数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分.ppt

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1、第二十一章第二十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度,1.1.第一型曲线积分与曲面积分第一型曲线积分与曲面积分 我们的问题是,求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B密度函数在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.从A至B依次插入分点,它将曲线L分为段.记第 段弧长为在第 段 上任取一点则第弧段的质量近似于从而L 的质量就近似于 当时,上述和式的极限就是L的质量这种定义在曲线L的和式的极限,就称为在L 的第一型曲线积分.如何又设设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 L上.

2、L的两端点为A,B.依次用分点将L分为小段弧也记为，任取，作和式小段，每小段的弧长记为，不妨将第若当时上述和式极限存在，则称此极限为在曲线L上的第一类曲线积分，记为.总的来说,就是定义 21.1设L 为光滑曲线 在L上连续.则 定理21.1在L上的第一型曲线积分存在,且(1)第一型曲线积分的性质(2)(3)(4)例例1 1 设L 是椭圆 在第一象限部分，求 .解：设例例2 2计算 ，其中L为球面被平面 所截得的圆周.解：设 S是空间光滑曲面义在 S上.对于D的任意分法为任取，作和式若当时,上述和式极限存在，则称此极限为在曲线S上的第一类曲面积分，记为定义 21.2相应得到S的分法 如何计算？，

3、f 在S上连续，则定理定理 S：，是光滑曲面，是有界闭区域的第一型曲面积分存在，且 其中当 时说明 1）公式的记忆：“代进去”2）S的方程为或时公式如何 3）当时，为曲面S的面积公式 4)当光滑曲面S由参数方程：时面积元素这时5）当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分例例4 4 计算曲面积分 ，其中S为球面在平面解：之上的部分.则例例5.5.计算 ,其中解：2.2.第二型曲线积分与曲面积分第二型曲线积分与曲面积分1.变力作功与第二型曲线积分定义21.3 设函数定义在空间光滑曲线弧L上,L的两端点为A,B.从A,B给一个分法:其中记的弧长为任取,作和式若当时,的极限存在,则称

4、该极限为函数 沿有向曲线L对 的第二型曲线积分,记为或如果在上述求和时,分别用或代替便得到 沿L对或对的第二型曲线积分:或定理21.3 设函数定义在空间光滑曲线弧上的连续函数，对应于A，且有对应于B，且 自身不相交，则函数 沿有向曲线 L 的第二型曲线积分类似地有，例例1.1.计算其中解解:(1)则(1)是上半圆周(2)是上半圆周参数方程：例例2.2.求在力求在力作用下，质点由A到B所做的功解解:(1)(1)是螺旋线(2)是直线段(2)小结 特别的,当设L 为光滑曲线 设有空间的曲线段L，密度函数为 ，求其质量 在L上连续.则特别 当L 为平面光滑曲线 2.定理1.第一型曲线积分习题1.1.设

5、 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分2.为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为3.3.计算其中为球面解解:化为参数方程 则解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.4.4.有一半圆弧其线密度5.5.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得补充题例例1.1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:解解:建立坐标系如图,则 例例2.2.计算半径为R,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解解:其中为螺旋的一段弧.例例3.3.计算曲线积分线作业P376 1题(3,4,6)P377 3题P377 4题(1,3)