教学课件第六节：用正交变换化二次型为标准型.ppt

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1、用正交交变换化二次型为标准型2.把二次型化标准型的根据与步骤：把二次型化标准型的根据与步骤：要使二次型经可逆线性变换变成要使二次型经可逆线性变换变成标准形，这就是要使标准形，这就是要使也就是要使也就是要使因此，上述等价的因此，上述等价的问题问题就是：就是：对对于于对对称称阵阵A寻寻求可逆矩求可逆矩阵阵C使得：使得：为对为对角角阵阵。这这个个问题问题称称为为把把对对称称阵阵A合同合同对对角化角化成为对角阵成为对角阵。由上由上节节定理定理5。8知，任知，任给对给对称称阵阵A总有正交阵总有正交阵P，使，使。把此把此结论应结论应用于二次型，即有用于二次型，即有定理定理5.9 任任给给二次型二次型使之化

2、使之化为标为标准形准形其中其中推推论论 任任给给n元二次型元二次型使使为规为规范形。范形。总有总有正交变换是是f的矩阵的矩阵A的特征值的特征值总有正交变换总有正交变换用用正交正交变换变换化二次型次型为标为标准形的步准形的步骤为骤为：（1）.写出写出f对应的实对称矩阵对应的实对称矩阵A（2）.寻寻找正交矩找正交矩阵阵P，；（3）.则则正交正交变换变换使使。例例5.5.1 求一个求一个正交变换把二次型把二次型化化为标为标准形。准形。解：解：二次型的矩二次型的矩阵为阵为这这与例所与例所给给矩矩阵阵相同。按例相同。按例的的结结果，有正交果，有正交阵阵使使，于是有于是有正交正交变换变换，把二次型把二次型

3、f化成标准形如果要把二次型化成如果要把二次型化成规规范形只需令：范形只需令：则则得得f的规范形为的规范形为：例例5.5.2 用用正交正交变换变换将二次型将二次型 化化为标为标准形若准形若设设，问该问该曲面曲面为为何种何种类类型的曲面型的曲面.解：解：二次型的矩二次型的矩阵为阵为得得A的特征的特征值为值为：当当求解求解因因为为它它们们已正交，故只需已正交，故只需单单位化位化为为。，得两个线性无关的特征向量为得两个线性无关的特征向量为当当求解求解得一个解得一个解单单位化得位化得所求正交矩所求正交矩阵阵正交正交变换变换为为化化f为标为标准形准形显显然，由解析几何知道，然，由解析几何知道，这这是是一个一个单单叶双曲面方程。叶双曲面方程。注注:如果要画出上述曲面的几何如果要画出上述曲面的几何图形，则要求出相应的坐标旋图形，则要求出相应的坐标旋转变换，请参考有关空间解析转变换，请参考有关空间解析几何关于坐标轴旋转的有关结几何关于坐标轴旋转的有关结论。论。