教学课件第四节-二次型及其矩阵表示.ppt

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1、1第六章第六章 二次型二次型第四节第四节 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示第五节第五节 标准型标准型第七节第七节 正定二次型正定二次型第八节第八节 正交替换化二次型为标准形正交替换化二次型为标准形2观察如下多项式：观察如下多项式：共同点：多项式中每一项都是二次的。共同点：多项式中每一项都是二次的。我们把这样的多项式称为二次型。我们把这样的多项式称为二次型。一二次型的概念一二次型的概念3n 个变量个变量x1,x2,xn 的二次的二次齐齐次多项式次多项式(其中所有系数其中所有系数aij 是数域是数域P 中的数中的数),),称为数域称为数域P上的一个上的一个n 元二次型元二次型，简称为，简称为二

2、次型二次型.定义：定义：4 若若系数系数aij 是复数，是复数，则称称 f(x1,x2,xn)为为复二次型复二次型.若若系数系数aij 是是实数，数，则称称 f(x1,x2,xn)为为实二次型实二次型.如：如：是三元复二次型是三元复二次型说明说明:是二元实二次型是二元实二次型不是二次型不是二次型5式也可以写成式也可以写成令令二二.二次型的矩阵形表示二次型的矩阵形表示6称称式为二次型的矩阵形式式为二次型的矩阵形式则二次型可以写成：则二次型可以写成：也称为对称矩阵也称为对称矩阵A的的二次型二次型.对称矩阵对称矩阵A 的秩的秩称为称为二次型二次型 f(x1,x2,xn)的秩的秩.关系，称关系，称A为

3、二次型为二次型 f(x1,x2,xn)的矩阵的矩阵,fA为为对称矩阵对称矩阵,且且与与二次型二次型 f 有一一有一一对应对应说明说明:注注:二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是平方项的系数平方项的系数,系数的一半。系数的一半。7如如则则8例例1：写出二次型写出二次型的矩阵的矩阵.解：解：二次型的矩阵为二次型的矩阵为9例例2：设实对称阵设实对称阵求求A 对应的对应的二次型二次型.解：解：因为因为A 是是3阶方阵，所以阶方阵，所以二次型有二次型有3个变量，个变量，10三可逆线性替换与二次型三可逆线性替换与二次型的线性替换为的线性替换为定义定义:设设11则则即即

4、若若C 可逆，可逆，则则称称线线性替性替换换 为为可逆可逆线线性替性替换换 若矩阵若矩阵C 是正交矩是正交矩阵阵，则则称称为为正交线性替正交线性替换，简称为换，简称为正交替换正交替换.(或非退化线性替换或非退化线性替换),简称为简称为可逆替换可逆替换.12设二次型设二次型为可逆替换，则有为可逆替换，则有 A 是对称矩阵，是对称矩阵，也是对称矩阵也是对称矩阵.关关 变变可逆可逆线性替换将二次型变成二次型线性替换将二次型变成二次型.证：证：定理定理:B是它的矩阵。且是它的矩阵。且13例例3 设二次型设二次型 及可逆替换及可逆替换二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为可逆替换的矩阵为可逆替换的矩阵为解：

5、解：14为所求新二次型为所求新二次型.设设15四矩阵的合同四矩阵的合同设设A,B 是两个是两个n 阶方阵，如果存在可逆阶方阵，如果存在可逆矩阵矩阵C，使得，使得则称则称 A 与与B 是合同的是合同的易知易知,若存在可逆替换把二次型若存在可逆替换把二次型XTAX 化成化成二次型二次型YTBY,则则A与与B合同。合同。定义定义：合同是矩阵间的一种等价关系，满足合同是矩阵间的一种等价关系，满足说明说明:反身性反身性,对称性对称性,传递性。传递性。16数域数域 P 上上n 元二次型能不能经过可逆替换元二次型能不能经过可逆替换化成只含平方项的二次型？化成只含平方项的二次型？而二次型只含平方而二次型只含平

6、方本问题也就是：本问题也就是：数域数域 P 上的上的n阶对称矩阵能不阶对称矩阵能不 项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基能合同于一个对角阵？能合同于一个对角阵？对于实数域上的对于实数域上的n阶对称阵阶对称阵A,我们已经知我们已经知 道道:存在正交矩阵存在正交矩阵T使得使得为对为对角角阵阵,本章研究的基本问题是：本章研究的基本问题是：即即A合同于对角阵。合同于对角阵。从而对于实数域从而对于实数域上的上的 n 元二元二次型次型存在正交替换存在正交替换X=TY 把它化成只含平把它化成只含平方项的二次型，即方项的二次型，即17为为A的全部特征值。的全部特征值

7、。问题问题:对于任意数域对于任意数域 P 上二次型及对称矩阵上二次型及对称矩阵 A是否也有类似的结论？是否也有类似的结论？即对于实数域上的二即对于实数域上的二替换化成只含平方项的二次型？替换化成只含平方项的二次型？次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆18小结1.二次型二次型2.二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同可逆线性替换与二次型：矩阵的合同192121试证：若试证：若A 是是n 阶方阵，阶方阵，n 是奇数，且满足是奇数，且满足则则证：证：n 是奇数，故有是奇数，故有2023 设设A为为n 阶方阵，阶方阵，数数解：解：2145.取何值时，方程组取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求方程组的一般解。多解时求方程组的一般解。解：解：方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为22当当即即时，时，方程组有唯一解方程组有唯一解.时，时，则方程组无解则方程组无解.23时，时，方程组有无穷多解，方程组有无穷多解，其一般解为其一般解为(x3 为自由未知量为自由未知量)