塑性力学第三章应力和应变.ppt

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1、第三章 应力和应变3.1应力分析3.2应变分析3.1应力分析一、一、应应力力张张量及其分解量及其分解(1)一点的应力状态通过一点P 的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：(2)应力张量一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：写法：采用张量下标记号的应力写法把坐标轴x、y、z 分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的应力与应力张量的关系在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为则这个面上的

2、应力向量SN的三个分量与应力张量 之间的关系采用张量下标记号，可简写成说 说 明：明：i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 这称为求和约定；ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；(4)应力张量的分解1.静水“压力”：l 在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。应力不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水“压力”：2.平均正应力：3.应力张量的分解：应力张量可作如下分解：用张量符号表示：其中：或应力球张量 应力球张量单位球张量应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力 而没有剪应力的状态。应力偏张量 应力偏张量应力偏张量与单元体的体积

3、变形有关说 说 明：明：材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。二、主二、主应应力和力和应应力不力不变变量量（1）主应力1.一点的主应力与应力主向 若某一斜面上，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力；（2）应力主向主应力 所在的平面 称为主平面；主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；根据主平面的定义，SN与N 重合。若SN的大小为，则它在各坐标轴上的投影为代入（3-3）式应有 或即 将这个行列式展开得到其中2.应力张量的不变量当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主

4、应力的大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。可以证明方程（3-9）有三个 实根，即三个主应力当用主应力来表示不变量时n应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：应力偏张量也有三个不变量：其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。再介绍它的其他几个表达式：在第四章中将看到，在屈服条件中起重要作用。至于 可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。说 说 明：明：三、等斜面上的三

5、、等斜面上的应应力力n 等斜面：通过某点做平面 通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴 该平面的法线与三个应力主轴夹角相等 夹角相等n 八面体面：满足（满足（3-20 3-20）式的面共有八个，构成）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面。若八面体面上的应力向量用 若八面体面上的应力向量用F F8 8表示，则按（表示，则按（3-3 3-3）式有）式有设在这一点取 坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦 为八面体面素上的正应力为 八面体面素上的正应力为八面体面素上的剪应力为 八面体面素上的剪应力为说 说 明：明：八面体面上的应力

6、向量可分解为两个分量：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：i)i)垂直于八面体面的分量，即正应力 垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张，它与应力球张量有关，或者说与 量有关，或者说与 有关；有关；ii)ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力，与应力偏张量的第二不变量 偏张量的第二不变量 有关。有关。四、等效四、等效应应力力1.定义：如果假定 如果假定 相等的两个应力状态的力学效应相同，那么 相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义：对一般应力状态可以定义：在塑性力学中称为应力强度或等效应力注意：这里的“强度”或“等效”

7、都是在 意义下衡量的2.等效应力 的特点l 与空间坐标轴的选取无关；l 各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；l 全反号时 的数值不变。3.空间空间指的是以 空间指的是以 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。力）状态的距离或差别的大小。联系到（3-17）式，不难看出 代表 空间的中的广义距离4.等效剪应力联系到（3-19）式，可知或也可以定义,剪应力强度或等效剪应力:5.八面体剪

8、应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算关系为：说 说 明：明：这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。五五、三向三向MohrMohr圆圆和和LodeLode应应力参数力参数在 在 平面上 平面上 三点中的任意两点为直径端点，三点中的任意两点为直径端点，可作出三个 可作出三个Mohr Mohr圆，如图 圆，如图3-3.3-3.其半径为：其半径为：称为主剪应力最大剪应力1.三向Mohr 圆2.Lode 应力参数 分析 分析 由图3-4 可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个 Mo

9、hr 圆一起沿 轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr 圆的大小。结论 结论 轴的位置与屈服及塑性变形无关，轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是 决定屈服与塑性变形的只是Mohr Mohr圆 圆本身的大小。本身的大小。l 若将 轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr 圆正是描述应力偏张量的三向Mohr 圆，如图所示。lM 点是P1P2线段的中点Lode 在1925年引进的参数lLode 应力参数当P2点由P3移向P1时，的变化范围是：下面三个特殊情况是常用到的：下面三个特殊情况是常用到的：i i)单向拉伸：单向拉伸：ii)ii)纯剪切：纯剪切：iii)i

10、ii)单向压缩：单向压缩：只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与 坐标原点的选择无关，故 是描述应力偏张量的一个特征值。综 综 上所述，上所述，OO OO 表示了一点 表示了一点 应 应 力状 力状 态 态 的球 的球 张 张 量部分；而以 量部分；而以O O 为 为 坐 坐 标 标 原点的三向 原点的三向 Mohr Mohr 圆 圆（由（由 和 和 所确定）所确定）则 则 表示 表示了 了 应 应 力的偏 力的偏 张 张 量部分 量部分。六六、应应力空力空间间和主和主应应力空力空间间1.应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中

11、只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。l l一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。2.主 应力空间（Haigh-Westergaard Haigh-Westergaard空间）空间）它是以 它是以 为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的 为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确定了用主应力 一个点，就确定了用主应力 所表示的一个应力状态。所表示的一个应力状态。2.主 应力空间的性质l lL L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。其方

12、程为 显然，L 直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。l l 平面：主应力空间中过原点而与 平面：主应力空间中过原点而与L L直线垂直的平面。直线垂直的平面。其方程为 由于 平面上任一点的平均正应力为零，所以 平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。l l主应力空间中任意一点 主应力空间中任意一点P P所确定的向量 所确定的向量 总可以分解为：总可以分解为：这样任意应力状态就被分解为两部分，这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分 分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。对应。小结 小结n 物体内一点的应力状态用应

13、力张量描述，它又可分解为应力 球张量和应力偏张量两个部分。n 塑性变形只与应力偏张量有关。n 三向Mohr 应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何 形象和数学工具。这样取 这样取 的目的是使 的目的是使 构成一个二阶对称张量，构成一个二阶对称张量，即 即应变张量。应变张量。3.2应变分析一、位移与一、位移与应变应变的关系的关系1.Cauchy 公式其中 其中 与工程剪应变相差一半，即 与工程剪应变相差一半，即 张量记法 张量记法:以 以 记 记,以 以 记 记。记号约定：记号约定：以下标之间的逗号表示微商 以下标之间的逗号表示微商如 如Cauchy 公式的张量形式：（3-29）（3-29

14、）式是在小变形条件建立的。二二、应变张量的分解应变张量的分解应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即 应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即（3-31）应变球张量 应变球张量它与弹性的体积改变部分有关；其中称 其中称 为平均正应变 为平均正应变应变偏张量 应变偏张量只反映变形中形状改变的那部分。二二、应变张量的不变量应变张量的不变量l l应变偏张量的三个不变量用 应变偏张量的三个不变量用 表示 表示：其中 其中 分别是主应变和应变偏张量的主值。分别是主应变和应变偏张量的主值。l l应变偏张量的分解：应变偏张量的分解：三、等效应变和三、等效应变和LodeLode应变参数应变参数l

15、l等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：l l等效应变 等效应变 和等效剪应变 和等效剪应变 l lLode Lode应变参数 应变参数 三个特殊情况为：三个特殊情况为：i)i)单向拉伸：单向拉伸：则 则=-1.=-1.ii)ii)纯剪切：纯剪切：则 则=0.=0.iii)iii)单向压缩：单向压缩：则 则=1.=1.在一般情况下 在一般情况下 的变化范围是 的变化范围是四、应变率张量和应变增量张量四、应变率张量和应变增量张量l l应用小变形的 应用小变形的Cauchy Cauchy公式求得相应的应变：公式求得相应的应变：应变率张量 应变率张量这样定义的 这样定义的，不论，不论 大小都成立，但要求是对每一瞬时 大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，而不是按初始位置计算的 状态进行计算，而不是按初始位置计算的.应变率张量应变率张量2.2.应变增量张量应变增量张量