SASSAS基本统计分析功能课件.pptx

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1、目录4.1 假设检验4.2 回归分析4.3 方差分析4.4 属性数据分析返回4.1 假设检验正态性检验（univariate 过程）单样本均值的T 检验（univariate 过程）两 独 立 样 本 均 值 检 验（TTest 过 程npar1way 过程）两 相 关 样 本 均 值 检 验（Univariate 过程）返回4.1.1 正态性检验（univariate过程）q 1.背景原理：正态分布是一种最常见的连续型分布它以均值为对称轴呈对称的钟型分布。q 检验的零假设Ho：数据资料服从正态分布。备择假设H1：数据资料不服从正态分布。q 当样本量n2000 时，应选用shapiro-wil

2、k 检验法，检验统计量为W值越接近于1，P 值越大，表明资料越服从正态分布q 当n2000 时，应用Kolmogorov-smirnov 检验法，检验统计量为D 值越小，P 值越大，表明资料越服从正态分布。2.举例q 在proc univariate 语句中加上normal 选项可以进行正态性检验。q【例1】检验数据集sasuser.gpa 中变量gpa是否服从正态分布?输出结果中正态检验部分为：q 分析：检验的零假设为Ho：gpa 变量服从正态分布，其中shapiro-wilk 检验的统计量为w=0.966294，检验的p 值小于0.0001，当然小于给定的显著性水平=0.05，故应拒绝零假

3、设，即有95%把握认为gpa 非正态。说明：q使用SAS软件中的“分析家”，打开数据集后，利用菜单“统计”“描述性统计”“分布”，除了可以检验变量是否服从正态分布外，还可以检验对数正态、指数和韦布尔分布。4.1.2 单样本均值的T 检验（univariate 过程）q 1.原理背景q 设总体XN(,2)，、2未知，给定检验水平，对常数0要检验零假设为q 设X1,X2,Xn 为X 的简单随机样本，在H0 成立时有q 其中S 为变量的标准差，n 为样本量。q 检验的拒绝域为：补充P 值检验法：q 分位数t1-/2(n-1)满足 Pr|t|t1-/2(n-1)=q 设由已经得到的样本具体计算得到的t

4、 值为t0，若|t0|t1-/2(n-1)，则拒绝H0，否则接受H0。q 对大量重复试验而言，t 是随机变量，且服从t 分布t(n-1)。当|t0|t0Pr|t|t1-/2(n-1)=q 反之亦然。令p=Pr|t|t0,则|t0|q 所以，假设检验的p 值方法为：对给定的显著水平，当p 时，接受H02.应用举例q 在SAS 中用univariate 过程默认进行某个变量均值为零（0=0）的t 检验，若要检验=0，则需进行变量代换。q 例2：检验数据集sasuser.class 中学生的身高均值与63有无显著性差异。输出结果为：分析:q 先作正态性检验。Ho：变量y服从正态分布，其中shapir

5、o-wilk 检验的统计量为w=0.979083，检验的p 值=0.9312=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为变量y正态。q 故采用单样本均值T 检验。对变量y的零假设为Ho:0=0。由输出结果知T 检验的统计量t=-0.5638，双边检验的p 值为0.5798=0.05，故接受原假设，即有95%的把握接受学生的平均身高为63。说明：q 当变量服从正态分布时，优先采用t 检验，当变量服从非正态时，可以采用符号秩（signed Rank）检验，符号检验（sign）的检验功效较差，一般不常用它。q 对同一问题不同的检验方法一般是一致的，但有时也有互相矛盾的结果。q 使用SAS 软件中的

6、分析家，打开数据集后，利用菜单“统计”“假设检验”“均值的单样本T 检验”可以进行双边和单边检验。4.1.3 两独立样本均值检验（TTest 过程、npar1way 过程）q 1.原理背景q 假设两组样本来自两个独立总体，需要检验两个总体的均值或中心位置是否一样。如果两个总体都服从正态分布，则可使用两独立样本均值的T 检验。q 两个样本方差相等与不相等时使用的检验统计量是不一样的，所以应该先对方差的齐性进行检验。q 设两个样本的均值为，方差为，观测量为 有关公式如下：q 方差齐性检验的零假设为0：两个独立样本的来自方差相等的总体，即，检验统计量为4.1.3 两独立样本均值检验（TTest 过程

7、、npar1way 过程）q 方差齐时，检验两样本的均值是否相同的零假设为H0：两个独立样本的来自均值相等的总体，即，检验统计量为其中 为合并方差。q 方差不齐时，检验两样本的均值是否相同，用校正t 检验。检验零假设为H0：两个独立样本的来自均值相等的总体，即，检验统计量为2.Ttest过程q 格式：PROC TTEST 选项;CLASS 变量名；V AR 变量名；BY 变量名；RUN;q 说明：（1）proc 语句中的“选项”有：q Data=数据集，指明要分析的数据集；q Cochran 要求在方差不齐时用Cochran 和Cox 法计算t 检验的概率水平；（2）Class 语句中的变量必

8、须是一个两水平的分组变量，系统会把数据集中的观测按这个变量的两个水平分成比较的两组。（3）by 语句和var 语句作用同前。【例3】q 某克山病区测得11 例克山病人与13名健康人的血磷值（mmol/L）如表，据此判断该地急性克山病人与健康人的血磷值是否相同？输出为：分析：q(1)先作正态性检验如下：q 零假设为Ho：患者组的血磷值变量x服从正态分布，其中患者组的shapiro-wilk 检验的统计量为w=0.959147，检验的p=0.7610=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为x正态。q 零假设为Ho：健康组的血磷值变量x服从正态分布，其中健康组的shapiro-wilk 检验的

9、统计量为w=0.927983，检验的p=0.3207=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为x正态。分析：q(2)因此可采用两独立样本均值的T 检验。由ttest 过程输出先作方差齐性检验如下：q 0：患者组和健康组来自方差相等的总体，即，检验的统计量F=1.01，P=1.000=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为患者组和健康组方差满足齐性。q 再作T 检验。H0：患者组和健康组来自均值相等的总体，即。选择方差齐性一行的结果知t=2.51,p=0.02=0.05，故应拒绝零假设，即有95%把握认为患者组与健康组血磷值的均值有显著差异，且是患者组比健康组的均值要高。注：q 使用S

10、AS 软件中的“分析家”，打开数据集后，利用菜单“统计”“假设检验”“均值的双样本T 检验”，可以进行单边和双边检验。q 如果数据不服从正态分布可以采用非参数检验，检验两个独立样本的中心位置是否相同的非参数方法有wilxocon 秩和方法，使用npar1way 过程加wilcoxon 选项，如教材P123。q【例4】检验数据集sasuser.gpa 中男、女生的gpa 分数有无显著差异？分析：q 在例1中我们讨论过变量gpa 是非正态分布，故要采用wilxocon 秩和非参数检验方法。q 零假设为H0：男生和女生来自中心位置相同的总体。由输出结果的wilcoxon 秩和检验中用正态近似得到的双

11、边检验的z=0.5276，p=0.5978=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为男生和女生的gpa 无显著性差异。4.1.4 两相关样本均值检验（Univariate 过程）q 1.原理背景q 相关样本的有两种情况:q 一种是将研究对象按一定的条件先配对，每对中的两个对象随机分配到实验组和对照组，一个试验由若干对组成，称为配对试验设计；q 另一种情况是同一批研究对象经过某种处理前后的指标值比较，或者是同一批样品经过两种不同方法的测定结果的比较。此时这两个变量不再独立，而是相关的。4.1.4 两相关样本均值检验（Univariate 过程）q 检验两个相关变量的均值是否相等，等价于检验这

12、两个变量间的差值变量的均值是否为零。当差值变量服从正态分布时，可用配对样本T 检验的统计量为q 其中X 为两个样本的差值变量，、S 分别为差值变量的均值和标准差。2.实例分析q 为了检验两个相关样本的均值是否有显著差异，先用一个数据步计算差值，然后对差值变量用univariate 过程可以实现检验差值变量的均值是否显著为零。q【例5】用克矽平雾化吸入治疗矽肺患者7人，没得治疗前后的血清粘蛋白（mg/L）7对观测值如表，据此能否认为治疗会引起血清蛋白的变化？（=0.05）输出部分结果：分析：q 先作正态性检验如下：q 零假设为Ho：差值变量x服从正态分布，由输出结果知shapiro-wilk 检

13、验的统计量为w=0.896832，检验的p=0.3122=0.05，故应接受零假设，即有95%把握认为x正态。q 故可采用两相关样本均值T 检验。q H0：治疗前后的差值变量x的均值为0。由输出结果知T 检验的统计量t=5.879298，双边检验的p 值为0.0011=0.05，故拒绝原假设，即有95%的把握认为治疗后血清蛋白有下降。注：q 使用SAS 软件中的“分析家”，打开数据集后，利用菜单“统计”“假设检验”“均值的双样本成对T 检验”，除了可以进行单边和双边检验。q 如果数据不服从正态分布可以采用非参数检验，如符号检验、符号秩检验，在SAS 中可用univariate 过程实现。q【例

14、6】为了检验一种新的复合肥料和原来使用的肥料相比是否显著地提高了小麦的产量，在一个农场中选择了10块田地，每块等分为两部分，其中任指定一部分使用新的复合肥料，另一部分使用原肥料，小麦成熟后称得各部分小麦的产量（单位：kg）如表，用符号检验法检验新复合肥是否会显著提高小麦产量？（=0.05）分析：q 先作正态性检验如下：q 零假设为Ho：差值变量diff服从正态分布，由输出结果知shapiro-wilk 检验的统计量为w=0.835307，检验的p=0.0388=0.05，故应拒绝零假设，即有95%把握认为差值变量diff不服从正态分布。q 故采用符号秩非参数检验。q H0：差值变量diff的均

15、值为0。由输出结果知符号秩检验的统计量S=20.5，双边检验的p 值为0.0332=0.05，故拒绝原假设，即有95%的把握认为新复合肥会显著提高小麦产量。作业：P157 习题1,3,5,74.2 方差分析q4.2.1单因素方差分析q4.2.2非参数单因素方差分析q4.2.3多因素方差分析q 思 路:检 验 多 组 独 立 样 本 均 值 有 无 显 著 性 差 异，等 价 于 检验这个因素的各个取值水平会不会影响到指标的取值。4.2.1单因素方差分析q 1.背景简介q 单因素方差分析模型:q 其中 为分类变量（因子A）的第i 个水平的效应。q 零假设 q 平方和分解式：q 即总偏差平方和=误

16、差的偏差平方和+因子A 的偏差平方和q 统计量 4.2.1单因素方差分析q 前提条件是独立性、正态性和方差齐性。q 当数据满足这些条件时，可采用anova 过程来进行单因素方差分析，一般格式为：Proc anova data=数据集名；Class 因素变量；Model 指标变量=因素变量效应表；Means 因素变量/hovtest=levene；Run；2.案例分析q【例1】（摘自魏宗舒概率论与数理统计例8.1）为寻求适应本地区的高产油菜品种，今选了五种不同品种进行试验，每一品种在四块试验田上试种，得到在每一块田上的亩产量如表。q 试问不同品种的油菜的平均亩产是否相同？（=0.05）A1 A2

17、 A3 A4 A5256 244 250 288 206222 300 277 280 212280 290 230 315 220298 275 322 259 212分析：q（1）正态性检验。q Ho：第1组数据服从正态分布，由输出结果中shapiro-wilk统计量为w=0.975665,p=0.8762=0.05,故接受Ho,即第1组数据服从正态分布。q 类似可得第二、三、四、五组数据的shapiro-wilk 统计量为w=0.937882、0.964898、0.985353、0.935122,检验的p=0.6415、0.8097、0.9326、0.6248=0.05,故这四组数据也服

18、从正态分布。q（2）方差齐性检验。Ho：5组数据的方差相等。正态分布由Leneve 方差齐性检验的F=1.53,p=0.2451=0.05，故这5组数据满足方差齐性。q（3）方差分析。Ho：5组数据的均值相等。由方差分析表中F=4.31,p=0.0162=0.05，故拒绝Ho,即不同品种的油菜的平均亩产有显著差异。4.2.2非参数单因素方差分析q 前节方差分析中的正态性或方差齐性不能满足时，可采用非参数检验方法，如Krushal-Wallis 检验。q 这种检验不要求数据来自正态总体，也不要求各组的方差齐，甚至指标可以是有序变量（只有大小，没有差距如大、中、小，或很好、好、一般、不好，很不好等

19、）。q 在SAS 软件中可以使用npar1way 过程，进行非参数Krushal-Wallis 检验，一般格式为：Proc npar1way data=数据集 wilcoxon;Class 因素变量；Var 指标变量;Run;注：当因素为两个水平时，npar1way 过程执行wilxocon 的秩和检验，当多个水平时执行Krushal-Wallis 检验。【例2】q 对上例1采用Krushal-Wallis 检验法，检验不同品种的油菜的平均亩产是否相同。（=0.05）q分析：零假设H0:不同品种的油菜的平均亩产相同q 由输出结果中的Krushal-Wallis 检验的统计量2=9.9185 p

20、=0.0418=0.05，故拒绝H0,即不同品种的油菜的平均亩产有显著不同。q 注：在同等条件下Krushal-Wallis 检验的功效比方差分析工效低，所以此处p 值0.0418比方差分析中的p 值0.0162要大。4.2.3多因素方差分析q原理说明：固定水平的双因素方差分析模型：q 检验因素A 的主效应显著性的原假设和统计量为：q 其它同理类似。【例3】：q 为了提高一种橡胶的定强，考虑三种不同的促进剂（因素A）、四种不同分量的氧化锌（因素B）对定强的影响。对配方的每种组合重复试验两次，总共试验了24次，得到如下表，试分析因素A 和因素B 的主效应和交互效应，以及最好的实验配方。A:促进剂

21、B:氧化锌1 2 3 41 31,33 34,36 35,36 39,382 33,34 36,37 37,38 38,413 35,37 37,38 39,40 42,44分析：q（1）对于检验促进剂（因素A）的主效应，H0:三种促进剂对橡胶的定强的主效应为0。q 由输出结果的详细方差分析表中，因素A 对应的F 统计量为19.40，p 值为0.0002，小于给定的显著性水平=0.05，故因素A 对橡胶定强的主效应是显性的。q 同理可得氧化锌（因素B）的主效应是显著的，A 和 B 的交互效应不显著。q（2）为了得到最好配方，由输出结果的每种水平下，指标定强stren 的均值，可得促进剂（因素A

22、）在第3水平使指标达最大值，氧化锌在第4水平时使指标达最大，故最佳配方为：第3种促进剂和第4种氧化锌分量。作业：P160 15,16，174.3 回归分析q4.3.1 直线回归q4.3.2非线性回归q4.3.3二 分 类 变 量 的Logistic 回归常用SAS过程回归类型 资料类型因变量 自变量Reg线性回归 数值变量 数值变量GLM协方差模型、一般线性模型数值变量 数值变量、分类变量Logistic Logistic回归分类变量 数值变量、分类变量Catmod LogisticPoisson回归分类变量 数值变量、分类变量Nlin非线性回归 数值变量 数值变量4.3.1 直线回归q 1背

23、景概述(多元线性回归分析简介)q 假定因变量y与k 个解释变量x1,x2,xk 具有线性关系，即q 总体回归模型：q 或 q 样本回归模型：q 残差：q 最小二乘法：q 总离差平方和的分解式：总平方和TSS=解释平方和ESS+残差平方和RSS 即q 判定系数：q 回归模型的显著性检验（F 检验）：q Ho：b1=b2=bk=0,H1：b1，b2，bk至少有一个不为0。q 检验统计量q 变量（如xi）显著性检验（t 检验）：q H0：bi=0，H1：bi0q 检验统计量 2.reg过程q格式:Proc reg data=数据集名 选项；q Var 可参与建模的变量列表；q Model 因变量=自

24、变量表/选项；q Print 输出结果；q Plot 诊断图形；qRun；3.应用举例q【例1】对数据集sasuser.class 中建立以weight 为因变量，height 和age 为自变量的线性回归模型，并作简要回归分析。q 思路：先考察weight 与heightage 间的线性关系，可用散点图和相关分析，确定有线性关系后再作回归分析。分析：由散点图和相关分析可知weight 和height,age 间有较强的线性关系。q（1）回归方程为：判定系数,说明因变量Y的变异中由模型能解释的部分占到77.29%，模型拟合效果较好。q（2）回归模型的显著性检验q 检验的零假设Ho：b1=b2=

25、0，由输出结果的方差分析表中F 统计量为27.23，检验的p 值小于0.0001，在=0.05 的显著性水平下，应拒绝H0,说明模型是显著成立的。分析：q（3）变量的显著性检验q 对变量height 而言，检验的零假设Ho：b1=0，由输出结果的参数估计部分的t 统计量值为3.97，双边检验p 值为0.0011，所以在=0.05 的显著性水平下，应拒绝H0,说明height 变量对weight 变量有显著性影响。q 类似可得对变量age，t 统计量值为-0.41，双边检验p 值为0.6865，在=0.05 的显著性水平下，应接受H0,说明模型是age 变量对weight 变量影响不显著性。说明

26、：q（1）如果要自动挑选最优变量，可在model 语句中增加选项 selection=选择方法，选择方法有none(全用，默认)、forward（逐步引入法）、backward（逐步剔除法）、stepwise(逐步筛选法)等。如 model weight=height age/selection=stepwise;run;q(2)要输出其它结果可以print 语句，如 Print cli Run;说明：q(3)若是一元线性回归，可以在因变量和自变量的散点图上加上回归直线和均值置信界限，程序如下：proc reg data=sasuser.class;model weight=height;pl

27、ot weight*height/conf95;run;q（4）若是要输出多元线性回归中残差对预测值诊断图，可用如下语句：plot residual.*predicted.;run;4.3.2非线性回归q 许多情况下变量间呈曲线关系，求解变量间的曲线关系的方程，可以直接拟合所选择的曲线方程式，但有时也可以变量代换成直线方程，再应用直线回归的方法求解。q【例2】某地大气中氰化物测定结果如下：q 散点图分析表明 Y 和X 间呈现指数 函数关系案，现求回归方程。距离污染物距离X(m)50 100 150 200 250 300 400 500氰化物浓度Y（mg/m3）0.687 0.398 0.2

28、0.121 0.09 0.05 0.02 0.01方法一：q 分析：logy 与x间的直线回归方程为：q 代入logy=log10y,得指数方程为：方法二：q 分析：指数方程为4.3.3二分类变量的Logistic 回归（Logistic 过程）q 模型简介：设P 为某事件发生的概率，取值范围为01，1-p 为事件不发生的概率，将比数p/(1-p)取自然对数得ln(p/(1-p)，即Logit 变换，记为Logit P。则Logit P 的取值范围为-到+。以Logit P 为因变量，建立线性回归模型为：q 记,则模型变形为q 数据要求：因变量为二分类变量，自变量可以是分类变量或等间隔测度的变

29、量。q【例8.3】数据集data09-02.sav 是乳腺癌患者的数据。变量包括：age(年龄)、time(患病时间)、pathscat（肿瘤扩散等级）、pathsize（肿瘤大小）、histgrad（肿瘤史）、ln-yesno（癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞）。建立一个Logistic 模型，并预测一个肿瘤大小为1cm,肿瘤史为1年，肿瘤扩散等级2cm 患病时间为1个月的60岁人癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞。给定显著性水平=0.05结果分析：结论：q Logistic回归模型拟合结果为：q则 q 故该病人癌变部位的淋巴结会含有癌细胞。作业：P150 16补充：某调查中收集了350大学生的数

30、据信息，研究恋爱与否（变量V）与年龄（age）、地区（Location），各科平均成绩（score）、性别(sex)及身高(height)等变量的关系。各变量定义如下：恋爱与否（变量V）年龄（age）地区（Location）平均成绩（score）性别(sex)身高(height)0：未恋爱单位：岁0：农村单位：分0：女单位：厘米1：已恋爱 1：城市 1：男假设收集数据如下表，试建立Logistic 模型，并分析22岁农村男生、身高170cm,平均成绩为560时的恋爱概率。age location score height weight sex v21 1 593 183 154 1 019 1

31、 467 178 185 1 120 1 550 177 170 1 021 1 414 175 114 1 019 1 502 160 98 0 021 0 361 175 126 1 021 0 595 166 112 1 120 0 409 178 140 1 120 1 436 164 128 1 022 1 450 170 160 1 023 1 482 168 106 0 018 0 0 160 106 0 020 1 475 170 120 1 120 0 615 165 106 0 019 1 549 168 110 1 04.4 属性数据分析q4.4.1 单个离散变量的拟合优

32、度卡方检验q4.4.2 两个离散变量的列联表独立性检验q4.4.3 两个离散变量的关联度分析4.4.1 单个离散变量的拟合优度卡方检验q 1.功能：检验离散变量的取值规律是否符合某种给定的比例。q Pearson 提出的卡方检验的零假设为：q 统计量为：q 其中：ni为事件Ai的观测频数，pi为事件Ai的频率。【例1】q 某工厂近5年来发生了63次事故，按事故发生的星期号分类如下：q 问事故的发生是否与星期几有关？q 思路分析：采用拟合优度卡方检验六种情况发生的概率是否相等，H0：Pr(X=i)=1/6(i=1,2,6)。星期 一 二 三 四 五 六次数9 10 11 8 13 12q 结果分

33、析：零假设H0：Pr(X=i)=1/6(i=1,2,6)，由输出拟合优度卡方检验的统计量2=1.667,p=0.8991,对于给定的显著性水平=0.05，p，所以接受H0,说明事故发生与星期几没有关系。q 注明：检验的是等概率情形时，选项testp 语句可以省略。4.4.2 两个离散变量的列联表独立性检验q1.列联表的输入与制表q 列联表的概念：根据两个离散变量的交叉分类取值把样本进行分类，得到每一小类的观测个数制成表格的形式称为列联表，如根据学生的性别和来源把学生分为4组，得到如下统计表：学生性别、来源分布表男生 女生本地4 6外地14 7方式一：q 枚举法 每一行为一个样本观测，即一个学生

34、的信息记录，然后使用freq 过程可以制成列联表，使用tables语句指定行变量和列变量。方式二：q 频数表法 没有具体每行样本观测的信息，只有汇总的频数表，则需要设置一个代表观测频数的变量，然后使用freq 过程可以制成列联表，使用tables语句指定行变量和列变量，weight 语句指定单元格频数变量。q 两种方式的输出结果一样，如下图，每一个格子中有4个数：Frequency(频数)、percent(百分比)、Row Pct(行百分比)、Col Pct(列百分比)。在表的右侧有行总计的频数及百分比，在表的下侧有列总计的频数及百分比。说明：q 简化形式的列联表，可以在tables语句中加上

35、nofreq、nopercent、norow、nocol 等选项。如2.列联表独立性检验q 功能：检验两个离散变量的取值是否独立。检验的零假设为H0：离散变量X 与变量Y 相互独立 q 检验统计量 q 其中【例2】q 为了探讨吸烟与慢性支气管炎有无关系，调查了339人，情况如下：q 试分析吸烟与慢性支气管炎是否有关系。患慢性支气管炎 未患慢性支气管炎吸烟43 162不吸烟13 121q 结果分析：零假设H0：吸烟与慢性支气管炎相互独立，由输出结果中peraons 卡方独立性检验统计量为2=7.4688,p=0.0063，对于给定的显著性水平=0.05，p，故拒绝H0，即认为吸烟与患慢性支气管炎

36、间不是相互独立的。说明：q 各种检验方法应根据资料选取：（T 最小的单元格期望频数，n 总样本量)q 当T5 且n40 选Person 卡方值，它是最常用的检验方法。q 当1T40 选连续校正卡方值；似然比卡方在大样本下与Person 卡方近似。qFisher 精确检验法适用于22 的交叉表，n40 或T5(有的教材上称样本量小于20）。4.4.3 两个离散变量的关联度分析q 功能：计算两个有序属性变量的关联性量度（类似于相关系数），重点掌握Kendal Tau-b 统计量。q 例3：假设我们要研究奶牛种群大小与其患某种细菌性疾病的关系。牛的患病程度（DISEASE）分为没有（0）、低（1）、

37、高（2），牛群大小（HERDSIZE）分为小（1）、中（2）、大（3）。数据如下所示：牛患病程序没有 低 高牛群大小小9 5 9中18 4 19大11 88 136分析：q 由输出得Kendall Tau-b 统计量值为0.217，渐近标准误差（ASE）为0.061，用统计量值加减两倍标准误差作为Kendall Tau-b 的95%置信区间，可算得(0.095，0.339)在零点左边，所以可认为奶牛患病程度与种群大小有正的关联。q 事实上，我们从列联表中实际频数与期望频数的对比也可以看出，小的种群患病比期望值轻，大的种群患病比期望值重，即患病程度与种群大小有正的关联。作业：教材P161 18q 补充：某公司准备抽出一个新品牌的矿泉水，现已万事俱备，就是在新产品的名称上几位董事意见尚未统一。董事屡议不决之后，最终决定进行抽样调查。在受访的200人中，52人更喜欢名称A，61人更喜欢名称B，87人更喜欢名称C。请问A、B、C 三种名称受欢迎程度有无差异？掌握自学方法 事半功倍 返回