数字电子技术基础第1章.PPT

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1、数字电子技术基础 数字电子技术是物理、电子、计算机科学与技术、数字电子技术是物理、电子、计算机科学与技术、信息工程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修信息工程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修课。主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方法。课。主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方法。数字电子技术是计算机组成原理、计算机系统结构、数字电子技术是计算机组成原理、计算机系统结构、微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系统设计微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系统设计自动化等课程的基础，对理解计算机的工作原理有十自动化等课程的基础，对理解计算机的工作原理有十分重要的作用。它的主要内容包括逻辑代数

2、基础、集分重要的作用。它的主要内容包括逻辑代数基础、集成门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、成门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、脉冲产生电路、模数与数模电路等。脉冲产生电路、模数与数模电路等。数字电子技术是重要的专业基础数字电子技术是重要的专业基础第1章 逻辑代数的基础知识 8学时第2章 门电路 10学时第3章 组合逻辑电路 10学时第4章 触发器6学时第5章 时序逻辑电路 6学时第6章 脉冲产生与整形电路 6学时第7章 数模与模数转换电路 4学时 复习 2学时教学计划教学计划参考书参考书数字电子技术基础数字电子技术基础 清华大学清华大学 阎石阎石北京北京 高等教育出版社高等

3、教育出版社电子技术基础电子技术基础 数字部分数字部分 华中理工大学华中理工大学 康华光康华光北京北京 高等教育出版社高等教育出版社教材：教材：数字电子技术基础简明教程数字电子技术基础简明教程(第三版第三版)余孟尝主编余孟尝主编 高等教育出版社高等教育出版社 2006年年1.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理1.3 逻辑函数的表示方法及其逻辑函数的表示方法及其 相互之间的转换相互之间的转换1.2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础概述概述模拟信号：在时间上和模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。如数值上连续的信号。如水位，电压，电流，温水位，电压

4、，电流，温度，亮度，颜色等。度，亮度，颜色等。数字信号：在时间上和数数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）值上不连续的（即离散的）信号。如数值，开关位置，信号。如数值，开关位置，数字逻辑等。数字逻辑等。uu模拟信号波形模拟信号波形数字信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为处理的电子线路称为模拟电路。模拟电路。对数字信号进行传输、对数字信号进行传输、处理的电子线路称为处理的电子线路称为数字电路。数字电路。概概概概 述述述述补充内容：模拟电路与数字电路的区别一、逻辑代数一、逻辑代数在数字电路中，采用二值逻辑，变量取值在数字电路中，采用二值逻辑，变

5、量取值：0、1 分别代分别代表表两种相反的状态两种相反的状态一种状态一种状态另一状态另一状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001负逻辑负逻辑正逻辑正逻辑 事物的变化总是存在因果关系，如电灯的亮与灭与电源的通与断就存在因果关系，这种因果关系叫逻辑关系。反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数。二、二进制数表示法二、二进制数表示法1.十进制十进制（Decimal number）位权：位权：2.二进制（二进制（Binary number）位权：位权：每一位用09十个数码表示，逢十进一。逢十进一。每一位用0、1二个数码表示，逢二进一。逢二进一。3.八进制八进制（Octal num

6、ber）数码数码：0 7。逢八进一逢八进一位权：位权：4.十六进制十六进制(Hexadecimal number)数码：数码：0 9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)。逢十六进一逢十六进一位权：位权：任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：第第 i 位的系数位的系数 第第 i 位的权位的权5.几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换(1)二二-十转换：十转换：将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加(2)十十-二转换二转换：整数的转换整数的转换-连除法连除法26213余数余数206213202 1101除基除基数数

7、得余得余数数作系作系数数从低从低处处到高到高处处0.812521.625021.250020.5000取整取整1100.62500.2500乘基乘基数数取整取整数数作系作系数数从高从高处处到低到低处处小数的转换小数的转换-连乘法连乘法快速转换法：拆分法快速转换法：拆分法(26)10=16+8+2=24+23+21=(1 1 0 1 0)2 若小数在连乘多次后若小数在连乘多次后不为不为 0，一般按照精确度，一般按照精确度要求要求(如小数点后保留如小数点后保留 n 位位)得到得到 n 个对应位的系个对应位的系数即可。数即可。21.0000116 8 4 2 1 十进制数转换成二进制数的另一种方法是

8、降幂比较法。如果熟十进制数转换成二进制数的另一种方法是降幂比较法。如果熟记记2 20 02 21010的数值是的数值是1 110241024，2 21 12 24 4的数值是的数值是0.50.50.06250.0625，那，那么用降幂比较法，便可很容易地获得一个十进制数的二进制数转么用降幂比较法，便可很容易地获得一个十进制数的二进制数转换值。例如（换值。例如（157157）1010（1001110110011101）2 2 157）128 27 29 ）16 24 13）8 23 5）4 22 1 ）1 20 028256157271282532292416 241613238 2385224

9、 212201 11111000(3)二二-八转换八转换:57(4)八八-二转换二转换:每位每位 8 进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数011 001.100 111每每 3 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 8 进制数进制数011 111 101.110 1000002341.062（5）二）二-十六转换：十六转换：每每 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 16 进制数进制数A1（6）十六）十六-二转换：二转换：每位每位 16 进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数编码：编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号

10、等信息的过程。二进制代码：二进制代码：编码后的二进制数。编码后的二进制数。用用4位二进制代码表示十进制数的十个数字位二进制代码表示十进制数的十个数字 0 9，又称为又称为 8421BCD 码（码（Binary Coded Decimal）三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码二二-十进制代码：十进制代码：0十进十进制数制数1234567898421 BCD码码 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 权权 8 4 2 1 B3 B2 B1 B01.1.1 基

11、本和常用逻辑运算基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1.与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。功能表功能表1.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合与逻辑关系与逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY真值表真值表（Truth table）逻辑函数式逻辑函数式与门与门（AND gate)逻辑符号逻辑符号与逻辑的表示方法：与逻辑的表示方法：ABY&000100011011功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合

12、 断断合合 合合ABYABY2.或逻辑：或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。或门或门（OR gate)或逻辑关系或逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号011100011011ABYABY13.非逻辑：非逻辑：条件具备，事件便不会发生；条件不具备，条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件才会发生的逻辑关系。事件才会发生的逻辑关系。真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号非门非门（NOT gate)非逻辑关系

13、非逻辑关系1001AY1开关开关A灯灯Y电源电源RAY(1)与非逻辑与非逻辑 (NAND)(2)或非逻辑或非逻辑 (NOR)(3)与或非逻辑与或非逻辑 (AND OR INVERT)(真值表略真值表略)11100 00 11 01 1AB&1000二二.几种常用逻辑运算几种常用逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2 的真值表的真值表AB1AB&CD1(4)异或逻辑异或逻辑(ExclusiveOR)(5)同或逻辑同或逻辑(ExclusiveNOR)(异或非异或非)AB=101100 00 11 01 1 AB=1=ABABY410010 00 11 01 1ABY5或：或：0+0=01+0=11+1=1

14、 与：与：0 0=00 1=01 1=1 非：非：二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系(变量：变量：A、B、C)或：或：A+0=AA+1=1与与:A 0=0A 1=A 非：非：1.1.2 公式和定理公式和定理一、一、常量之间的关系常量之间的关系(常量：常量：0 和和 1)1=0A+A=1三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律结合律结合律分配律分配律 例例 1 证明公式证明公式 解解 方法一：公式法方法一：公式法 例例 1 证明公式证明公式方法二：真值表法方法二：真值表法 (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中

15、)A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等 解解 四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理同一律同一律A+A=AA A=A还原律还原律 例例 2 证明：证明：德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等相等相等德德 摩根定摩根定理理A+B=A B 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”

16、“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量五、关于等式的三个规则五、关于等式的三个规则1.代入规则：代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知(用函数用函数 A+C 代替代替 A)则则2.反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加注意注意:例如：例如：已知已知反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则已知已知则则运算顺序：运算

17、顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保持不变的反号应保持不变3.对偶规则：对偶规则：对任何逻辑等式，将等式中对任何逻辑等式，将等式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.”“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”，等式仍成立。等式仍成立。例如例如对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 0=01+1=1运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A+A=1六、六、常用公式常用公式证：=（A+A)(A+B)=A+B证：证：推论推论1、A+AB=A+B的推广A+ABC=A+BCAB+ABC=AB+

18、CA+AB=A+BAB+ABC=AB+C2、AB=A+B的推广ABC=A+B+C同理：A+B+C=A B C 常用公式的推广常用公式的推广3、冗余律ABACBCABAC1.最小项的概念：最小项的概念：所有变量均以原变量或反变量的形式作为一个因子在乘所有变量均以原变量或反变量的形式作为一个因子在乘积项中出现且只出现一次，这样的乘积项叫积项中出现且只出现一次，这样的乘积项叫最小项最小项。(2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项)(4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项)(n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项)(3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项)1.2 1.2 逻辑函数的

19、化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）1.2.1 逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式一、标准与或式一、标准与或式（标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式）2.最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1)每一每一最小项最小项都都有一组有一组也只也

20、只有一组对应变量取值使其值为有一组对应变量取值使其值为 1(2)任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0(3)全体最小项之和为全体最小项之和为 1【对于对于ABC的的 不同取值，总有（也只有）一不同取值，总有（也只有）一 个个最小项最小项的值为一的值为一】3.最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以表示成为若干个最小项之和的任何逻辑函数都可以表示成为若干个最小项之和的形式形式标准与或式。标准与或式。例例 1 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：解解 函数的标准与或式也函数的标准与或式也可由其真值表求出可由其真值表求出A B C Y

21、=AB+AC0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 14.最小项的编号：最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7 例例 2 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：m7m6m5m

22、4m1m0m8m0与前面与前面m0相重相重 一个逻辑函数的最简表达式，按照式中变量之间运算一个逻辑函数的最简表达式，按照式中变量之间运算关系的不同，分为最简与或式、最简与非与非式、最关系的不同，分为最简与或式、最简与非与非式、最简或与式、最简或非或非式、最简与或非式五种。简或与式、最简或非或非式、最简与或非式五种。二、二、逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式 1 1、最简与或式、最简与或式 定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式。个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式。例如：例如：显然，在函

23、数显然，在函数Y的各个与或表达式中，式的各个与或表达式中，式()()是最简的，是最简的，因为它符合最简与或表达式的定义。因为它符合最简与或表达式的定义。2 2、最简与非与非式、最简与非与非式 定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非与非表达式，称为最简与非与非表达式。少的与非与非表达式，称为最简与非与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。量。例例1.2.31.2.3：写出函数：写出函数 的最简与非与非表的最简与非与非表达式。达式。在最简与或表达式的基础上，两次取反

24、，再用摩根定在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非与非表理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非与非表达式。达式。解：解：式（）就是函数式（）就是函数Y的最简与非与非表达式。的最简与非与非表达式。3 3、最简或与式、最简或与式 定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与式，称为最简或与表达式。最少的或与式，称为最简或与表达式。例例1.2.41.2.4：写出函数：写出函数 的最简或与表达式。的最简或与表达式。在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根在反函数最简与或表达式的基础上，取反

25、，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，直接写出函数的最简或与式。直接写出函数的最简或与式。解：解：式（）就是函数式（）就是函数Y Y的最简或与表达式。的最简或与表达式。4 4、最简或非或非式、最简或非或非式 定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少的或非或非表达式，称为最简或非或非表达式。的或非或非表达式，称为最简或非或非表达式。例例1.2.51.2.5：写出函数：写出函数 的

26、最简或非或非表的最简或非或非表达式。达式。在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非或理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非或非表达式。非表达式。解：式（）就是函数式（）就是函数Y的最简或非或非表达式。的最简或非或非表达式。5 5、最简与或非式、最简与或非式 定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与或非表达式。或非表达式。例例1.2.61.2.6：写

27、出函数：写出函数 的最简与或非表达式的最简与或非表达式。在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可。当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可。解：解：式（）就是函数式（）就是函数Y的最简与或非表达式。的最简与或非表达式。从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其他

28、几种类型的最简式。因当变换，就可以获得其他几种类型的最简式。因此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方法。至于给定函数的表达式不是与或表达式的方法。至于给定函数的表达式不是与或式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化简的理所当然地应顺便化简。简的理所当然地应顺便化简。最简最简或与式或与式最简最简与或非式与或非式相互转换的例子相互转换

29、的例子最简最简与或式与或式 最简最简与非与非-与非式与非式最简最简或非或非-或非式或非式 例例 1 例例 2 1.2.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法（与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理或或或或 例例 3 例例 4 冗余项冗余项冗余项冗余项综合练习：综合练习：1.2.3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：卡诺图：最小项方格图最小项方格图1.变量卡诺图的画法：变量卡诺图的画法：按循环码来排列变量的取值顺序按循环码来排列变量的取值顺序三位二进制码三位二进制码 三位循环码三位循环码B2

30、B1B0 G2G1G0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 1 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0G0=B1 B0G1=B2 B1G2=B3 B2相邻两组取值，只有一位发生变化 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图(四个最小项四个最小项)ABAB0101三变量三变量 的卡诺图的卡诺图（八个最小项）（八个最小项）0001 11 1001ABCm0m1m2m3m4m5m6m7五变量五变量 的卡诺图的卡诺图：四变量四变量 的卡诺图的卡诺图十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11

31、10ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项几几何何相相 邻邻相接相接 紧挨着紧挨着相对相对 任一行或任一行或 列的两头列的两头相重相重 对折起来对折起来 后重合后

32、重合几何几何相邻相邻2.卡诺图的特点：卡诺图的特点：逻辑相邻：逻辑相邻：例如例如两个最小项，除了一个变量的形式不同外，两个最小项，除了一个变量的形式不同外，其余的都相同。其余的都相同。每个小方块表示一个最小项，在卡诺图每个小方块表示一个最小项，在卡诺图中，凡是中，凡是几何相邻几何相邻的最小项，在的最小项，在逻辑逻辑上上都是都是相邻相邻的，而的，而逻辑相邻逻辑相邻的最小项是可的最小项是可以合并的。以合并的。0001 11 1001ABCm0m1m2m3m4m5m6m7几几何何相相邻邻几何几何相邻相邻逻辑逻辑相邻相邻逻辑逻辑相邻相邻3.合并规律：合并规律：2n 个最小项合并成一项可以消去个最小项合

33、并成一项可以消去 n 个变量个变量(1)两个最小项合并可以消去一个变量两个最小项合并可以消去一个变量ABC010001 11 100432ABCD0001111000 01 11 101946(2)四个相邻最小项合并可以消去两个变量四个相邻最小项合并可以消去两个变量ABCD0001111000 01 11 1004128321110ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810(3)八个相邻最小项合并可以消去三个变量八个相邻最小项合并可以消去三个变量ABCD0001111000 01 11 1004128321110ABCD0001111000 01 11 1057

34、13 15B02810151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去 n 个个变量变量总结：总结：二、逻辑函数的卡诺图表示法二、逻辑函数的卡诺图表示法1.根据变量个数画出相应的卡诺图；根据变量个数画出相应的卡诺图；2.将函数化为最小项之和的形式；将函数化为最小项之和的形式；3.在最小项对应的位置填在最小项对应的位置填 1，其余位置填，其余位置填 0 或不填。或不填。例例1 ABC010001 11 1011110000 例例2 ABCD0001111000 01 11 101111熟练以后，也可以不熟练以后，也可以不展开成最小项，直接展开成最小项，直接由函数的与或

35、式画出由函数的与或式画出卡诺图。卡诺图。三、三、用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 例例 1 ABCD0001111000 01 11 1011111111 解解 用卡诺图化简逻辑函数应注意：用卡诺图化简逻辑函数应注意：(1)圈越大越好。圈越大越好。(2)每个圈中至少应有一个新的最小项。每个圈中至少应有一个新的最小项。(3)必需把全部最小项圈完。必需把全部最小项圈完。（4）四角可合并。）四角可合并。例例 2 解解 ABCD0001111000 01 11 1011111111利用图形法化简函数利用图形法化简函数多余多余利用图形法化简函数利用图形法化简函数 例例 3 解解 ABCD0001

36、111000 01 11 101111111111 例例 4 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式 解解 ABC010001 11 1011110000 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项的最小项1.2.4 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、一、约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(1)约束：约束：变量取值所受的限制变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A=1 表示升表示升，B=1 表示降表示降，C=1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2)约束项

37、：约束项：不允许出现的变量取值所对应的最小项。不允许出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件(3)约束条件：约束条件：(2)在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式。逻辑表达式。约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或2.约束条件的表示方法约束条件的表示方法(1)在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号()表示。表示。例如，上例中例如，上例中

38、ABC 的不可能取值为的不可能取值为二、二、具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 例例 1 化简逻辑函数化简逻辑函数ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000(2)合并最小项，合并最小项，画圈时画圈时 既既可以当可以当 1，又可以当，又可以当 0(3)写出最简与或表达式写出最简与或表达式 解解 Why?(1)画函数的卡诺图画函数的卡诺图 例例 2 化简逻辑函数化简逻辑函数约束条件约束条件 解解 (1)画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111(2)合并最小项合并最小项(3)写出最简与或表达式写出最简与或表

39、达式 1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 及其相互之间的转换及其相互之间的转换1.3.1 几种表示函数的方法几种表示函数的方法一、逻辑表达式一、逻辑表达式优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。算、变换。缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。值看出函数的值。二、真值表二、真值表ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。辑问题抽象成数学表达

40、式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐。三、卡诺图三、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式。与或表达式。缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。于进行运算和变换。四、逻辑图四、逻辑图ABYC&优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算不能进行运算和变换。和变换。&1五、波形图五、波形图输入变量和对应的

41、输出变量随输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形时间变化的波形AY 例例 1 例例 2 ABY1.3.2 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 1 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上中，必须有两人以上(必必有主裁判有主裁判)认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试举才算成功。举才算成功。(1)真值表真值表函数式函数式 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y=1 的的输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加

42、，即得加，即得 Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函数式函数式卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000(2)函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&1真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图0110ABY00011011BA&作业作业:题题1.2(2)1.2(2)题题1.3（1）题题1.5（3）题题1.7题题1.12（2）题题1.13（1）补充：具有约束的逻辑函数的化简补充：具有约束的逻辑函数的化简(难点）难点）1 1、无无关关最最小小项项：一一个个逻逻辑辑函函数数,

43、如如果果它它的的某某些些输输入入变变量量取取值值组组合合因因受受特特殊殊原原因因制制约约而而不不会会出出现现,或或者者虽虽然然每每种种输输入入取取值值组组合合都都可可能能出出现现,但但此此时时函函数数取取值值为为1 1还还是是为为0 0无无关关紧紧要要,那那么么这这些些输输入入取取值值组组合合所所对对应应的的最最小小项项称称为为无无关关最最小小项项。无无关关最最小小项项用用“d d”或或者者“”表表示。示。2 2、具具有有约约束束的的逻逻辑辑函函数数是是一一种种包包含含无无关关最最小小项项的的逻逻辑函数辑函数。3 3、具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 由于在无关项的相应取值下，

44、函数值随意取成由于在无关项的相应取值下，函数值随意取成0 0或或1 1都都不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项其值可以取其值可以取1 1，也可以取，也可以取0 0来化简逻辑函数，即采用卡诺来化简逻辑函数，即采用卡诺图化简函数时，可以利用图化简函数时，可以利用来扩大卡诺圈。来扩大卡诺圈。因为一个最小项只有当它所对应的变量取值出现时，因为一个最小项只有当它所对应的变量取值出现时，其值才会为其值才会为1，而约束项的变量取值是不会出现的，其值，而约束项的变量取值是不会出现的，其值总是总是0。在一个逻辑表达式中加上或是去掉。在一个逻辑表达式中加

45、上或是去掉0，其值不会影，其值不会影响。响。为什么约束项在逻辑函数化简中可以当成任为什么约束项在逻辑函数化简中可以当成任意项处理？意项处理？几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换 逻辑函数的几种表示在本质上是相通的，可以互相转逻辑函数的几种表示在本质上是相通的，可以互相转换。其中最基本的真值表与逻辑图之间的转换。换。其中最基本的真值表与逻辑图之间的转换。一、由一、由真值表到逻辑图的转换真值表到逻辑图的转换 1 1、一般步骤、一般步骤 根据真值表写出函数的与或表达式或画出函数的卡根据真值表写出函数的与或表达式或画出函数的卡诺图。诺图。用公式法或者图形法进行化简，求出函数的最简与用公式法或者

46、图形法进行化简，求出函数的最简与或表达式。或表达式。根据表达式画逻辑图，有时还要对与或表达式做适根据表达式画逻辑图，有时还要对与或表达式做适当变换，才能画出所需要的逻辑图当变换，才能画出所需要的逻辑图 2 2、转换举例、转换举例 例：输出变量例：输出变量Y是输入变量是输入变量A、B、C的函数，当的函数，当A、B、C取值中有奇数个取值中有奇数个1时时Y=1，否则，否则Y=0，而且，而且输入变量取输入变量取值不会出现全为值不会出现全为0 0的情况。的情况。解：根据题意可以列出真值表，如表所示。解：根据题意可以列出真值表，如表所示。写表达式：写表达式：进行化简：用公式法化简得进行化简：用公式法化简得

47、11010010 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA B C 如果要用与非运算逻辑符如果要用与非运算逻辑符号画逻辑图，则应先将最简号画逻辑图，则应先将最简与或式转换成最简与非与与或式转换成最简与非与非式，如下非式，如下(132)(131)根据式（根据式（131131）可画）可画出逻辑图如图（出逻辑图如图（a a）所示。）所示。根据式（根据式（132132）可画出）可画出逻辑图如图（逻辑图如图（b b）所示。）所示。二、由二、由逻辑图到真值表的转换逻辑图到真值表的转换 1 1、一般步骤、一般步骤 从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，从输入到

48、输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，写出输出变量（函数）的逻辑表达式。写出输出变量（函数）的逻辑表达式。进行化简，求出函数的最简与或表达式。进行化简，求出函数的最简与或表达式。将变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出将变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出函数的真值表。函数的真值表。2 2、转换举例、转换举例 例：逻辑图如图所示，列出输出信号例：逻辑图如图所示，列出输出信号Y的真值表。的真值表。解：设中间变量为解：设中间变量为P P，由图可得，由图可得 将将 代入上式，得代入上式，得011010010 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA

49、B C 上式是上式是Y Y的标准与或式，与真值表有简的标准与或式，与真值表有简单而直接的对应关系。单而直接的对应关系。Y Y的真值表如右表的真值表如右表所示。所示。本章小结本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律有的和普通代数类似，如交换律、结合定律有的和普通代数类似，如交换律、结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻辑代数中无减法和除法。辑代数中无减法和除法。逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，

50、即即 0 或或 1。须注意：。须注意：逻辑代数中的逻辑代数中的 0 和和 1 并并不表示数量大小，仅用来表示两种截然不不表示数量大小，仅用来表示两种截然不同的状态。同的状态。正逻辑体制规定高电平为逻辑正逻辑体制规定高电平为逻辑 1、低电平为、低电平为逻辑逻辑 0；负逻辑体制则规定低电平为逻辑负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑高电平为逻辑 0。未加说明则默认为正逻辑。未加说明则默认为正逻辑体制。体制。基基本本逻逻辑辑运运算算有有与与运运算算(逻逻辑辑乘乘)、或或运运算算(逻逻辑辑加加)和和非非运运算算(逻逻辑辑非非)3 种种。常常用用复复合合逻逻辑辑运运算算有有与与非非运运算算、或或