教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用.ppt

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1、第第2章章 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理2.3 拉氏反变换拉氏反变换2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。函数和典型一阶系统

2、的单位斜坡响应。拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（The Laplace Transfrom）（简称拉氏）（简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化。程求解题的过程大为简化。在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递

3、函数的概念又是建立在拉氏变传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。下一页返回2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念若将实变量的函数，乘以指数函数若将实变量的函数，乘以指数函数(其中，是一个复变数其中，是一个复变数)，再在再在0到之间对进行积分，就得到一个新的函数。称为拉氏到之间对进行积分，就得到一个新的函数。称为拉氏变换式，并可用符号变换式，并可用符号 表示。表示。上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在（收敛

4、），应满足下列条件：存在（收敛），应满足下列条件：当当 ，；当当 ，分段连续；分段连续；当当 ，较较 衰减得更快。衰减得更快。上一页 下一页返回（2.1）2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念由于由于 是一个定积分，是一个定积分，t 将在新函数中消失。将在新函数中消失。因此，因此，只取决于只取决于s，它是复变数，它是复变数s的函数。拉氏变换将原的函数。拉氏变换将原来的实变量函数来的实变量函数 转化为复变量函数转化为复变量函数 。拉氏变换是一种单值变换。拉氏变换是一种单值变换。和和 之间具有一一对应之间具有一一对应的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。

5、由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。例如例如例一：求单位阶跃函数（例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。）的象函数。在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合一个开关的闭合(或断开或断开)。在求它的象函数前，首先应给出单。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式位阶跃函数的定义式 上一页 下一页返回2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念见见图图2-1（a）则单位阶跃函数则单位阶跃函数1（t）定义为）定义

6、为 见见图图2-1（b）所以所以 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。由式由式(2.1)有有 上一页 下一页返回2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念例二：求单位脉冲函数例二：求单位脉冲函数(Unit Puise Fuction)的象函数。的象函数。设函数设函数 函数的特点是函数的特点是 单位脉冲函数单位脉冲函数 定义为：定义为：在在 时及在时及在 时为时为0，在，在t=0时，时，由由 ；又由；又由 。但对时间的积分为。但对时间的积分为1。即即 上一页 下一页返回见见图图2-2（a）见见图图2-2（b）（2.2）2.1 拉氏变换

7、的概念拉氏变换的概念在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的变换式由式（它的变换式由式（2.1）有）有上一页 下一页返回(2.3)2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念例三：例三：求求 与与 间的关系间的关系 由以上两例可见，在区间（由以上两例可见，在区间（0，）里，）里 ，而，而 ，所以，所以由上式有由上式有 上一页 下一页返回（2.4）2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念由上式有由上式有 （2.5）由式（由式（2.4）和式）和式(2.5)可知：单位阶跃函数对时间的导数即为可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。反

8、之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶单位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。跃函数。例四：求斜坡函数（例四：求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。）的象函数。斜坡函数的定义式为：斜坡函数的定义式为：在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有：根据拉氏变换的定义式有：上一页 下一页返回式中式中k为常数为常数2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念若式若式K=1，即

9、单位斜坡函数，即单位斜坡函数 上一页 下一页返回（2.6）2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念例五：求指数函数（例五：求指数函数（Exponential Function）的象的象函数。函数。由式（由式（2.1）有）有 例六例六.求正弦函数（求正弦函数（Sinusoidal Function）的象函数。的象函数。上一页 下一页返回（2.7）2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分

10、方便。函数，十分方便。上一页返回(2.8)2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：一、叠加定理一、叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即即证证下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理二、比例定理二、比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K

11、倍。即倍。即上一页 下一页返回（2.10）2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理三、微分定理三、微分定理 及在零初始条件下及在零初始条件下上一页 下一页返回（2.11）2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理当初始条件当初始条件 时，时，同理，可求得同理，可求得 若具有零初始条件，若具有零初始条件，即即 则则上一页 下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单。氏式等于其象函数乘以。这使函数的微分运算变得十分简单。它是拉

12、氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据。因此微它是拉氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据。因此微分定理是分定理是个十分重要的运算定理。个十分重要的运算定理。四、积分定理四、积分定理上一页 下一页返回（2.13）（2.14）2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上一页 下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理当初始条件当初始条件 时，由上式有时，由上式有同理，可以证明在零初始条件下有同理，可以证明在零初始条件下有上一页 下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉

13、氏式等于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分重要的运算定理。重要的运算定理。五、位移定理五、位移定理上式表明，原函数上式表明，原函数 乘以因子乘以因子 时，它的象函数只需时，它的象函数只需把把 中的用中的用s代替代替s+a即可。也就是将即可。也就是将 平移了位平移了位置置a。上一页 下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理六、延迟定理六、延迟定理 原函数原函数 延迟延迟t时间，即成为时间，即成为 ，参见，参见图图2-3。由图由图2-3可见，当可见，当 时，时，以新变量置换，设以新变量置换，设 ，既，既 ，当，当

14、t由由 时，则时，则x由由 ，代入上式，可得，代入上式，可得上一页 下一页返回（2.16）2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上式表明，当原函数上式表明，当原函数 延迟延迟 ，即成为，即成为 时，时，相应的象函数相应的象函数 应乘以因子应乘以因子 。七、相似定理七、相似定理 （2.17）证证 对上式进行变量置换，令对上式进行变量置换，令 ，则，则 ，于是，于是上式可写为上式可写为上一页 下一页返回2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上式表明，当原函数上式表明，当原函数 的自变量的自变量t变化变化1/a时，则它对应的时，则它对应的象函数象函数 及变量及变量s将按比例变化将按比例变

15、化a倍。倍。八、初值定理八、初值定理 证证由微分定理有由微分定理有 当当 时，时，对上式左边取极限有，对上式左边取极限有 ，以此代入上式有，以此代入上式有 即即 （证毕）（证毕）上一页 下一页返回（2.18）2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理上式表明原函数上式表明原函数 在在t=0 时的数值（初始值），可以通时的数值（初始值），可以通过将象函数乘以过将象函数乘以s后，再求后，再求 的极限值求得。条件的极限值求得。条件是当是当 和和 时等式两边各有极限存在。时等式两边各有极限存在。九、终值定理九、终值定理 由微分定理有由微分定理有 对上式两边取极限对上式两边取极限由于当由于当 时，时，

16、所以等式左边可写成，所以等式左边可写成上一页 下一页返回（2.19）(2.20)2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理以上式代入式以上式代入式(2.20),两边消去两边消去 ,得得 （证毕）（证毕）上式表明原函数在上式表明原函数在 时的数值时的数值(稳态值稳态值),可以通过将象可以通过将象函数乘以函数乘以s后后,再求再求 的极限值来求得的极限值来求得.条件是当条件是当 和和 时时,等式两边各有极限存在。等式两边各有极限存在。终值定理在分析研究系统的稳态性能时终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误例如分析系统的稳态误差求取系统输出量的稳态值等差求取系统输出量的稳态值等)有

17、着很多的应用。因此终值定有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。理也是一个经常用到的运算定理。由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的应由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的应用更加方便。用更加方便。上一页返回2.3 拉氏反变换拉氏反变换由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换Inverse Laplace Transform)。拉氏反变换常用下式表示。拉氏反变换常用下式表示拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表来拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表来求取原函数。在自动控制理论中常遇到的

18、象函数是的有理分式，求取原函数。在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理分式，即即这种形式的原函数这种形式的原函数般不能直接由拉氏变换对照表中查得，因般不能直接由拉氏变换对照表中查得，因此，要用部分分式展开法先将此，要用部分分式展开法先将 化为一些简单分式化为一些简单分式之和。这些分式的原函数可以由查表得到。则所求原函数就等之和。这些分式的原函数可以由查表得到。则所求原函数就等于各分式原函数之和。于各分式原函数之和。下一页返回2.3 拉氏反变换拉氏反变换展开部分分式的方法是先求出方程展开部分分式的方法是先求出方程 的根的根s1，s2，sn。于是，于是，可以写为如下形式可以写为如下形式 再将上式展

19、开成部分分式再将上式展开成部分分式 式中式中c1，c2，cn为待定系数。为待定系数。求待定系数有多种方法，这里仅作简单介绍。求待定系数有多种方法，这里仅作简单介绍。上一页 下一页返回（2.20）2.3 拉氏反变换拉氏反变换1、无重根无重根这时可将这时可将 换写为换写为n个部分分式之和，每个分式分母都个部分分式之和，每个分式分母都是的一个是的一个 因式，即因式，即 如果确定了每个部分分式中的待定系数如果确定了每个部分分式中的待定系数c1，则由拉氏变换表，则由拉氏变换表即可查得即可查得 的反变换。的反变换。如求如求c1时，用时，用 乘以式乘以式(2.20)，并令，并令s=s1，即：，即：上一页 下

20、一页返回（2.21）2.3 拉氏反变换拉氏反变换在上式中，当在上式中，当s=s1时，时，(s-s1)=0，所以方括号中的各项将为，所以方括号中的各项将为零。于是，零。于是，同理，其余系数可由下式求出：同理，其余系数可由下式求出：全部待定系数求出后，运用线性性质，并参照式全部待定系数求出后，运用线性性质，并参照式(2.7)，即可，即可求得求得 上一页 下一页返回（2.22）（2.23）2.3 拉氏反变换拉氏反变换2、有重根有重根 设设 时，在时，在s=s1处有处有r个重根，这时个重根，这时 可展开可展开成如下部分分式之和成如下部分分式之和 式中，式中，为在为在s=s1处不等于零的函数。处不等于零

21、的函数。将式（将式（2.24）乘以）乘以 ，得，得 当当 ，上式含，上式含 的项均为零，于是有的项均为零，于是有上一页 下一页返回（2.24）（2.25）（2.26）2.3 拉氏反变换拉氏反变换若将式（若将式（2.25）对）对s求导数得求导数得同理，当同理，当 时，上式含时，上式含 的项均为零，于是有的项均为零，于是有依次类推，可得：依次类推，可得：上一页 下一页返回2.3 拉氏反变换拉氏反变换将已求得的各待定系数将已求得的各待定系数Ar、A(r-1)、A1代入代入 ，再，再根据表根据表21（如第（如第6行）求得各对应项的拉氏反变换式（即各行）求得各对应项的拉氏反变换式（即各原函数项），于是原

22、函数原函数项），于是原函数f(t)为：为：在上式中，由在上式中，由 式（式（2.23）可求得。）可求得。当然，对比较简单的象函数，除应用上述方法外，也可用直接当然，对比较简单的象函数，除应用上述方法外，也可用直接通分的方法来求取待定系数。通分的方法来求取待定系数。上一页返回（2.27）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例例一：求典型一阶系统的单位阶跃响应。例一：求典型一阶系统的单位阶跃响应。设典型一阶系统的微分方程为：设典型一阶系统的微分方程为：式中，式中，r（t）为输入信号；）为输入信号；c（t）为输出信号；）为输出信号；T为时间常数，为时间常数，其初始条件为零。其初始条件为零。解解 对

23、微分方程两边进行拉氏变换有对微分方程两边进行拉氏变换有由于由于 ，则，则 ，代入上式有：，代入上式有：下一页返回（2.28）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例由上式由上式 用待定系数法可求得用待定系数法可求得A=1，B=-T，代人上式有：，代人上式有：对上式进行拉氏反变换由表对上式进行拉氏反变换由表21可查得可查得 由式（由式（2.29）所表达的响应曲线如）所表达的响应曲线如图图24所示。所示。上一页 下一页返回（2.29）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例由式由式(2.29)和图和图24可知，它是一根按指数规律上升的曲线。可知，它是一根按指数规律上升的曲线。由于典型一阶系统在自动

24、控制系统中是经常遇到的，所以对它由于典型一阶系统在自动控制系统中是经常遇到的，所以对它的单位阶跃响应曲线应再作进一步的分析：的单位阶跃响应曲线应再作进一步的分析：响应曲线起点的斜率响应曲线起点的斜率m为为 由上式可知，响应曲线在起点的斜率由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数为时间常数T的倒数，的倒数，T愈大，愈大，m愈小，愈小，上升过程愈慢。上升过程愈慢。过渡过程时间。由图过渡过程时间。由图24可见，在经历可见，在经历T、2T、3T、4T和和5T的时间后，其相应的输出分别为稳态值的的时间后，其相应的输出分别为稳态值的63.2、86.5、95、98.2和和99.3。由此可见，对典型。由此

25、可见，对典型阶系统，阶系统，它的过渡过程时间大约为（它的过渡过程时间大约为（35）T；到达稳态值的；到达稳态值的95993。上一页 下一页返回（2.30）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例例二：例二：求典型求典型阶系统的单位斜坡响应阶系统的单位斜坡响应典型一阶系统的微分方程为典型一阶系统的微分方程为 上式的拉氏式为上式的拉氏式为 由于为单位斜坡输入由于为单位斜坡输入r（t）=t，因此，因此，代人，代人上式有上式有 由上式有由上式有 上一页 下一页返回（2.31）（2.32）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例应用通分的方法，可求得待定系数应用通分的方法，可求得待定系数A=1，B=-T

26、，。以待定系数代入式以待定系数代入式(2.32)有有对上式进行拉氏反变换，由表对上式进行拉氏反变换，由表21可查得各分式对应的原函数，可查得各分式对应的原函数，于是可得于是可得 由式由式(2.33)可画出如可画出如图图25所示的典型一阶系统的单位斜坡响所示的典型一阶系统的单位斜坡响应曲线。应曲线。由式由式(2.33)和图和图25可以看到：典型一阶系统的单位斜坡响可以看到：典型一阶系统的单位斜坡响应存在着应存在着定的稳态误差。对照输出量定的稳态误差。对照输出量c（t）和输入量）和输入量r（t），），可得系统的误差可得系统的误差e（t）。）。上一页 下一页返回（2.33）2.4 拉氏变换应用举例拉

27、氏变换应用举例由上式可以看出，当由上式可以看出，当 时，误差时，误差e（t）趋于）趋于 T，即，即 而而 称为稳态误差（详见第四章分析）。称为稳态误差（详见第四章分析）。由式由式(2.35)可见，时间常数越小，系统跟踪斜坡输入信号可见，时间常数越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。的稳态误差也越小。在分析随动系统时，通常以单位斜坡信号为典型输入信号在分析随动系统时，通常以单位斜坡信号为典型输入信号(例例如匀速转动时的角位移量便是斜坡信号如匀速转动时的角位移量便是斜坡信号)。因此例。因此例2中的分析中的分析方法和结果对分析一般随动系统也有普遍的参考价值。方法和结果对分析一般随动系统也有普遍

28、的参考价值。上一页 下一页返回（2.35）（2.34）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例若输入量若输入量r（t）为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的）为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量输出量c（t）。）。解解 1.对式对式(2.36)进行拉氏变换，并以进行拉氏变换，并以 代入，得代入，得由上式有由上式有上式中上式中 上一页 下一页返回（2.36）（2.37）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例2.为了通过查表求得为了通过查表求得c（t），需将式），需将式(2.37)用部分分式法进行用部分分式法进行展开，为此，须先求出方程展开，为此，须先求出方程 的根，不难的根，不难求得此

29、方程的一对根为求得此方程的一对根为 由上式可见，对应不同的由上式可见，对应不同的 值，根值，根 的性质将是不同的。的性质将是不同的。而对不同性质的根，展开部分分式的形式也将是不同的。现分而对不同性质的根，展开部分分式的形式也将是不同的。现分别求解如下别求解如下（1）当）当 (无阻尼无阻尼)(零阻尼零阻尼)时：时：特性方程的根特性方程的根 ，即为一对纯虚根时，式，即为一对纯虚根时，式(4.37)可展开为可展开为上一页 下一页返回（2.38）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例应用通分的方法可求得待定系数应用通分的方法可求得待定系数A=1，B=-1，C=0，代入，代入上式有上式有 由表由表21

30、可查得可查得由式（由式（2.39）可见，无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。）可见，无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。参见参见图图26中的曲线。中的曲线。（3）当）当 （欠阻尼）时：（欠阻尼）时：特征方程的根特征方程的根 是一对共是一对共轭复根，轭复根，上一页 下一页返回2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例通常令通常令 则则 这时，可将式这时，可将式(2.37)展开为下式，对求取待定系数和拉氏反变展开为下式，对求取待定系数和拉氏反变换都较为方便。换都较为方便。应用通分的方法，可以求得待定系数应用通分的方法，可以求得待定系数A=1，B=-1，。代入上式有。代入上式有上一页 下一页返回2.4 拉

31、氏变换应用举例拉氏变换应用举例上一页 下一页返回2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例由表由表21可查得可查得上一页 下一页返回2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例于是对式于是对式(2.40)进行拉氏反变换可得：进行拉氏反变换可得：由式由式(2.41)知，对应不同的（），可画出一簇阻尼振荡曲线，知，对应不同的（），可画出一簇阻尼振荡曲线，参见图参见图26。由图。由图26可见，可见，愈小，振荡的最大振幅愈大。愈小，振荡的最大振幅愈大。上一页 下一页返回（2.41）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例当当 （临界阻尼）时：（临界阻尼）时：特征方程的根特征方程的根 ,是两个相等的负实根是两

32、个相等的负实根(重根重根)。在出现重根时，可参照式在出现重根时，可参照式(2.24)将式将式(2.37)展开如下式展开如下式 上一页 下一页返回2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例应用通分的方法可以求得待定系数应用通分的方法可以求得待定系数A=1,C=1。代。代入上式可得入上式可得 由由2-1可查得上式中各分式的原函数可查得上式中各分式的原函数上一页 下一页返回（2.42）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例于是由式（于是由式（2.42）可得）可得 由式（由式（2.43）可画出如图）可画出如图2-6中中 所示的曲线。此曲所示的曲线。此曲线表明，临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。线表明

33、，临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。（4）当）当 （过阻尼）时：过阻尼）时：特征方程的根，特征方程的根，是两个不相等的负实根。是两个不相等的负实根。此时，式（此时，式（2.37）可展开为下式）可展开为下式上一页 下一页返回（2.43）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例上一页 下一页返回2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例应用通分的方法可求得待定系数应用通分的方法可求得待定系数A=1 ；于是；于是 由表由表2-1可查得上式各分式的原函数，于是可得可查得上式各分式的原函数，于是可得上一页 下一页返回（2.44）（2.45）2.4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例由式（由式（2.45）可

34、画出如图）可画出如图2-6中中 （）所示）所示的曲线。由图的曲线。由图2-6可见，过阻尼时的阶跃响应也为单调上升可见，过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。参见图曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。参见图2-6中中 与与 的曲线。的曲线。图图2-6为典型二阶系统在不同阻尼比的单位阶跃响应曲线。为典型二阶系统在不同阻尼比的单位阶跃响应曲线。由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧

35、，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。因此，怎样选择系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性便成了研究自适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性便成了研究自动控制系统的一个重要的课题。动控制系统的一个重要的课题。我们在例我们在例1、例、例2和例和例3中对典型一阶系统和典型二阶系统进中对典型一阶系统和典型二阶系统进行分析的方法和所得到的结果，对分析一般自动控制系统具行分析的方法和所得到的结果，对分析一般自动控制系统具有普遍的参考价值。有普遍的参考价值。上一页返回图图2-1 单位阶跃函数单位阶跃函数返回图图 2-2 单位脉冲函数单位脉冲函数返回图图2-3 延迟函数延迟函数返回图图24 典型典型阶系统的单位阶跃阶系统的单位阶跃响应曲线响应曲线返回图图25 典型一阶系统的单位斜坡典型一阶系统的单位斜坡响应响应返回图图2-6 典型二阶系统的单位阶跃响典型二阶系统的单位阶跃响应曲线应曲线返回