2023届广东省广州市华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题含答案.pdf

《2023届广东省广州市华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届广东省广州市华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题含答案.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学试题第 1 页，共 5 页 2023 届高三综合测试届高三综合测试 数数 学学 2023 年 5 月 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合1,0,1M=，2|1,Ny yxxM=，则MN等于A1,0B0,1C1,1D1,0,12

2、.已知复数z满足(1)|2|zii+=，则复数z对应的点在第（）象限 A一 B二 C三 D 四 3.已知向量()()3,4,4,m=ab，且abab+=，则b=A3 B4C5 D6 4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染 1 个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数05R=，若 1 个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么 1 个感染者新的传染人数为()0RNVN，为了有

3、效控制病毒传染（使 1 个感染者传染人数不超过 1），我国疫苗的接种率至少为A75%B80%C85%D90%5.设nS为正项等差数列 na的前n项和若20232023S=，则4202014aa+的最小值为A52B5 C9 D922023届广东省华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题数学试题第 2 页，共 5 页 6.已知3ln(1cos1,22),abc+=，则 Aabc Bcab Ccba Dacb 7.已 知 克 列 尔 公 式：对 任 意 四 面 体，其 体 积V和 外 接 球 半 径R满 足1116()()()RVp paapbbpcc=，其中1111(),2paabbcc=+

4、111,a a b b c c分别为四面体的三组对棱的长.在四面体ABCD中，若2,ABCDACBD=21ADBC=,则该四面体的外接球的表面积为 A52 B3 C73 D5 8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线2:2C ypx=的准线与圆22:(1)1Mxy+=相切于点A，直线AB与抛物线C切于点B，点N在圆M上，则AB AN的取值范围为 A 0,8 B 22 5,22 5+C 44 2,44 2+D 4 24,4 24+二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.

5、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度y随时间x变化的回归模型，小明每隔 1 分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据()11,x y，()22,xy，(),nnxy（其中11,nniiiixx yy=），绘制了如图所示的散点图小明选择了如下 2 个回归模型来拟合茶水温度y随 时 间x的 变 化 情 况，回 归 模 型 一：()0,0ykxb kx=+；回 归 模 型 二：()0,01,0 xykab kax=+，下列说法正确的是 A茶水温度与时间这两个变量负相关 B由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C若

6、选择回归模型二，利用最小二乘法求得到xykab=+的图象一定经过点(),xay D当5x=时，通过回归模型二计算得65.1y=，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1 数学试题第 3 页，共 5 页 10.下列命题正确的是 A如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行 B两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等 C如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行 D如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线()2222:10,0yxEabab=的下、上焦

7、点分别是1F，2F，渐近线方程为2yx=，P为双曲线 E 上任意一点，PQ平分12FPF，且1FQPQ，2OQ=，则 A双曲线 E 的离心率为52 B双曲线 E 的方程为2241yx=C若直线1PF与双曲线 E 的另一个交点为H，M为PH的中点，则14OMPHkk=D点P到两条渐近线的距离之积为45 12.已知ln()lnexxf xkxexx=+（kR）有三个不相等的零点123,x x x，且123xxx，则下列命题正确的是 A存在实数k，使得11x=B3xe C3(1,)2k D2312123lnlnln111()()()xxxxexexe+为定值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5

8、 分，共 20 分。13.函数()32f xxx=在点()1,0处的切线方程为 14.甲、乙、丙 3 所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙 3 所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有_种.数学试题第 4 页，共 5 页 15.在ABC中，已知2AB=，6AC=，60BAC=，BC，AC边上两条中线 AM，BN 相交于点 P，则MPN的余弦值为_ 16.我们称()*n nN元有序实数组()12,nx xx为n维向量，12nxxx+为该向量的范数已知n维向量()12,nax xx=，其中1,0,1,

9、1,2,ixin=，记范数为奇数的a的个数为nA，则nA=_（用含 n 的式子表示，*nN）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)已知函数()3sincosf xxx=，0(1)若函数()f x图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求()f x的单调增区间；(2)若函数()f x的图象关于,02对称，且函数()f x在0,3上单调，求的值 18.(12 分)已知整数数列 na是等差数列，数列 nb满足2nnnab=数列 na，nb前n项和分别为,nnS T，其中222(1)nnSn+.(1)求数列 na的通项公式；(2)用 x表示不超

10、过x的最大整数，求数列nT的前 20 项和20M 19.(12 分)某地的水果店老板记录了过去 50 天某类水果的日需求量x（单位：箱），整理得到数据如下表所示已知每箱某类水果的进货价为 50 元，售价为 100 元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱 30 元 根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售.x 22 23 24 25 26 频数 10 10 15 9 6(1)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的某类水果尽量新鲜，又能 70%地满足顾客的需求（在 100 天中

11、，大约有 70 天可以满足顾客的需求）.请根据频数分布表，估计每天某类水果的进货量t箱.（结果保留一位小数）(2)以这 50 天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率,设(1)中所求t的值()000,+1)*tn nnN，如果店老板计划每天购进0n箱或01n+箱的某类水果，请以利润的期望作为决策依据，判断店老板应当购进的箱数.数学试题第 5 页，共 5 页 20.(12 分)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，2ABAP=，PA 平面ABCD，,E F分别是线段,PB PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG 平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，

12、且 G 点不是线段 PC 的中点，求三棱锥EABG体积.21.(12 分)已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点为12,F F，离心率为23，P为椭圆E上的一点，且12PFF的内切圆半径最大值为2 55.（1）求椭圆E的方程；（2）直线:(1)l yk x=交椭圆E于,P Q两点，2PF Q的角平分线所在的直线与直线9x=交于点M，记直线OM的斜率为 k，试问k k是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.22.(12 分)已知函数21()ln(1),2f xxaxax aR=+（1）讨论()f x零点的个数；（2）当1a 时，若存在123123,()x x

13、xxxx，使得123()()()f xf xf x=，求证：12333xxxa+数学试题参考答案第 1 页，共 7 页 2023 届高三综合测试届高三综合测试 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D B C C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AB BC AD BCD

14、三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1310 xy=（写成1yx=亦可）1442 1511 91182 163(1)2nn 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）()313sincoso62sinc s2sin22f xxxxxx=，1 分 因为函数()f x图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以12T=，则2T=，所以22T=，解得1=，所以()n62sif xx=3 分 由22262kxk+，kZ，解得 22233kxk+，kZ 因此()f x的单调增区间是22,233kk+，kZ.5 分（2）由()2s

15、in6f xx=，函数()f x的图象关于,02对称，所以26k=，Zk，所以123k=+，Zk，7 分 由,30 x，0，则,6636 x，又函数()f x在0,3上单调，所以2036，解得02，9 分 由10223k+解得0k=，此时13=.10 分 18.解：（1）当1n=时，1124S.1 分 又因为naZ，所以11a=.数学试题参考答案第 2 页，共 7 页 设1(1)nand=+，则(1)2nn nSnd=+.2 分 依题意，222(1)(1)nnn ndn+，3 分 得2(1)20(1)10d nddndn+恒成立 4 分 解得1d=，5 分 所以，nan=.6 分（2）2nnn

16、b=12323411232222112322222nnnnnTnT+=+=+-，得1231111111212222222nnnnnnT+=+=9 分 即2222nnnT+=10 分 1,22nnn=+时，0nT=;12(1)2,21122nnnn nnCCnn+=+时，1nT=，所以2019M=.12 分 19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的 70%分位数.1 分 由表可知，把 50 个日需求量的数据从小到大排列，由70%5035=，日需求量在 24 箱以下的天数为10 10 1535+=，可知，日需求量的样本数据的第 35 项数据为 24，第 36 项数据为 25

17、，因此，可以估计日需求量的第 70%分位数为242524.52+=，3 分 所以能 70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为 24.5 箱.4 分（2）由（1）知2424.525t=，即024n=设每天的进货量为 24 箱的利润为X，由题设，每天的进货量为 24 箱，当天卖完的概率为35，当天卖不完剩余 1 箱的概率15，当天卖不完剩余 2 箱的概率15，若当天卖完24(10050)1200X=元，若当天卖不完剩余 1 箱23(10050)1 301120X=元，若当天卖不完剩余 2 箱22(10050)2 301040X=元，6 分 所以31()1200(1120 1040)115255

18、E X=+=元.7 分 设每天的进货量为 25 箱的利润为Y，由题设，每天的进货量为 25 箱，当天卖完的概率为310，当天卖不完剩余 1 箱的概率310，当天卖不完剩余 2 箱的概率15，当天卖不完剩余 3 箱的概率15，若当天卖完25(10050)1250Y=元，数学试题参考答案第 3 页，共 7 页 当天卖不完剩余 1 箱24(10050)1 301170Y=元，当天卖不完剩余 2 箱23(10050)2 301090Y=元，当天卖不完剩余 3 箱22(10050)3 301010Y=元，9 分 所以31()(1250 1170)(1090 1010)1146105E Y=+=元，10

19、分 由于()()E YE X，显然每天的进货量 25 箱的期望利润小于每天的进货量为 24 箱的期望利润，所以店老板应当购进 24 箱.12 分 20.（1）证明：连接,BD在正方形ABCD中BDAC,又PA 平面ABCD，故PABD 而,PA AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD 平面PAC 2 分 在PBD中，EF为中位线，故/EFBD 3 分 所以EF 平面PAC.又EF 平面EFG，所以平面EFG 平面PAC 5 分（2）以,AB AD AP所在直线为,x y z轴建立如图空间直角坐标系Axyz，则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2

20、,0,1,0,1,0,1,1ABCPDEF，()()1,0,1,0,1,1AEAF=，7 分 设平面 AEF 的一个法向量为()111,mx y z=，则00AE mAF m=，即111100 xzyz+=+=，取()1,1,1m=，8 分 设1(01)2PGPC=，则()()()0,0,22,2,22,2,22AGAPPGAPPC=+=+=+=则222362sincos,44(232)1m AG=+，整理得212810+=，解得16=或12=（舍去），10 分 故16PGPC=,故G到平面PAB的距离1163hBC=,故1226EBGSBE h=数学试题参考答案第 4 页，共 7 页 因为(

21、1,0,1)(0,1,00AE BC=）,所以AEBC 又(1,0,1)(2,0,20AE BP=）,所以AEBP，又BPBCP=，所以EA 平面PBC，故A到平面BEG的距离为2EA=三棱锥EABG体积为112123369E ABGA EBGEBGVVSEA=.12 分 21.解：（1）因为12PFF的周长等于22ac+为定值,所以内切圆半径最大时，即12PFF的面积最大，此时点P为椭圆的上（下）顶点1 分 可得12 5(22)25acbc+=；2 分 又因为23cea=，222cab=+，解得3,2,5acb=，3 分 所以椭圆E的方程为22195xy+=；4 分（2）（法一）设点 由条件

22、可知直线l的斜率0k，设点1122(,),(,)P x yQ xy，由22(1)195yk xxy=+=得：2222(59)189450kxk xk+=所以2212122218945,5959kkxxx xkk+=+（*）5 分 由（*）可得 21212122925(2)(2)2()459kxxx xxxk=+=+6 分 12211221270(2)(2)(1)(2)+(1)(2)59ky xyxk xxk xxk+=+7 分 22121212240()159ky ykx xxxk=+=+8 分 由对称性，不妨令点M位于第四象限，设直线2PF的倾斜角为，直线2QF的倾斜角为，直线2F M的倾斜

23、角为，则1212tan,tan,tan22yymxx=数学试题参考答案第 5 页，共 7 页 又2F M在2PF Q的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()=+=可得出12121212221122yymmxxyymmxx=+9 分 化简得2121212121212()2(1)()=0222222yyyyyymmxxxxxx+即2122112121221(2)(2)2(2)(2)(2)(2)0y xy xmxxy ymy xy x+=将式代入上式得：2235(4925)350kmkmk+=10 分 则(75)(57)0kmmk+=，解得57,()75kmmk=舍去 11 分 故直

24、线2F M方程为5(2)7yxk=，令9x=得点5(9,)Mk 则59kk=，故59kk=为定值.12 分【法二】设线 由条件可知直线l的斜率0k，设直线2PF的斜率为1k，直线2QF的斜率为2k，直线2F M的斜率为m，直线:(2)1lxny+=，其中1kn=由22195xy+=得225(2)2945xy+=即()22295220(2)(2)25(2)0yxxxnyxny+=整理得222(925)70(2)40(2)0nyn xyx+=6 分 即22(925)7040022yynnxx+=令2ykx=,则22(925)70400n knk+=，其中12kk，为方程的根 数学试题参考答案第 6

25、 页，共 7 页 所以12270259nkkn+=，1 2240259k kn=8 分 由对称性，不妨令点M位于第四象限，设直线2PF的倾斜角为，直线2QF的倾斜角为，直线2F M的倾斜角为，则1212tan,tan,tan22yymxx=又2F M在2PF Q的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()=+=由121211mkkmmkmk=+得2121 212()(22)()0kk mk k mkk+=9 分 代入整理得2235(2549)350nmnmn+=，10 分 则(57)(75)0nmmn+=故75mn=（舍去）或者57nm=11 分 所以直线2F M的方程为5(2)7

26、nyx=，令9x=得点(9,5)Mn 故59nk=，则59k k=为定值.12 分 22.解：（1）()f x的定义域为(0,)+1 分 21(1)1(1)(1)()(1)axaxaxxfxaxaxxx+=+=2 分 0a=时，1()xfxx=，当01x时，()0,()fxf x单调递增；当1x 时，()0,()fxf x单调递减，故()(1)10f xf=，无零点 3 分 0a 时，10ax，当01x时，()0,()fxf x单调递增；当1x 时，()0,()fxf x单调递减，故max()(1)12af xf=，且0,xx+时，均有()f x 若102a 即2a 时，()f x有两个零点；

27、若102a=即2a=时，()f x有一个零点；若102a 即20a 时，()f x无零点 4 分 0a 时，若01a，则01x或1xa时，()0,()fxf x均单调递增；11xa时，()0,()fxf x单调递减而(1)10,2afx=+时，()f x +，故()f x有一个零点 若1a=，则()0fx，()f x在(0,)+上单调递增，且0 x+时，()f x ，x+时，()f x +，故()f x有一个零点 数学试题参考答案第 7 页，共 7 页 若1a，同理可得，()f x在1(0,),(1,)a+上单调递增，在1(,1)a上单调递减，111()ln102faaa=，此时()f x有一

28、个零点 6 分 综上得：当20a 时，()f x无零点；当2a=或0a 时，()f x有一个零点；当2a 时，()f x有两个零点7 分（2）当1a 时，由（1），任取,ijx x()ijxx，设1jixtx=，先证lnln2jijijixxxxxx+上述不等式即为2(1)ln01ttt+，设2(1)()ln1tg ttt=+，则22214(1)()0(1)(1)tg tttt t=+，所以()g t在(1,)+上单调递增，()(1)0g tg=，即lnln2jijijixxxxxx+成立 9 分 由()()ijf xf x=得：22311ln(1)ln(1)22iiijjxaxaxxaxax+=+，所以lnln()(1)02ijijijxxaxxaxx+=，所以2()(1)02ijijaxxaxx+，即2()(1)()202ijijaxxaxx+，即()1()202ijijaxxxx+，所以22ijxxa+，11 分 即1213232222,2,2xxxxxxaaa+，三式相加即得12333xxxa+12 分