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD为斜边为斜边AB上的高。上的高。你能从射影的角度来考察你能从射影的角度来考察AC与与AD，BC与与BD等的关等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。它们在斜边上射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗用勾股定理能证明吗

13、?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD=ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得同理可证得BC=BDABABDCO例例1 如图如图,圆圆O上一点上一点C在直径在直径AB上的射影为上的射影为D.AD=2,DB=8,求求CD,AC和和BC的长的长.总结总结：已知已知“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”这一基这一基本本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的以求出其余四条线段

14、，有时需要用到方程的思想。思想。ABDC习题习题1.41.ABDC直角直角 ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的长的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007广州一模广州一模)如图所示，圆如图所示，圆O上一点上一点C在直径在直径AB上的射影为上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆，则圆O的半径等于的半径等于_BACDO5例例2 ABC中，顶点中，顶点C在在AB边上的射影为边上的射影为D，且，且CD=ADDB 求求证：ABC是直角三角形。是直角三角形。ABDC证明证明:在在CDA和和BDC中中,总结总结：1、知识知识：学习了直角：

15、学习了直角 三角形中重要的比三角形中重要的比例式和比例中项的表达式例式和比例中项的表达式射影定理。射影定理。2、方法方法：利用射影定理的基本图形求线：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。段和证明线段等积式。3、能力能力：会从较复杂的图形中分解出射：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。影定理的基本图形的能力。4、数学思想数学思想：方程思想和转化思想。：方程思想和转化思想。平行线等分线段定理平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理推论推论1推论推论2推论推论1.2节例节例3引理引理预备定理预备定理判定定理判定定理3判定定理判定定理1判定定理判定定理2相

16、似三角形概念相似三角形概念直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理射影定理射影定理相似三角形性质相似三角形性质射影概念射影概念勾股定理勾股定理1.从特殊到一般的思考方法从特殊到一般的思考方法.数学方法数学方法:在研究数学问题时在研究数学问题时,通过通过考察特殊性考察特殊性问题获得一般规律的猜想问题获得一般规律的猜想,并从中并从中得到证得到证明一般规律的思想方法的启发明一般规律的思想方法的启发;然后然后由特由特殊过渡到一般殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证对一般性结论作出严格证明明.2.化归思想方法化归思想方法.在研究问题时在研究问题时,常常常常通过一定的逻辑通过一定的逻辑推理推理,将

17、困难的将困难的,不熟悉的问题不熟悉的问题转化转化为容易为容易的熟悉的问题的熟悉的问题.恒等变形恒等变形,换元法换元法,数形结数形结合法合法,参数法等参数法等,都是具体的化归方法都是具体的化归方法.相相似三角形的证明采用了化归为预备定理的似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法方法.小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用谢谢您下载使用！附赠附赠 中高考状元学习方法中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼

18、中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含

19、20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京

20、二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京

21、市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心 班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶

22、段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。上海上海20062006高考高考理科理科状元状元-武亦武亦文文武亦文武亦文 格致中学理科班学生格致中学理科班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文高考成绩：语文127127分分 数学数学142142分分 英语英语144144分分 物理物理145145分分 综合综合2727分分 总分总分585585分分 “一分也不能少一分也不

23、能少”“我坚持做好每天的预习、复习，每我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上天放学回家看半小时报纸，晚上1010：3030休息，感觉很轻松地度过了三年高休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。中学习。”当得知自己的高考成绩后，当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平平时模拟考试时，自己总有一门满分，时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。这次高考却没有出现，有些遗憾。”坚持做好每个学习步骤坚持做好每个学习步骤 武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预

24、习、复习。态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。走，保证课堂效率。”武亦文介绍，武亦文介绍，“班主班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。励学生注重学习的过程。”上海高考文科状元上海高考文科状元-常方舟常方舟曹杨二中高三

25、曹杨二中高三(14)(14)班学生班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：北京高考志愿：北京 大学中文系大学中文系高考成绩：语文高考成绩：语文121121分数学分数学146146分分 英语英语146146分历史分历史134134分分 综合综合2828分总分分总分575575分分 (另有附加分另有附加分1010分分)“我对竞赛题一样发怵我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚高中三年，我每天晚上都是上都是10:3010:30休息，这个生活习惯雷打不动。休息，这个生活习惯

26、雷打不动。早晨总是早晨总是6:156:15起床，以保证八小时左右的睡起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会眠。平时功课再多再忙，我也不会开夜车开夜车。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。就算完。“用好课堂用好课堂4040分钟最重要。我的

27、经验是，哪怕分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的正在于试题多为基础题，对上了自己的“口口味味”。