数学分析(华东师大版)上第四章.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 连续函数的概念一、函数在一点的连续性三、区间上的连续函数二、间断点的分类返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1由由定定义义1知知，我我们们是是通通过过函函数数的的极极限限来来定定义义连连续续一、函数在一点的连续性性的，换句话说连续就是指性的，换句话说连续就是指返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如：例如：这是因为这是因为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又如：函数又如：函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极限极限由极限的定义由极限的定义,定义定义1可以叙述为可以叙

2、述为:对于任意正数对于任意正数e e,这是因为这是因为存在存在d d 0,0,这样就得到函数这样就得到函数 f(x)在点在点x0可改写为可改写为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页连续性的另外一种表达形式连续性的另外一种表达形式.定义定义2如果如果对对任意的存在任意的存在 当时当时返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应的函数应的函数(在在 y0 处处)的增量的增量返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为狄利克雷函数为狄利克雷函数.证证注意注意:上述极限式绝不能写成上述极限式绝不能写成例例1返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由上面的定义和例题应该可

3、以看出由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要要求求这这个个极极限限值值只只能能是是函函数数在在该该点点的的函函数数值值.极极限限存存在在是是函函数数连连续续的的一一个个必必要要条条件件)，而而且且还还x0 连连续续，那那么么它它在在点点 x0 必必须须要要有有极极限限(这这就就是是说说,有有极极限限与与在在点点 x0 连连续续是是有有区区别别的的.首首先先 f(x)在在点点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义3很明显很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函由左、右极限与

4、极限的关系以及连续函数数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续.点点x定理定理4.1f 在在有定义，若有定义，若的的定定义义可可得得：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 讨论函数讨论函数解解 因为因为点击上图动画演示点击上图动画演示返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页综上所述综上所述,所以所以,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、间断点的分类定义定义4定义定义.若若f 在点在点 x0 无定义无定义,或者在点或者在点 x0有定义但却有定义但却由此由此,根据函数极限与连续之间的联系根据函数极限与连续之间的联系,如果如果 f 在在点点 x0 不

5、不连连续续,则则必必出出现现下下面面两两种种情情况况之之一一:或或不不连连续续点点.在在该该点点不不连连续续,那那么么称称点点 x0 为为函函数数的的一一个个间间断断点点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页等于等于f(x0).根据上面的分析根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点可去间断点:若若一个可去间断点一个可去间断点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 x0 是是 f 的的跳跃间断点与函数跳跃间断点与函数 f 在点在点 x0 是是否有定否有定 点点.3.第二类间断点第二类间断点:若若 f 在点在点 x0 的左、右极限

6、至少的左、右极限至少 可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点统统称称为为第第一一类类间间断断点点.义义无无 关关.有一个不存在有一个不存在,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 因为因为例例3 3 所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 1.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 讨论函数讨论函数在在 x=0 处处是否连续？若不连续，则是什么类型的是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若若点点x0是是 的的可可去去间间断断点点,那那么么只只要要重重新新定定 x0 连续连续.间断点？间断

7、点？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 f(x)在在 x=0 处右连续而不处右连续而不左连续左连续,从而不从而不解解 因为因为断断点点是是跳跳跃跃间间断断点点.连连续续.既既然然它它的的左左、右右极极限限都都存存在在，那那么么这这个个间间返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5解解 因为由归结原理可知，因为由归结原理可知，均不存在，均不存在，点？点？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、区间上的连续函数若函数若函数 f 在区间在区间I上的每一点都连续上的每一点都连续,则称则称 f 为为 I例如例如,以及以及都是都是R上的连续函数；而函数上的连续

8、函数；而函数是区间是区间-1,1-1,1上的连续函数上的连续函数,在在处的连续分处的连续分别指右连续和左连续别指右连续和左连续.数数在在该该点点连连续续是是指指相相应应的的左左连连续续或或右右连连续续.上上的的连连续续函函数数.对对于于闭闭区区间间或或半半闭闭区区间间的的端端点点,函函返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果函数如果函数 f 在在 a,b 上的不连续点都是第一类的上的不连续点都是第一类的,复习思考题能能要要添添加加或或改改变变某某些些分分段段点点处处的的值值).是是由由若若干干个个小小区区间间上上的的连连续续曲曲线线合合并并而而成成(当当然然可可一一个个按按段段连连续续函函数数.从从几几何何上上看看,按按段段连连续续曲曲线线就就并并且且不不连连续续点点只只有有有有限限个个,那那么么称称 f 是是 a,b 上上的的