数学分析(华东师大版)上第五章.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 导数是微分学的核心概念,是研究函数1 导数的概念 一、导数的概念化率”,就离不开导数.三、导数的几何意义 二、导函数态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、导数的概念一般认为一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的牛顿牛顿(16421727,英国英国)两个关于导数的经典例子两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的切线时发现导数的.下面是下面是微分学产生的三个

2、源头微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动,质点的位置质点的位置 s 是是当当 t 越来越接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数,即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某(1)时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.严格地说严格地说,当极限当极限时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是返回返回返

3、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示,存在时存在时,这个极限就是质点在这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.其上一点其上一点 P(x0,y0)处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示点点 Q,作曲线的割线作曲线的割线 PQ，这，这PT.为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y=f(x)在在 条割线的斜率为条割线的斜率为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页答答:它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.的极限若存在，则这个极限的极限若存在，则这个极限会是什

4、么呢？会是什么呢？设想一下设想一下,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，(2)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于处关于 x 的瞬时变化率的瞬时变化率(或简称变化率或简称变化率).均变化率，增量比的极限均变化率，增量比的极限(如果存在如果存在)称为称为 f 在点在点的极限的极限.这个增量比称为函数这个增量比称为函数 f 关于自变量的平关于自变量的平 D D y=f(x)f(x0)与自变量增量与自变量增量 D D x=x xo 之比之比一类型的数学问题：一类

5、型的数学问题：求函数求函数 f 在点在点 x0 处处的增量的增量返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内有定有定义，如果极限义，如果极限存在存在,则称函数则称函数 f 在点在点 x0 可导可导,该极限称为该极限称为 f 在在如果令如果令 D Dx=x x0,D Dy=f(x0+D Dx)f(x0),导数导数就就x0 的的导数导数，记作，记作可以写成可以写成返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明导数是函数增量这说明导数是函数增量 D D y 与自变量增量与自变量增量 D D x之比之比例例1 求函数

6、求函数 y=x3 在在 x=1 处的导数，并求该处的导数，并求该曲曲线在点线在点 P(1,1)的切线方程的切线方程.解解的极限的极限,即即就是就是 f(x)关于关于 x 在在 x0 处的变化处的变化点点 x0 不可导不可导.率率.如果如果(3)或或(4)式的极限不存在式的极限不存在,则称则称 在在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可知曲线由此可知曲线 y=x3 在点在点 P(1,1)的切线斜率为的切线斜率为所以所以于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 常量函数常量函数 f(x)=c 在任何一点在任何一点 x 的导数的导

7、数都为都为例例3 证明函数证明函数 f(x)=|x|在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为因为时它的极限不存在时它的极限不存在,所以所以 f(x)在在 x=0当当零零.这是因为这是因为 D Dy 0，所以，所以处不可处不可导导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 证明函数证明函数在在 x=0 处不可导处不可导.不存在极限不存在极限,所以所以 f 在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为当因为当 时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(5)式称为式称为 f(x)在点在点 x0 的有限增量公式的有限增量公式,这个公这个公有限增量公式有限增量公式 设设 f(

8、x)在点在点 x0 可导，则可导，则这样这样,函数函数 f(x)的增量可以写成的增量可以写成根据有限增量公式即可得到下面定理根据有限增量公式即可得到下面定理.时的时的无穷小量无穷小量，于是于是 D D x=o(D D x).是当是当式对式对 D Dx=0 仍然成立仍然成立.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理5.1 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 可导可导,则则 f 在点在点 x0连续连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中其中 D(x)是熟知的狄利克雷函数是熟知的狄利克雷函数.例例5 证明函数证明函数 仅在仅在

9、x=0 处可导处可导,处连续，却不可导处连续，却不可导.导的必要条件导的必要条件.如例如例3、例、例4 中的函数均在中的函数均在 x=0返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页不连续不连续,由定理由定理 5.1,f(x)在点在点 x0 不可导不可导.由于导数是一种极限由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样因此如同左、右极限那样,所以有所以有当当 x0=0 时时,因为因为证证 当时当时,用归结原理容易用归结原理容易证明证明 f(x)在点在点 x0 可以定义左、右导数可以定义左、右导数(单侧导数单侧导数).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页存在，则称该极限为存在，则称该极

10、限为 f(x)在点在点 x0 的右导数的右导数,记作记作类似地可以定义左导数类似地可以定义左导数,合起来即为合起来即为:上有定义，如果右极限上有定义，如果右极限定义定义2 设函数设函数 y=f(x)在点在点 的某个右邻域的某个右邻域返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页右导数和左导数统称为单侧导数右导数和左导数统称为单侧导数.定理定理5.2 如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 的某个邻域内的某个邻域内有有在讨论分段函数在分段点上的可导性时在讨论分段函数在分段点上的可导性时,本结论本结论定义，则定义，则存在的充要条件是存在的充要条件是都存在，且都存在，且很有用处，请看下面例题

11、很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：类比左、右极限与极限的关系，我们有：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 设设试讨论试讨论 f(x)在在 x=0 处的左、右导数和导数处的左、右导数和导数.解解 容易看到容易看到 f(x)在在 x=0 处连续处连续.又因又因 所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故故 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、导函数如果函数如果函数 f 在区间在区间 I 上的每一点都可导上的每一点都可导(对于区间对于区间(7)即即导函数，简称导数导函数，简称导数,记

12、作记作定义了一个在区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为上的函数，称为 f 在在 I 上的上的则称则称 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数.此时此时,对对 I 上的任上的任端点考虑相应的单侧导数端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数如左端点考虑右导数),仅为一个记号，学了微分之后就会知仅为一个记号，学了微分之后就会知注注 这里这里意一点意一点 x 都有都有 f 的一个导数的一个导数 与之对应与之对应,这就这就返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页道，这个记号实质是一个道，这个记号实质是一个“微分的商微分的商”.例例7 求函数求函数 y=xn 的导数，的导数，n为正整

13、数为正整数.解解 由于由于 相应地，相应地，也可表示为也可表示为因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 证明证明:我们只证明我们只证明(i)的第二式和的第二式和(iii).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 (i)由于由于上的连续函数，所以上的连续函数，所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)由于由于因此因此特别有特别有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、导数的几何意义切线的方程是切线的方程是记记 a a 为为切线与切线与 x 轴正向的夹角，则轴正向的夹角，则f(x0)=tana.a.(8)在用几何问题引出导数概念

14、时在用几何问题引出导数概念时,已知已知 是曲线是曲线处切线的斜率处切线的斜率.在点在点所以该所以该返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可知由此可知,f(x0)0 说明说明 a a 是锐角是锐角;f(x0)0,使得使得(9)再由再由 ,得得 于是于是(9)式成式成立立.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据例根据例11，可得如下重要定理：，可得如下重要定理：设函数设函数 f 在点在点 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,且在点且在点 x0 可可定理定理 5.3(费马定理费马定理)导导.如果如果 x0 是是 f 的极值点，则必有的极值点，则必有使得使得类似地，若类

15、似地，若上述定理的几何意义：如果上述定理的几何意义：如果 f 在极值在极值 x=x0 处处可可导，则该点处的切线平行于导，则该点处的切线平行于 x 轴轴.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称满足方程称满足方程 f (x)=0 的点为的点为 f 的的稳定点稳定点.注注 稳定点不一定都是极值点，如稳定点不一定都是极值点，如 x=0 是是 y=x3不是稳定点不是稳定点(因为它在因为它在 x=0 处不可导处不可导).都是稳定点都是稳定点,如如 x=0 是是 y=|x|的极小值点的极小值点,但但的稳定点的稳定点,但不是极值点但不是极值点.反之反之,极值点也不一定极值点也不一定返回返回返回返

16、回后页后页后页后页前页前页前页前页费马费马 (Fermat,P.1601-1665,法国法国 )达布达布(Darboux,J.G.1842-1917,法国法国)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理5.4(达布定理达布定理)是介是介如果如果 f 在在 a,b 上可导，且上可导，且之间的任一实数，则至少存在之间的任一实数，则至少存在证证 令令 F(x)=f(x)kx,则则 F (x)=f (x)k.根据根据费马定理费马定理,只要证明只要证明 F(x)在在(a,b)上有极值点即可上有极值点即可.由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使得使得由此可知由此可知,a,

17、b 上上的连续函数的连续函数 ,其其最大值必在最大值必在 由费马定理得由费马定理得 ,即即定是极大值定是极大值,某一点某一点 c (a,b)处处取得取得.区间内取得的最大值一区间内取得的最大值一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题3.举出一个函数举出一个函数 ,它满足它满足但但 不是它的垂直切线不是它的垂直切线.4.举出一个函数举出一个函数 ,要求它可导要求它可导,但但 不不连连 续续.试问这种不连续的导函数是否仍有介值性试问这种不连续的导函数是否仍有介值性?2.给出函数给出函数 f(x)在点在点 x0 不可导的不可导的“”定义定义.1.给出函数给出函数 f(x)在点在点 x0 可导的可导的“”定义定义.