数学物理方法ppt.ppt

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1、 数学物理方法 复变函数论5/30/20231徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数论n复数n复变函数n导数n解析函数n本章小结5/30/20232徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复数n数的扩张（完善化）q自然数q减法不封闭整数q除法不封闭有理数q不完备 实数q方程可解性复数5/30/20233徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复数n复数的表示q代数表示nz=x+iyqx=Real(z),y=Imagine(z)q三角表示nz=r(cos+i sin)qr=|z|,=Arg(z)q指数表示nz=r exp(i)qexp(i)=cos+i sin5/30/20234徐州工程学院 数理方法教

2、案 滕绍勇复数q几何表示q关系nx=r cosny=r sinnr=(x2+y2)n=Arctan(y/x)n特点q无序性n复数无大小q矢量性n复数有方向5/30/20235徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复数n运算q加减法n(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)q乘除法nr1exp(i1)r2exp(i2)=r1r2 expi(1+2)q幂和开方nr exp(i)n=rn exp(in)nr exp(i)1/n=r1/n exp(i/n)q复共轭nz=x+iy z*=x iynz=r exp(i)z*=r exp(-i)5/30/20236徐州工程学院 数理方法教案

3、 滕绍勇复变函数n概念q定义n函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射n实变函数：f:xyn复变函数：f:zwq举例nf(n)=fn=(1+i)n,nNnf(z)=znnf(z)=exp(z)nf(z)=ln(z)5/30/20237徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q更多的例子nw=az2nw=az2+bz+cnw=1/(az+b)nw=(az+b)nw=Ln(az+b)nw=sin znw=Arccos znw=an znnw=an sin(nz)nw=(1-z2/n22)nw=exp(-z2)dz5/30/20238徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数5/30/

4、20239徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数n分析与比较q定义域和值域n相同点：q都是数集n不同点：q实数集是一维的，可以在(直)线上表示；q复数集是二维的，必须在(平)面上表示。n典型例子：q|x|2 是连通的，1|x|是不连通的；q|z|2是单连通的，1|z|是复连通的。5/30/202310徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q映射n相同点q在形式上：y=f(x),w=f(z)n不同点q在变量上：z=x+iy,w=u+ivq在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。n联系qu=u(x,y),v=v(x,y)q可以用两个曲面分别表

5、示复变函数的实部与虚部。5/30/202311徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q结构n相同点：q复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。n不同点：q基本实变函数xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)q基本复变函数zn,z1/n,exp(z),ln(z)q原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i5/30/202312徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数n基本函数q二次函数n定义qw=z2n分析qu+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2 qu=x2-y2,qv=2xyn性质q对称性q无周期性q无界

6、性q单值性5/30/202313徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q三次函数n定义qw=z3n分析qu+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3 qu=x3 3xy2,qv=3x2y-y3 n性质q对称性q无周期性q无界性q单值性5/30/202314徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q指数函数n定义qw=exp(z)n分析qu+iv=exp(x+iy)=exp(x)cosy+i sinyqu=exp(x)cos y,qv=exp(x)sin yn性质q不对称性q周期性exp(z+2i)=exp(z)q无界性q单值性5/30/202315徐州工程学院 数理方法教

7、案 滕绍勇复变函数q对数函数n定义qw=Ln(z)n分析qu+iv=Ln r exp(i)=ln r+i qu=ln r,qv=n性质q对称性q非周期性q无界性q多值性：|5/30/202316徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数q三角函数n定义qw=sin(z)n分析qu+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)+i cos(x)sh(y)qu=sin(x)ch(y),qv=cos(x)sh(y)n性质q对称性q周期性q无界性q单值性5/30/202317徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数的导数n基本概念实变函数复变函数极限连续导数5/30/202318徐州工程学院 数

8、理方法教案 滕绍勇复变函数的导数n可导条件q分析qC-R条件nux=vy nvx=-uyq充要条件n偏导数 ux，vy，vx，uy 连续n满足C-R条件q意义n可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。5/30/202319徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数的导数n典型情况q初等函数在定义域内都可导；q函数Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。n导数的计算q法则：n复变函数的求导法则与实变函数完全相同；q例子：n(sin2z)=2 sin z cos znexp(z2)=2 z exp(z2)n (z3)”=6 z5/30/202320徐州工程学院 数理方

9、法教案 滕绍勇复变函数的导数n导数的意义q微商表示nf(z)=dw/dz q模：n|f(z)|=|dw|/|dz|q幅角：nArgf(z)=Arg(dw)-Arg(dz)5/30/202321徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇解析函数n定义q点解析n函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导q区域解析n函数f(z)在区域B上每一点都解析n性质q调和性n解析函数的实部与虚部都是调和函数，n即 u=uxx+uyy=0,v=vxx+vyy=0q正交性n解析函数的实部与虚部梯度正交，n即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0n或曲线 u(x,y)=C1,v(x,y)=C2 相

10、互垂直。5/30/202322徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇解析函数n应用q例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。q分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。q解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得qvx=-uy=2y,vy=ux=2xqdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)qv=2xyq注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C5/30/202323徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇解析函数q例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。q分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势

11、表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。q解：设电势为 u=f(x2+y2)qux=2xf,uxx=2f+4x2f”quy=2yf,uyy=2f+4y2f”quxx+uyy=4f+4(x2+y2)f”=0q令 t=x2+y2,g=f(t)g+t g=0qg=-ln t+Cqf=5/30/202324徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇解析函数q例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。q分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。q解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得qvx=-uy=2y,vy=ux=2x

12、qdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)qv=2xyq注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C5/30/202325徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇本章小结n复变函数q定义：两个复数集合之间的映射；q特点：定义域和值域为2维；n定义域出现复连通现象；n不能用一个图形完全描述；n极限存在的要求提高；q分析：可以分解成2个二元实函数；n解析函数q满足CR条件；q实部和虚部都是调和函数，相互正交。5/30/202326徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇数学物理方法复变函数的积分5/30/202327徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复变函数的积分n路积分n柯西定理n不定积

13、分n柯西公式n本章小结5/30/202328徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分n路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质5/30/202329徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分n路积分的计算q思路n化复为实q公式InC f(z)dz=C(u+iv)(dx+idy)n =C(udx-vdy)+iC(udy+vdx)q公式IInC f(z)dz=C(u+iv)(eidr+i r eid)n =C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr)5/30/202330徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分q例题1n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。解：5/30/

14、202331徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分q例题2n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C z2dz从O到B的定积分。解：5/30/202332徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分q例题3n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C Re(z)dz从O到B的定积分。解：5/30/202333徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇路积分q例题4n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从O到B的定积分。解：5/30/202334徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西定理n积分规律的探究q归纳n如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。q猜想n如果函数f(

15、z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l的路积分有：n 证明（见教材）5/30/202335徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西定理n推广q规律n闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。q公式n统一表述解析函数沿所有边界线正向积分为零；起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。5/30/202336徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西定理n例题q计算积分n解：如a不在L内，I=0当a在L内时，如 n 0，I=0；如 n 无限次可导。q应用n理论上q模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；q

16、刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。n计算上q简化路积分的计算。5/30/202342徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西公式n应用举例q例1n问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式5/30/202343徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西公式q例2n问题：计算回路积分 分析：与推广的柯西公式比较，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1 解：由推广的柯西公式5/30/202344徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇柯西公式q例3n问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=，a=n例4问题：计算回路积分 分析：5

17、/30/202345徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇本章小结n路积分q复变函数的路积分可分解为2个线积分；q一般情况下，路积分与积分路径有关；n柯西定理q在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；q在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。n柯西公式5/30/202346徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇数学物理方法幂级数展开5/30/202347徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数展开n复级数n幂级数和泰勒展开n双边幂级数和罗朗展开n孤立奇点n本章小结5/30/202348徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复级数n复数项级数q形式：i=1 ui

18、 q通项：ui 为复数q部分和：sn=n ui q和：s=lim sn q余项：rn=s-sn=un+1+un+2+q收敛：s 存在n0,N(),s.t.nN()=|s-sn|收敛5/30/202349徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复级数n收敛性判别法q级数ni=1 uiq比值法n=limk|uk+1/uk|n1，发散。q根值法n=limk|uk|1/kn1，发散。n例：判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qnn解：1.比值法=|q|q|1，发散。2.根值法=|q|limk|a0|1/k=|q|q|1，发散。5/30/202350徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇复级数n复函项级数q形式：

19、i=1 ui(z)q通项：ui(z)q部分和函数：sn(z)=i=1n ui(z)q和函数：s(z)=lim sn(z)q收敛域：z|s(z)存在 n定义：0,N(,z),s.t.nN(,z)|s(z)-sn(z)|0,N(),s.t.nN()|s(z)-sn(z)|n性质：q各项连续和连续，和的积分=各项积分之和；q各项可导和可导，和的导数=各项导数之和5/30/202351徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数和泰勒展开n幂级数q形式：ns(z)=k=0 ak(z-b)kq收敛域：nR=limk|ak/ak+1|n=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/Rn

20、|z-b|R R 1，发散。q一致收敛性：ns(z)dz=k=0 ak(z-b)k dzn s(z)=k=0 ak(z-b)k5/30/202352徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数和泰勒展开n泰勒展开q问题：n一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？q泰勒定理：n一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z)=k=0 ak(z-b)kn该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；n以b为中心的展开式是唯一的；n系数 ak=f(n)(b)/n!n应用柯西积分公式，系数也可以表示为5/30/202353徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数和泰勒展开n展开方法q基本方法

21、（用定理）nf(z)=k=0 ak(z-b)k，an=f(n)(b)/n!q例1：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。n解答：qf(z)=exp(z)qf(n)(z)=exp(z)qf(n)(0)=1qan=1/n!qf(z)=k=0 zk/k!q该幂级数在圆|z|内收敛；5/30/202354徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数和泰勒展开q例2：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。n解答：qf(z)=1/(1-z)qf(z)=1/(1-z)2qf”(z)=2/(1-z)3qf(n)(z)=n!/(1-z)n+1qf(n)(0)=n!qan=1qf

22、(z)=k=0 zkq该幂级数在圆|z|1内收敛；5/30/202355徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇幂级数和泰勒展开q发散方法（用性质）n线性组合的展开=展开之线性组合。n和函数的积分=各项积分之和；n和函数的导数=各项导数之和；q例3：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。n解答：qcosh(z)=exp(z)+exp(-x)/2qexp(z)=k=0 zk/k!qexp(-z)=k=0 (-z)k/k!qcosh(z)=k=0 zk/k!+(-z)k/k!/2 =k=0 z2k/(2k)!q该幂级数在圆|z|内收敛；5/30/202356徐州工程学院 数理方法教案

23、 滕绍勇幂级数和泰勒展开q例4：n题目：q在b=0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z)展开。n解答：qln(1-z)=-(1-z)-1dzq(1-z)-1=k=0 zkqln(1-z)=-k=0 zk dz=-k=0 zk+1/(k+1)q例5：n题目：q在b=0 的邻域上把 f(z)=(1-z)-2 展开。n解答：q(1-z)-2=(1-z)-1q(1-z)-1=k=0 zkq(1-z)-2=k=0 zk=k=0 k zk-15/30/202357徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇双边幂级数和罗朗展开n负幂级数q形式：ns(z)=k=0 ak(z-b)-kq收敛域：nt=1/|z-b|n|

24、t|=1/|z-b|R=1/Rn双边幂级数q形式：ns(z)=k=-ak(z-b)kq分析n双边幂级数=正幂级数+负幂级数q收敛域：nR|z-b|R5/30/202358徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇双边幂级数和罗朗展开n罗朗展开q问题：n一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？q罗朗定理：n一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数 f(z)=k=ak(z-b)kn该幂级数在环R1|z-b|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。n解答：qcosh(z)=k=0 z2k/(2k)!qcosh(z)/z=k=0 z2k-1/(2k)!q例2：n题目：q

25、在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。n解答：qexp(t)=k=0 tk/k!qexp(1/z)=k=0 z-k/k!5/30/202360徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇双边幂级数和罗朗展开q例3：n题目：q以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。n分析q因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,q所以它以b=0为中心的解析环有两个q0|z|1和1|z|，需要分别展开n解答：q在环域0|z|1中q f(z)=1/z(z-1)=-1/z(1-z)=-1/z k=0 zkq =-k=0 zk-1q在环域 1|z|中q f(z)=1/z(z-1)=1/z2(1-z-1)=1

26、/z2k=0 z-k q =k=0 z-k-25/30/202361徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇孤立奇点n概念q奇点：n定义：函数的非解析点；n举例：csc(z)在z=n,csc(1/z)在z=0，1/n；n判断：初等函数在其定义域内解析；q孤立奇点：n定义：存在解析邻域的奇点；n举例：csc(z)在z=n为孤立奇点,csc(1/z)在z=0为非孤立奇点；n特点：本身无定义，对周围有影响；n判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；5/30/202362徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇孤立奇点n分类q原则：n根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；q分类：n极限为有限值，称为

27、可去奇点，例如 sinz/z；n极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn；n极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z)；q性质n 奇点 邻域罗朗展开式n可去奇点：无负幂项；n(n阶)极点：有限个负幂项，(最高为n次)；n本性奇点：无限多个负幂项；5/30/202363徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇本章小结n双边幂级数q形式：s(z)=k=-ak(z-b)kq性质：在环域内一致收敛n罗朗展开q条件：在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)q定理：可以展开为双边幂级数 f(z)=k=ak(z-b)kn孤立奇点q可去奇点：极限有限，邻域展开式无负幂项；q(n阶)极点：极限无

28、穷，邻域展开式有有限个负幂项；q本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。5/30/202364徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇数学物理方法留数定理5/30/202365徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理n留数定理n留数定理的应用n本章小结5/30/202366徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理n留数q引入n问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？n方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。q定性定义n复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果；当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下；当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常

29、为一个非零值；q定量定义5/30/202367徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理n留数的计算q一般情况n孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；nRes f(z0)=a-1q证明5/30/202368徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理q极点情况nm阶极点的留数由下面的公式确定n证明5/30/202369徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理q单极点情况n单极点的留数由下面的公式确定如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z),P(z0)0，则有5/30/202370徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理q例1n问题：计算函数 f(z)=z2 exp(

30、1/z)的留数。n解：f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点，在该点罗朗展开n例2问题：计算函数 f(z)=sin(z)/(z-1)2 的留数。解：f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点，应用公式5/30/202371徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理q例3n问题：计算函数 f(z)=exp(z)/z(z-1)的留数。n解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点，应用公式又解：也可以用单极点的简化公式5/30/202372徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理n留数定理q定理n设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，在对应的闭区域上除z

31、1,z2,zn外连续，则n应用步骤确定回路L内的孤立奇点；判断留数定理的条件是否满足；计算各孤立奇点的留数；代入定理。5/30/202373徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用n基本应用q例题1：计算下列回路积分解：奇点为5/30/202374徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用n实变函数的定积分q基本思想n变形法：变线段为封闭曲线；n辅助线法：加辅助线使线段封闭。q类型一n被积函数是三角函数的有理式5/30/202375徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用解：作变量变换n例题2：计算下列定积分5/30/202376徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理

32、的应用q类型二n被积函数是有理分式的广义积分其中：分母在实轴上没有零点；分母比分子高两次或以上。则：证明：5/30/202377徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用解：被积函数是有理式，分母比分子高4次，在实轴无零点，满足定理的条件。上半平面内有单极点z=i和z=2i，对应的留数分别为：n例题3：计算下列定积分5/30/202378徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用q类型二的推广 In被积函数是有理分式的广义积分其中：分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高两次或以上。则：5/30/202379徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用解：被积函数是有理式，分母比分

33、子高3次，在实轴有一阶零点，满足定理的推广条件。上半平面有单极点z=2i，实轴有单极点z=1，对应留数：n例题4：计算下列定积分5/30/202380徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用q类型二的推广 IIn被积函数是广义积分其中：f(x)为有理式 分母在实轴上没有零点；分母比分子高一次或以上。则：证明：5/30/202381徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用解：上面的积分可以化为标准形式n例题5：计算下列定积分被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点z=5i，对应的留数为：5/30/202382徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇留数定理的应用q类型二的推广IIIn

34、被积函数是广义积分其中：f(x)为有理式 分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高一次或以上。则：例题6：计算下列定积分5/30/202383徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇本章小结n概念q留数：回路积分留下的数；n计算q单极点：q一般极点：q一般孤立奇点：n应用q直接应用n计算回路积分；q间接应用n计算三角有理式的积分；n计算有理式的广义积分及其推广。5/30/202384徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇数学物理方法傅立叶变换5/30/202385徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n傅立叶级数n傅立叶变换n狄拉克函数n本章小结5/30/202386徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇

35、傅立叶级数n三角级数q定义n由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数n基本函数族组成：1，cos(nx)，sin(nx)性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；5/30/202387徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数n傅立叶展开q傅立叶展开定理：n周期为2的函数f(x)可以展开为三角级数，n展开式系数为n狄利克雷收敛定理 收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；在一个周期内至多只有有限个极值点。收敛结果当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。5/30/202388徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级

36、数q展开举例n对称函数q对奇函数：对偶函数：函数展开式sgn(x)(4/)(sin x+sin3x/3+sin5x/5+)x 2(sin x sin2x/2+sin3x/3 sin4x/4+sin5x/5+)|x|/2 (4/)(cos x+cos3x/32+cos5x/52+)典型周期函数(周期为2)5/30/202389徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数q傅立叶展开的意义：n理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；n应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。n例如：对称方波的傅立叶展开5/30/202390徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇5/30/202391徐州

37、工程学院 数理方法教案 滕绍勇5/30/202392徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数q重要推广n推广1：q问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：q方法：对基本公式作变换xt/L，5/30/202393徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数n推广2q问题：把定义在-L,L 上的函数 f(t)展开；q方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)，再按推广1展开；q注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。q延拓前q q延拓后5/30/202394徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数n推广3q问题：把定义在 0,L 上的函数 f(x

38、)展开；q方法：先把它延拓为-L,L上的奇函数或偶函数，再按推广2把它延拓为周期函数，最后按推广1展开；q注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。q公式：5/30/202395徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶级数q展开的复数形式n展开公式：基本函数族：正交性：展开系数：5/30/202396徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数的级数表示数的级数表示”n1822年发表年发表“热的分热的分析理论析理论”，首次提出，首次提出“任何非周期信号都任何非周期信号都可用

39、正弦函数的积分可用正弦函数的积分表示表示”5/30/202397徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n非周期函数的傅立叶展开q问题：n把定义在（，）中的非周期函数 f(x)展开；q思路：n把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L；q实施：n展开公式展开系数：n困难展开系数 cn 为无穷小；幂指数 nx/L 不确定。5/30/202398徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q解决方法：n把 n/L 作为新变量，即定义n=n/L；n把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/.q公式的新形式：n展开公式：展开系数：n取极限：傅立叶变换：傅立叶积分：5/30/20239

40、9徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q例题1n矩形函数的定义为求矩形脉冲 x(t)=rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：5/30/2023100徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n例题2将矩形脉冲 f(t)=h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出 f(t)的傅立叶变换代入傅立叶积分公式，得5/30/2023101徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇n例题3求对称指数函数f(t)的傅立叶变换傅立叶变换5/30/2023102徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n傅立叶变换的意义q数学意义n从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；nf(x)

41、称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。q应用意义n把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。q物理意义n把一般运动分解为简谐运动的叠加；n把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。q物理实现n分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；n记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。5/30/2023103徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n傅立叶变换的性质q一般假定nf(x)F()，g(x)G()q奇偶虚实性nf(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数；nf(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)

42、dx/(2)为虚函数q线性性质nk f(x)k F()；nf(x)+g(x)F()+G()q分析性质nf(x)iF()；5/30/2023104徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q位移性质nf(x-a)exp(-ia)F()；nexp(ix)f(x)F(-)q相似性质nf(ax)F(/a)/a；nf(x/b)/b F(b)。q卷积性质nf(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G()；nf(x)g(x)F()*G()F()G(-)dq对称性质n正变换与逆变换具有某种对称性；n适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。5/30/2023105徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅

43、立叶变换q应用举例5/30/2023106徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q验证5/30/2023107徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换n推广q推广1n问题：把定义在 0,)上的函数 f(t)展开；n方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数，再按公式进行傅立叶变换；n注意：q偶函数满足条件f(0)=0，形式为 f(|t|)；q奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).n结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。5/30/2023108徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q推广2n问题：多元函数的傅立叶变换n公式：5/30/2

44、023109徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇傅立叶变换q推广3n傅立叶变换的收敛条件:|F()|f(x)|dx 0 为双曲型，如波动方程；=0 为抛物线型，如热传导方程；0 为椭圆型，如稳定场方程。判断：5/30/2023142徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇叠加原理n原理：q线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程q如：L u1=f1q L u2=f2q则：L(au1+bu2)=af1+bf2n应用：q齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；q非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；q两个非齐次方程的解的线

45、性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。5/30/2023143徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇定解问题n问题的提出n定解条件q初始条件q边界条件n定解问题q初值问题q边值问题q混合问题5/30/2023144徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇定解问题的提出n方程 u(t)=0q能不能求解？解是什么？q能不能定解？该怎么办？n方程 u”(x)=0q能不能求解？解是什么？q能不能定解？该怎么办？n由此可归纳出qn 阶常微分方程的通解含有n个任意常数，q要完全确定这些常数需要附加n个条件。5/30/2023145徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇初始条件n意义q

46、反映系统的特定历史n分类q初始状态（位置），用 u|t=0=f(x)表示；q初始变化（速度），用 ut|t=0=g(x)表示。n典型例子q一维热传导n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件q一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bqu|t=0=a+(b-a)x/L5/30/2023146徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇初始条件q一维弦振动n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件n初始位移q处于平衡位置：u|t=0=0q两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0 xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cxL;n初始速度q处于静止状态：ut|t=0=0q在c点受冲量I：ut|t=0

47、=I(x-c)/5/30/2023147徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇边界条件n意义q反映特定环境对系统的影响n分类q按条件中未知函数及其导数的次数分：n线性边界条件和非线性边界条件；q线性边界条件中n按给出的是函数值或导数值分：q第一、二、三类边界条件；n按所给数值是否为零分：q齐次边界条件和非齐次边界条件。5/30/2023148徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇边界条件举例n典型线性边界条件q一维弦振动n固定端 u|x=0=0 n受力端 ux|x=0=F/q一维杆振动n固定端 u|x=0=0n自由端 ux|x=0=0n受力端 ux|x=0=F/YSq一维热传导n恒温端 u|x=0=a

48、 n绝热端 ux|x=0=0n吸热端 ux|x=0=F/k5/30/2023149徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇定解问题n定解问题的组成q泛定方程：反映同一类现象的普遍性；q定解条件：描述具体对象的特殊性。n定解问题的分类q初值问题(Cauchy Problem)n无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）q边值问题n无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）q第一边值问题(Dirichlet Problem)q第二边值问题(Neumann Problem)q第三边值问题(Robin Problem)q混合问题n同时有边界条件和初始条件。5/30/2023150徐州工程学院 数理方法教案

49、滕绍勇定解问题n定解问题的适定性q适定性的意义n定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。q适定性的内容n存在性n唯一性n稳定性q不适定问题举例n一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；n条件多了，将会破坏解的存在性；n条件少了，将会破坏解的唯一性。5/30/2023151徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇达朗贝尔公式n定解问题的求解思路 Iq原则：由已知猜未知q方法：类比法q步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。n泛定方程的求解n达朗贝尔公式的推导n达朗贝尔公式的应用5/30/2023152徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇泛定方程的求解n常微分方程q方程：u

50、=2a x n通解：u=a x2+Cn偏微分方程q方程：ux=2y x n通解：u=y x2+C(y)n二阶方程：uxy=0n对y偏积分：ux=C(x)n通解：u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)5/30/2023153徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇达朗贝尔公式的推导n定解问题n通解n特解n意义5/30/2023154徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇达朗贝尔公式的推导 通解5/30/2023155徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇达朗贝尔公式的推导 特解5/30/2023156徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇达朗贝尔公式的推导 意义解：将初始条件代入达朗贝尔公式5/30/20