2023年立体几何知识全面汇总归纳+典型例题+方法全面汇总归纳.pdf

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1、 1/28 立体几何知识归纳+典型例题+方法总结 一、知识归纳 1平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理 2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、

2、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.2/28 （直线与直线所成角90,0）（向量与向量所成角)180,0 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.注：21,ll是异面直线，则过21,ll外一点 P，过点 P 且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与2

3、1,ll距离相等的点在同一平面内.（1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面）3.直线与平面平行、直线与平面垂直（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA，aAO，得aPO（

4、三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相POAa 3/28 交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那

5、么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.4.平面平行与平面垂直（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）（4 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线 4/28 的平面垂直

6、于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过 O 作 OA、OB 分别垂直于21,ll，因为OBPMOAPM,则OBPMOAPM,.所以结论成立 b.最小角定理的应用（PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角

7、相等，一定有 3 条或者 2 条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有.5.棱柱.棱锥（1）棱柱 a.直棱柱侧面积：ChS（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：lCS1（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.四棱柱 平行六面体直平行六面体长方体正四棱PMABO 5/28 柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.c.棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面

8、的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,，则 1coscoscos222.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，则2coscoscos222.（2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VSh

9、V.a.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形 6/28 的中心.注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等 iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：Ch21S（底面周长为C，斜高为h）棱锥的侧面积与底面积的射影公式：cos底侧SS（侧面与底面成的二面角为）附：以知cl，ba cos，为二面角bla.则laS211，blS212，ba cos 得cos底侧SS.注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角

10、形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面labc 7/28 多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶

11、点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.（3）球：a.球的截面是一个圆面.球的表面积公式：24 RS.球的体积公式：334RV.b.纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.

12、附：圆柱体积：hrV2（r为半径，h为高）圆锥体积：hrV231（r为半径，h为高）锥体体积：ShV31（S为底面积，h为高）8/28 （1）.内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a，ah36，243aS底，243aS侧，得RaRaaa2224331433643aaaR46342334/42.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB.外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6.空间向量（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.b.共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，a b的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ba

13、.c.共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a.d.共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，则向量P与向量ba,共面的充要条件是存在实数对 x、y 使byaxP.空 间 任 一 点 O和 不 共 线 三 点 A、B、C，则)1(zyxOCzOByOAxOP是 PABC 四点共面的充要条件.（简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.（2）空间向量基本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使czbyaxp.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，

14、则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、y、z 使 OCzOByOAxOP(这里隐含 x+y+z1).OABDOR 9/28 注：设四面体 ABCD 的三条棱，,dADcACbAB 其中 Q 是BCD 的重心，则向量)(31cbaAQ用MQAMAQ即证.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足OPxOAyOBzOCuuu ruuu ruuu ruuu r，则四点 P、A、B、C 是共面1xyz （3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb，

15、则),(332211babababa，)(,(321Raaaa，332211babababa，a)(,332211Rbababab332211bababa 0332211babababa.222321aaaaaa(向 量 模 与 向 量 之 间 的 转 化：aaaaaa2)空间两个向量的夹角公式232221232221332211|,cosbbbaaababababababa（a123(,)a aa，b123(,)b b b）.空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd.b.法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向

16、量.c.向量的常用方法：10/28 利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条射线，其中A，则点 B 到平面的距离为|nnAB.异面直线间的距离 nnCDd(12,l l是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离).直线AB与平面所成角的正弦值sin|AB mAB muuu r u ruuu ru r(mu r为平面的法向量).利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角 l中平面,的法向量，则21,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,nn方向相同，则为补角，21,nn反方，则为其

17、夹角）.d.证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且 C、D、E 三点不共线，则 a的充要条件是存在有序实数对,使CECDAB.（常设CECDAB求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线 AB与平面相交）.nBCAn2n1CEDAB 二、经典例题 考点一 空间向量及其运算 1.已 知,A B C三 点 不 共 线，对 平 面 外 任 一 点，满 足 条 件122555OPOAOBOCuuu ruuu ruuu ruuu r，试判断：点P与,A B C是否一定共面？11/28 解析：要判断点P与,A B C是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,x y使APxAByACuuu

18、ruuu ruuu r或对空间任一点O，有OPOAxAByACuuu ruuu ruuu ruuu r.答案：由题意：522OPOAOBOCuuu ruuu ruuu ruuu r，()2()2()OPOAOBOPOCOPuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，22APPBPCuuu ruuu ruuu r，即22PAPBPC uuu ruuu ruuu r，所以，点P与,A B C共面 点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算 2.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直

19、，点M，N分别在对角线BD，AE上，且13BMBD，13ANAE求证：/MN平面CDE 解析：要证明/MN平面CDE，只要证明向量NMuuuu r可以用平面CDE内的两个不共线的向量DEuuu r和DCuuu r线性表示 答案:证明：如图，因为M在BD上，且13BMBD，所以111333MBDBDAABuuu ruuu ruuu ruuu r同理1133ANADDEuuu ruuu ruuu r，又CDBAAB uuu ruuu ruuu r，所以MNMBBAANuuuu ruuu ruuu ruuu r 1111()()3333DAABBAADDEuuu ruuu ruuu ruuu ruu

20、u r2133BADEuuu ruuu r2133CDDEuuu ruuu r 又CDuuu r与DEuuu r不共线，根据共面向量定理，可知MNuuuu r，CDuuu r，DEuuu r共面 由于MN不在平面CDE内，所以/MN平面CDE 点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线不一定共面要区别开.12/28 考点二 证明空间线面平行与垂直 3.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点 D 是AB的中点，（I）求证：ACBC1；（II）求证：AC 1/平面 CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来

21、证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱 ABCA1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5，ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC，ACBC1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是BC1的中点，DE/AC1，DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1/平面 CDB1；解法二：直三棱柱 ABCA1B1C1底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C 两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA、CB、C1C 分别为 x

22、 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（23，2,0）（1）AC（3,0，0），1BC（0，4,0），AC1BC0，ACBC1.（2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0,2，2）.DE（23，0,2），1AC（3,0，4），121ACDE，DEAC1.A B C ABCE x y z 13/28 4.如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点.(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一

23、点 N，使 MN平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦.解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）M是PC的中点，取PD 的中点E，则 MECD21，又ABCD21 四边形ABME为平行四边形 BMEA，PADBM平面，PADEA平面 BMPAD平面 （2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则)0,0,1B，0,2,2C，0,2,0D，2,0,0P，1,1,1M，1,1,0E 在 平 面PAD内 设zyN,0，1,1,1zyMN，2,0,1PB，0,2,

24、1DB 由PBMN 0221zPBMN 21z 由DBMN 0221yDBMN 21y 14/28 21,21,0NN是AE的中点，此时BDMNP平面 （3）设直线PC与平面PBD所成的角为 2,2,2PC，21,21,1MN，设MNPC,为 3226322cosMNPCMNPC 32cossin 故直线PC与平面PBD所成角的正弦为32 解法二：（1）M是PC的中点，取 PD 的中点E，则 MECD21，又ABCD21 四边形ABME为平行四边形 BMEA，PADBM平面 PADEA平面 BMPAD平面 （2）由（1）知ABME为平行四边形 ABCDPA底面ABPA，又ADAB PADAB平

25、面 同理PADCD平面，PAD平面AE AEAB ABME为矩形 CDME，PDCD，又AEPD PDME ABME平面PD PBDPD平面 ABMEPBD平面平面 作EBMF故PBD平面MF MF交AE于N，在矩形ABME内，1MEAB，2AE 32MF，22NE N为AE的中点 当点N为AE的中点时，BDMNP平面 （3）由（2）知MF为点M到平面PBD的距离，MPF为直线PC与平面PBD所成 15/28 的角，设为，32sinMPMF 直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为32 点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已

26、知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来 考点三 求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是 0 90，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是 0 90，其解法是作垂线、找射影；二面角 0 180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5.如图，四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面A

27、BCD是60ADCo的菱形，M为PB的中点.()求PA与底面ABCD所成角的大小；()求证：PA 平面CDM；()求二面角DMCB的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平 移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 16/28 答案：(I)取 DC 的中点 O，由 PDC 是正三角形，有 PODC 又平面 PDC底面 ABCD，PO平面 ABCD 于 O 连结 OA，则 OA 是 PA 在底面上的射影PAO 就是 PA 与底面所成角 ADC=60，由已知 PCD 和 ACD 是全等的正三角形，从而求得OA=OP=3 PAO=45 PA 与底面 A

28、BCD 可成角的大小为 45 (II)由底面 ABCD 为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有 OADC 建立空间直角坐标系如图，则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)APD,(3,2,0),(0,1,0)BC 由 M 为 PB 中点，33(,1,)22M 33(,2,),(3,0,3),22DMPAuuuu ruuu r(0,2,0)DC uuur 3332 0(3)022PA DM uuu r uuuu r，032 00(3)0PA DC uuu r uuur PADM，PADC PA平面 DMC (III)33(,0,),(3,1,0)22CMCBuuuu ruuu r令

29、平面 BMC 的法向量(,)nx y zr，则0n CMuuuu rr，从而 x+z=0；,0n CBuuu rr，从而30 xy 由、，取 x=1，则3,1yz 可取(1,3,1)n r 由(II)知平面 CDM 的法向量可取(3,0,3)PA uuu r，2 310cos,5|56n PAn PAnPA uuu rruuu rruuu rr 所求二面角的余弦值为105 法二：（）方法同上 （）取AP的中点N，连接MN，由（）知，在菱形ABCD中，由于60ADCo，17/28 则AOCD，又POCD，则CDAPO平面，即CDPA，又在PAB中，中位线/MN12AB，1/2COAB，则/MN

30、CO，则四边形OCMN为Y，所以/MCON，在APO中，AOPO，则ONAP，故APMC而MCCDCI，则PAMCD平面（）由（）知MCPAB平面，则NMB为二面角DMCB的平面角，在RtPAB中，易 得6,PA 22226210PBPAAB，210cos510ABPBAPB，10coscos()5NMBPBA 故，所求二面角的余弦值为105 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6.如 图，在 长 方 体1111ABCDABC D中，11,2,ADAAAB点E在线段AB上.（）求异

31、面直线1D E与1AD所成的角；（）若二面角1DECD的大小为45，求点B到平面1D EC的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利1DABCDE1A 1B 1C 18/28 于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结1AD.由已知，11AAD D是正方形，有11ADAD.AB 平面11AAD D，1AD是1D E在平面11AAD D内的射影.根据三垂线定理，11ADD E得，则异面直线1D E与1AD所成的角为90.作DFCE，垂足为F，连结1D F，则1CED F

32、所以1DFD为二面角1DECD的平面角，145DFD.于是111,2DFDDD F 易得RtRtBCECDF，所以2CECD，又1BC，所以3BE.设点B到平面1D EC的距离为h.1,B CEDDBCEVV即111 11 13 23 2CE D F hBE BC DD，11CE D F hBE BC DD，即2 23h，64h.故点B到平面1D EC的距离为64.解法二：分别以1,DA DB DD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.（）由1(1,0,1)A，得1(1,0,1)DA uuu u r 设(1,0)Ea，又1(0,0,1)D，则1(1,1)D Eauuuu r.111 0 10

33、DA D E uuu u r uuuu r11DAD Euuu u ruuuu r 则异面直线1D E与1AD所成的角为90.（）(0,0,1)m为面DEC的法向量，设(,)x y zn为面1CED的法向量，则(,)x y zn222|2|cos,|cos 45|2zxyz m nm nmn 222zxy.19/28 由(0,2,0)C，得1(0,2,1)DC uuuu r，则1D Cuuuu rn，即10DCuuuu rn 20yz 由、，可取(3,1,2)n 又(1,0,0)CB uuu r，所以点B到平面1D EC的距离|3642 2CBduuu rn|n|.点评：立体几何的内容就是空间

34、的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.考点四 探索性问题 7.如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且 DE=2，ED/AF 且DAF=90.（1）求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦；（2）线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP 与 PF 的比值；若不存在，

35、说明理由.解析：1.先假设存在，再去推理，下结论：2.运用推理证明计算得出结论，20/28 或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.答案：（1）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则 B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则)0,2,0(),2,1,1(),0,0,2(BFBEDB 设平面 BEF 的法向量xzyxn则),(0,02yzy，则可取)0,1,2(n，向量)1,0,2(nDB和所成角的余弦为 1010)2(21220222222.即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦1010.（2）假设线段 EF 上存在点 P 使过

36、P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设 EP 与 PF 的比值为 m，则 P 点坐标为),12,121,121(mmmmm 则向量AP),12,121,121(mmmmm，向量CP),12,11,121(mmmm 所以21,012)2(12101212mmmmmm所以.点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求.8.如图，在三棱锥VABC中，VCABC底面，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，02VDC 21/28 （I）求证：平面VAB平面VCD；（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为6

37、 解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法 1：（）ACBCa，ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，CDAB，又VC 底面ABCVCAB于是AB 平面VCD 又AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD（）过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（）知CD 平面VAB 连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角 依题意6CBH，所以在CHDRt中，2sin2CHa；在BHCRt中，sin62aCHa，2sin2 02，4 故当4时，直线BC与平面VAB所成的角为6 解法 2：（）以CACBCV，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(

38、0 0 0)(0 0)(00)00 0tan2 22a aCA aBaDVa，于是，2tan2 22a aVDauuu r，02 2a aCDuuu r，(0)ABaauuu r，从而2211(0)0002 222a aAB CDaaaa uuu r uuu r，即ABCD 同理22211(0)tan002 2222a aAB VDaaaaa uuu r uuu r，A D B C V y z 22/28 即ABVD又CDVDDI，AB 平面VCD 又AB 平面VAB 平面VAB 平面VCD（）设平面VAB的一个法向量为()xyz，n，则由00ABVDuuu r，nn 得02tan0222ax

39、ayaaxyaz，可取(112 cot)，n，又(00)BCauuu r，于是22sinsin6222cotBCaBCauuu ruuu rnn，即2sin202，4=故交4=时，直线BC与平面VAB所成的角为6 解法 3：（）以点D为原点，以DCDB，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(0 0 0)00000 0222DAaBaCa，220tan22Vaa，于是220tan22DVaa uuur，20 02DCa uuu r，(02 0)ABauuu r，从而(02 0)AB DCauuu r uuu r，20 002a，即ABDC 同理22(02 0)0ta

40、n022AB DVaaauuu r uuur，即ABDV 又DCDVDI，AB 平面VCD 又AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD 23/28 （）设平面VAB的一个法向量为()xyz，n，则由00ABDVuuu ruuur，nn，得2022tan022ayaxaz，可取(tan01)n，又22022BCaa uuu r，于是22tan22sinsin621tanaBCBCauuu ruuu rnn，即sin0224，=故角4时，即直线BC与平面VAB所成角为6 点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,

41、利用向量法求解 考点五 折叠、展开问题 9已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点,将ADEV沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0)(I)证明/BF平面ADE;(II)若ACDV为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值 分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解:(I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,A D B C V x y AEBCFDG 24/28 EB/FD,且 EB=FD,四边形 EBFD 为平行四边形 BF/ED.,EFAEDB

42、FAEDQ平面而平面,/BF平面ADE (II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD QACD 为正三角形,AC=AD.CG=GD.QG 在 CD 的垂直平分线上,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线EF 上,过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角 即GAH.设 原 正 方 体 的 边 长 为2a,连 结AF,在 折 后 图 的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF 为直角三角形,AG EFAE AF.32AGa

43、 在 RtADE 中,AH DEAE AD25AHa.2 5aGH,1cos4GHAH 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线.关键要抓不变的量.考点六 球体与多面体的组合问题 25/28 10设棱锥 M-ABCD 的底面是正方形，且 MAMD，MAAB，如果 AMD的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解：ABAD，ABMA，AB平面 MAD，由此，面 MAD 面 AC.记

44、 E 是 AD 的中点，从而 MEAD.ME平面 AC，MEEF.设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球.不妨设 O平面 MEF，于是 O 是 MEF的内心.设球 O 的半径为 r，则 rMFEMEFSMEF2 设 ADEFa,SAMD1.MEa2.MF22)2(aa,r22)2(22aaaa22222-1.当且仅当 aa2，即 a2时，等号成立.当 ADME2时，满足条件的球最大半径为2-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.注意多边形内切圆半径与面积和周

45、长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系.三、方法总结 26/28 1位置关系：（1）两条异面直线相互垂直 证明方法：1 证明两条异面直线所成角为 90；2 证明两条异面直线的方向量相互垂直.（2）直线和平面相互平行 证明方法：1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2 证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；3 证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.（3）直线和平面垂直 证明方法：1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2 证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行.（4）平面和平面相互垂直 证明

46、方法：1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90；2 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；3 证明两个平面的法向量相互垂直.2求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离.（1）两条异面直线的距离 27/28 求法：利用公式|nnABd（其中 A、B 分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）（2）点到平面的距离 求法：1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.2 等体积法.3 向量法，利用公式|nnABd（其中 A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点，n这

47、个平面的法向量）3求角（1）两条异面直线所成的角 求法：1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是2,0(，向量所成的角范围是,0，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角.（2）直线和平面所成的角 求法：1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.2 向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 ，那么所要求的角为2或2.（3）平面与平面所成的角 求法：1“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求.2 通过射影面积来求原射影ScosS（在其中一个平面内找出一个三角形，28/28 然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cos，注意到我们要求的角为 或 ）；3 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为 或 .我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！