数学期望均值的定义.PPT

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1、一一.数学期望数学期望(均值均值)的定义的定义第一节第一节 数学期望与方差数学期望与方差 直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。例如，例如，1.假定发生意外的概率是假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2.统计资料表明强烈地震的间隔服从参数统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430(天天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？的指数分布，则平均多长

2、时间发生一次强震？1.离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望 如果如果 X 的分布律的分布律 P X=xk =pk,k 1 满足：满足：k 1|xk pk|+则定义离散随机变量则定义离散随机变量 X 的数学期望是的数学期望是 E X =k 1 xk pk 2.连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望如果如果 X 的密度函数的密度函数 p(x)满足：满足：则定义连续随机变量则定义连续随机变量 X 的数学期望是的数学期望是例例4.1.1 一位著名的射击教练将从两个候选人中挑选一位著名的射击教练将从两个候选人中挑选 一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好

3、？成绩成绩(环数环数)8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6乙的概率乙的概率 0.2 0.5 0.3解解.以以 X、Y 分别表示甲、乙射击一次的结果，分别表示甲、乙射击一次的结果，显然显然 X 的数学期望的数学期望(甲射击一次的平均成绩甲射击一次的平均成绩)是是 E X=80.1+90.3+100.6=9.5(环环)，同理，乙射击一次的平均成绩是同理，乙射击一次的平均成绩是 E Y=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)。解解.以以 X 记这个项目记这个项目 的投资利润。的投资利润。平均利润为：平均利润为：E X=50.3+00.6+(10)0.1=0.5，而同期银行的利

4、息是而同期银行的利息是 100.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。因此从期望收益的角度应该投资这个项目。利润利润 5 0 10概率概率 0.3 0.6 0.1例例4.1.2 假设某人有假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利的可能获利 5 万，万，60%的可能不赔不赚，但有的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全部的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为万元；同期银行的利率为 2%，问他应该如何决策？，问他应该如何决策？例例4.1.3 在古典概率模型中设计了如下一个赌局：在古典概率模型中设计了如下一个赌局：每个人从有每个人从

5、有 3 张假币的张假币的 10 张张 100 元纸币中随机地元纸币中随机地抽出抽出 4 张张。如果全是真的，则赢得这。如果全是真的，则赢得这 400元；如果这元；如果这4 张中至少有一张假币，只输张中至少有一张假币，只输 100 元。元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？解解.分析，分析，公平合理的规则必须是双方的平均获利都等于公平合理的规则必须是双方的平均获利都等于 0 以以 X 记每局赌博中庄家的获利记每局赌博中庄家的获利(可以为负可以为负)，则，则 X 所有可能的取值是所有可能的取值是 400 与与 100。显然显然 X 的分布律为：的分

6、布律为：xk 400 100 pk 因此，因此，X 的数学期望，即庄家在每局赌博中的数学期望，即庄家在每局赌博中 的平均获利为：的平均获利为：E X =()+()=。这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚 16.67 元元 1 5 6 6 400 500 50 6 6 3思考思考2 如果一天有如果一天有 12 个人参加这种赌博，庄家的平均个人参加这种赌博，庄家的平均获利又是多少？获利又是多少？例例4.1.4 在例题在例题2.4.4 中假定乘客在公交车站等车的中假定乘客在公交车站等车的 时间时间 X(分钟分钟)服从参数服从参数 5 的指数分布，的指数分布，p(x

7、)=0.2 e 0.2 x，x 0 问这个人的平均等车时间是几分钟？问这个人的平均等车时间是几分钟？解解.平均等车时间即是数学期望平均等车时间即是数学期望 E X，因此，因此即平均需要等待即平均需要等待 5 分钟。分钟。二二.数学期望的基本性质数学期望的基本性质即，设即，设 a、b 是两个常数，则有：是两个常数，则有：E(a+bX)=a+b E(X)；1.随机变量线性变换的期望等于期望的线性变换随机变量线性变换的期望等于期望的线性变换2.随机变量和的期望等于期望的和随机变量和的期望等于期望的和对任意的对任意的 n 个随机变量个随机变量 X1、X2、Xn，都有：，都有：E(X1+X2+Xn)=E

8、 X1+E X2+E Xn 4.随机变量函数的期望公式随机变量函数的期望公式3.独立独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积随机变量乘积的期望等于期望的乘积如果如果 X1、X2、Xn 相互独立，则有：相互独立，则有：E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)(1)如果离散随机变量如果离散随机变量 X 具有分布律：具有分布律：P X=xk =pk,k 1，则随机变量则随机变量 Y=g(X)的数学期望是：的数学期望是：E Y =E g(X)=k 1 g(xk)pk(2)如果连续随机变量如果连续随机变量 X 具有密度函数具有密度函数 p(x)，则随机变量则随机变量 Y=g(X)的数学期望是：的数

9、学期望是：E Y =E g(X)=(3)如果连续随机向量如果连续随机向量(X1，X2，Xn)具有具有 联合密度函数联合密度函数 p(x1,x2,xn)，则随机变量，则随机变量 Y =g(X1,X2,Xn)的数学期望是的数学期望是 E Y =E g(X1,X2,Xn)例例4.1.5 在前面的例题在前面的例题4.1.3的赌局里，如果一天有的赌局里，如果一天有 12 个人参加赌博，则庄家总的获利是随机变量个人参加赌博，则庄家总的获利是随机变量 Y=X1+X2+X12，每个，每个 Xi 独立同分布。独立同分布。解解.如果要用数学期望的定义计算庄家的平均获利，如果要用数学期望的定义计算庄家的平均获利，需

10、要求出需要求出 Y 的分布律。的分布律。利用数学期望的性质，因为利用数学期望的性质，因为 E Xi=50/3，所以庄家总的利润平均来说有所以庄家总的利润平均来说有 200 元元。补充补充 更精确的模型应该假定每天参赌的人数服从参更精确的模型应该假定每天参赌的人数服从参数数 的泊松分布，此时庄家的平均利润是的泊松分布，此时庄家的平均利润是 E X 在例题在例题2.2.1 中讨论了汽车过十字路口的问题。通过中讨论了汽车过十字路口的问题。通过每个路口的概率是每个路口的概率是 q，X 是首次停止时通过的路口数。是首次停止时通过的路口数。X 0 1 2 3 4 pk p pq pq2 pq3 q4 假定

11、一个游戏规定，通过假定一个游戏规定，通过 k 道关口将获得价值道关口将获得价值10k(0k 4)元的奖品。问一个参与者获得的奖励元的奖品。问一个参与者获得的奖励平均来说价值多少？平均来说价值多少？三三.方差的定义方差的定义 方差是一个随机变量在它的数学期望附近取值方差是一个随机变量在它的数学期望附近取值的分散程度，方差越小说明取值越集中于期望。的分散程度，方差越小说明取值越集中于期望。1.对随机变量对随机变量 X，如果，如果(X E X)2 的数学期望存在，的数学期望存在，即即 E(X E X)2 +，则称它是则称它是 X 的方差，记为的方差，记为 D X 或者或者 Var(X)。方差的平方根

12、方差的平方根(D X)1/2 称为称为 X 的标准差或均方差的标准差或均方差思考思考E|X E X|能不能描述能不能描述 X 在期望附近取值的分散程度？在期望附近取值的分散程度？2.方差的计算公式方差的计算公式 按照定义，按照定义，D X =E(X E X)2；常用公式，常用公式，D X =E(X2)(E X)2；按照随机变量的类型：按照随机变量的类型：(1)对于离散随机变量对于离散随机变量 D X =k 1 pk(xk E X)2，(2)对于连续随机变量对于连续随机变量 D X =方差总是非负的常数，而期望可以是任意的实数方差总是非负的常数，而期望可以是任意的实数3.数学期望与方差的概率意义

13、数学期望与方差的概率意义 方差越小，说明随机变量取值越集中在期望附近，方差越小，说明随机变量取值越集中在期望附近，或者也可以理解成，这个随机变量就越稳定。或者也可以理解成，这个随机变量就越稳定。数学期望是一个随机变量取值的平均，数学期望是一个随机变量取值的平均，方差是随机变量在这个平均值附近取值的分散程度。方差是随机变量在这个平均值附近取值的分散程度。理论上可以证明，理论上可以证明，随机变量随机变量 X 的方差为的方差为 0 的充分必要条件是，的充分必要条件是，这个随机变量取值为一个常数的概率是这个随机变量取值为一个常数的概率是 1。即，即，D X =0 P(X=E X)=1 例例4.1.7

14、射击教练将从他的如下两名队员中选择射击教练将从他的如下两名队员中选择 一人去参加比赛，应该是甲还是丙更合适？一人去参加比赛，应该是甲还是丙更合适？成绩成绩(环数环数)8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6丙的概率丙的概率 0.2 0.1 0.7解解.这里甲、丙两人的平均成绩都是这里甲、丙两人的平均成绩都是 E X =E Y =9.5 需要比较方差，简单计算后可以得到：需要比较方差，简单计算后可以得到：D X =0.45，D Y =0.65 因此应该选择甲队员去参加比赛。因此应该选择甲队员去参加比赛。续例续例4.1.1，甲乙射击技术如下：，甲乙射击技术如下：需要利用分布律计算两个概

15、率：需要利用分布律计算两个概率：P (X Y)，以及，以及 P (Y X)。X概率概率89100.30.10.6 Y概率概率89100.20.50.3 已经知道平均来说，甲的成绩比乙好。已经知道平均来说，甲的成绩比乙好。如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些？四四.方差的基本性质方差的基本性质与数学期望的性质比较：与数学期望的性质比较：E(a+bX)=a+b E(X)平移改变随机变量的期望，但不会改变方差平移改变随机变量的期望，但不会改变方差1.随机变量线性变换的方差公式随机变量线性变换的方差公式即，设即，设 a、b 是两个常数，则有：是两个常数，则有：D(a

16、+bX)=b2 D X；随机变量的中心标准化随机变量的中心标准化思考思考 正态分布有一个形式上相近的性质，如果正态分布有一个形式上相近的性质，如果 X N(,2)，则，则(X )/N(0,1)假设假设 X 的期望的期望 ，方差，方差 2 都存在，则都存在，则 Y =称为是称为是 X 的中心标准化。的中心标准化。“中心标准化中心标准化”即是通过线性变换把一个即是通过线性变换把一个随机变量的期望转化为随机变量的期望转化为 0，方差转化为，方差转化为 1。X 2.独立随机变量和的方差等于方差的和独立随机变量和的方差等于方差的和如果如果 X1、X2、Xn 相互独立相互独立，则有：，则有：D(X1+X2

17、+Xn)=D X1+D X2+D Xn与数学期望的性质比较：与数学期望的性质比较：任意随机变量和的期望等于期望的和任意随机变量和的期望等于期望的和；独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积3.任意两个随机变量和的方差公式任意两个随机变量和的方差公式 D(X+Y)=D X+D Y+2E(X E X)(Y E Y)例例4.1.9 计算二项分布计算二项分布 B(n,p)的期望与方差的期望与方差 解解.如果按照定义，则需要计算如果按照定义，则需要计算 E X=kn=0 kCnk pk qn k D X=kn=0 (k E X)2Cnk pk qn k注意到二项分布可以分

18、解成两点分布的和：注意到二项分布可以分解成两点分布的和：如果如果 X B(n,p)，则，则 X=X1+X2+Xn，这里，这里 每个每个 Xi 独立同分布于参数独立同分布于参数 p 的两点分布。的两点分布。显然有显然有 E X1=p，D X1=pq (q=1 p)因此二项分布的期望与方差是因此二项分布的期望与方差是 E X=np，D X1=npq。五五.切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式切比雪夫不等式说明，对任意的随机变量切比雪夫不等式说明，对任意的随机变量 X，它在期望附近取值的概率有一个下界。它在期望附近取值的概率有一个下界。如果如果 X 的期望的期望 ，方差，方差 2 都存

19、在，则都存在，则 对于任意的一个实数对于任意的一个实数 0，有：，有：P|X|；或者等价地，或者等价地，P|X|1 。2 2 2 21.切比雪夫不等式的精确度切比雪夫不等式的精确度 在不等式中分别取在不等式中分别取 =，2 ，3 P|X|0 P|X|2 0.75 P|X|3 0.8889如果如果 X N(0,1)，=0.6826；=0.9544；=0.9974 。2.切比雪夫不等式的意义切比雪夫不等式的意义(1)它对所有的随机变量都成立，不需要知道它对所有的随机变量都成立，不需要知道 X 的的具体分布。可以近似估计事件的概率；具体分布。可以近似估计事件的概率；(2)可以说明方差的概率含义；可以

20、说明方差的概率含义；(3)可以证明随机事件频率的极限是概率。可以证明随机事件频率的极限是概率。例例4.1.10 假定发生意外概率是假定发生意外概率是 0.001，则在购买保险的，则在购买保险的 15,000 人中需要赔偿的人数人中需要赔偿的人数 X B(15,000,0.001)。近似计算近似计算 X 介于介于 10 20 之间的概率。之间的概率。解解.根据例题根据例题4.1.10 的结果，有：的结果，有：E X=15，D X=150.999 15。根据切比雪夫不等式根据切比雪夫不等式，P(15 X 20)=P(|X 15|5)1 =0.4。15 25 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币100次，问正面次数在次，问正面次数在 40 60 的概率？的概率？