2023年精品北师大九年级数学上册知识点归纳总结超详细知识汇总全面汇总归纳良心出品必属精品.pdf

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1、Ainy 晴 Ainy 晴 1 九年級上冊所有知識點匯總 三角形有關性質、定理及反證法知識要點 三角形性質與判定：序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 公理 三角形全等判定公理 三邊對應相等兩個三角形全等 兩邊及夾角對應相等兩個三角形全等；兩角及其夾邊對應相等兩個三角形全等 SSS SAS ASA 2 定理 三角形全等判定定理 兩角及其中一角對邊對應相等兩個三角形全等 AAS 3 公理 三角形全等性質 全等三角形對應邊相等、對應角相等 4 定理 等腰三角形性質推論 等腰三角形兩個底角相等 等邊對等角 5 定理 等腰三角形判定定理 等腰三角形頂角平分線、底邊上中線底邊上高互相重合“三

2、線合一”6 定理 等邊三角形判定定理 有一個角等於 60等腰三角形是等邊三角形 7 定理 有一個角等於30直角三角在直角三角形中，如果有一個銳角等於 30，那麼它所對直角 Ainy 晴 Ainy 晴 2 形性質 邊等於斜邊一半 8 定理 等邊三角形判定定理 三個角都相等三角形是等邊三角形 等角對等邊 9 定理 畢氏定理 直角三角形兩條直角邊平方和等於斜邊平方 符號語言：若C=90，則c2=a2+b2 10 概念 互逆定理 如果一個定理逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理 11 定理 畢氏定理逆定理 如果三角形兩邊平方和等於第三邊平方，那麼這個三角形為直角三角形 符

3、號語言若，則a2+b2=c2，C=90。12 定理 直角三角形全等判定定理 斜邊和直角邊對應相等兩個直角三角形全等 HL 證明方法：綜合法、反證法 綜合法：審題：找出已知、求證各量之間關係；分析解題思路：一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立理由。書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來 反證法：在證明時，先假設命題結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定Ainy 晴 Ainy 晴 3 理或已知條件相矛盾結果，從而證明命題結論一定成立方法稱為反證法。（步驟：提假設：假設命題結論不成立，推矛盾：從假設出發，應用正確推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾結果；得結論：從

4、而肯定命題結論）幾種常見結論和它否定形式：“ab”“ab”“a=b”“ab”或“ab，ab”“ab”“a 與 b 相交”“點在直線上”“點在直線外”“至少有一個”“一個都沒有”“至少有兩個”“至多有一個”互逆命題：如果一個命題條件和結論分別是另一個命題結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題。（“條件”與“結論”交換）互逆定理：如果一個定理逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理。易錯易混點 1.如圖 Z01，ABC為 AD為中線，BAD=DAC，求證：AB=AC。2.如圖 Z02 所示，在ABC中，AD是它角平分線，且 AB=AC，DE、DF分別是垂直於 AB、AC，

5、垂足為E、F，求證 BE=CF。典型例題 ZM01 ZM02 Ainy 晴 Ainy 晴 4 1.在ABC中，AB=2，AC=2，B=30，則BAC度數是_。2.已知：如圖 Z03 所示，ABC中AB=AC，D是 AB上一點，過D作DE BC於 E，並與 CA延長線相交於 F。求證：AD=AF。3.已知：如圖 Z04，在 RtABC中，C=90，BAC=30，求證：AB=2BC。變形題：在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊一半，那麼這條直角邊所對銳角等於 30.已知：求證：4.如圖 Z05 所示，在ABC中，1=2，ABC=2 C。求證：AB+BD=AC。5.如圖 Z06，在ABC中，CAB

6、=90，C=30，AD是 BC邊上高，BE是ABC平分線，AD與 BE交於點 F，求證：AEF是等邊三角形。6.折疊矩形紙 ABCD，先折出折痕（對角線）BD，再折疊使 AD邊與對角線 BD重合，得折痕 DG，如圖 Z07，若 AB=2，BC=1，求 AG長。線段垂直平分線與角平分線知識要點 序必記必記知識 必記內容 巧記方法 ZM03 ZM04 ZM05 ZM06 ZM07 Ainy 晴 Ainy 晴 5 號 專案 1 定理 線段垂直平分線性質 線段垂直平分線上點到線段兩端點距離相等 有了中垂線，就有了相等線段 2 定理 線段垂直平分線判定 到線段兩端點距離相等點線上段垂直平分線上 聯想等腰

7、三角形“三線合一”3 定理 三角形三條邊上垂直平分線性質 三角形三邊垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點距離相等 三邊中垂線共點 提示 有線段垂直平分線時，通常把垂直平分線上點與線段兩端點連接起來，利用等腰三角形性質來解決問題 4 定理 角平分線性質 角平分線上點到這個角兩邊距離相等 圖形與符號結合記憶 5 定理 角平分線判斷 在一個角內部，且到角兩邊距離相等點，在這個角平分線上 6 定理 三角形三條角平分線性質 三角形三條角平分線相交於一點，且這一點到三條邊距離相三條角平分線共點 Ainy 晴 Ainy 晴 6 等 易錯易混點 1.已知：如圖 ZM 12，DE AB，DF AC，垂足分

8、別為 E、F，DE=DF，求證：AD垂直平分 EF。2.如圖 ZM 13，P是AOB平分線上一點，OC=OD，PC=2cm，求 PD長。3.現有不在一條直線上 A、B、C三城.（1）在 A、B城間建一果品批發市場，使其到 A、B兩城距離相等，此市場位置惟一麼？它們位置有什麼關係？（2）在 B、C兩城間建一水果倉庫，使其到 B、C兩城距離相等.倉庫位置惟一麼？它們位置有什麼關係？（3）為減少運費，現將果品批發市場與倉庫建在同一位置，並分別到兩城距離相等.應如何選址？畫圖說明.典型例題 ZM13 ZM12 ZM14 Ainy 晴 Ainy 晴 7 1.已知，如圖 ZM 14，在ABC中，B=70，

9、DE是 AC垂直平分線，且BAD：BAC=1：3，則C=_。2.到三角形三個頂點距離相等點是（）A.三條中線交點 B.三條角平分線交點 C.三條高線交點 D.三條中垂線交點 3.如圖 ZM 15，已知ABC中，AD平分BAC，EF垂直平分線 AD交 BC延長線於 E，求證：(1)EAC=B；(2)DE2=CE BE.4.如圖 ZM 16，已知ABC中，A平分線與 BC垂直平分線 MD交於點 D，DEAB於 E，DF AC交 AC延長線於 F。求證：CF=21(ABAC).5.如圖 ZM17 所示，在ABC中，B=22.5，C=60，AB垂直平分線交BC於 D，交 AB於 F，BD=26，AE

10、BC於 E，求 EC長。一元二次方程知識要點 一元二次方程概念：含有一個未知數並且未知數最高次數是 2 整式方程。經過整理後，一個一元二次方程可化簡為 ax2+bx+c=0(a 0)，即它一般形式：ZM17 ZM15 ZM16 Ainy 晴 Ainy 晴 8 ax2+bx+c=0(a 0)。應從兩方面理解一元二次方程一般形式：(1)若 ax2+bx+c=0 是一元二次方程，則有 a0；(2)若 a0(b、c 可以為零)，則 ax2+bx+c=0 是一元二次方程。判斷一個方程是不是一元二次方程，滿足三個條件：含有一個未知數並且未知數最高次數是 2;必須是整式方程；二次項係數不能為零。簡而言之是指

11、經化簡後，若符合 ax2+bx+c=0(a 0)，則為一元二次方程，否則不是。估計一元二次方程解：能使一元二次方程兩邊相等 x 值是一元二次方程解，估計一元二次方程解，只是估計“解”取值範圍，比如在哪兩個數之間。方法：當相鄰兩個整數，一個使 ax2+bx+c0，一個使 ax2+bx+c0，則一元二次方程解就介於這兩個數之間。認真觀察代數式特點和取值走向，才能很快找到這樣兩個相鄰整數。易錯易混點 1.下列關於 x 方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)532aa；(3)0322xx；(4)0223xxx中，一元二次方程個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.判斷方程 m2(x2+

12、m)+2x=x(x+2m)-1 是不是關於 x 一元二次方程。(1)一變：若方程 m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1 是關於 x 一元二次方程，則 m應滿足_。(2)二變：若方程 m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1 是關於 x 一元一次方程，則 m值為_。3.m為何值時，關於 x 方程 023112mxxmm是一元二次方程？典型例題 1.下列方程是關於 x 一元二次方程是（）Ainy 晴 Ainy 晴 9 A.ax2+bx+c=0 B.k2x+5k+6=0 C.02142333xx D.(m2+3)x2+2x-2=0 2.若下列方程是關於 x 一元二次方程，求出 m取值範圍。(

13、1)51122xmxm；(2)0327124mxxmm 3.某城市 2003 年底已有綠化面積 300 公頃，經過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到 2005 年底增加到 363 公頃，設綠化面積平均每年增長率為 x，由題意，所列方程正確是（）A.300(1+x)=363 B.300(1+x)2=363 C.300(1+2x)=363 D.363(1-x)2=300 4.某種產品，原來每件產品成本是 700 元，由於連續兩次降價，現在成本為 448元，如果每次降低成本百分數相同，求每次降低成本百分之多少？若設每次降低成本百分數為 x，則第一次降低成本後成本為_，第二次降低成本後成本為_，這樣可列方

14、程得_。5.已知：直角三角形周長為62，斜邊上中線長為 1，試求這個直角三角形面積。6.如圖 Y201所示，用一塊長 80cm，寬 60cm薄鋼片，在四個角上截去四個相同小正方形，然後做成如圖 Y201所示底面積為 1500cm2沒蓋長方體盒子。想一想：應怎樣求出截去小正方形邊長？若設小正方形邊長為 x cm，那麼這個盒子底部長及寬分別為_cm和_cm，根據題意，可得方程_整理成一般形式得_。Y201 Ainy 晴 Ainy 晴 10 解一元二次方程方法知識要點 直接開平方法：對於形式如nmx2（n0）方程，根據平方根意義，即兩邊同時開平方，變形為nmx，得到兩個一次方程，解一次方程得到未知數

15、值。配方法：把一元二次方程通過配成完全平方式方法轉化為nmx2形式，從而得到這個一元二次方程根。步驟如下：(1)把常數項移到方程右邊；(2)把二次項係數化為 1，(如果二次項係數不是 1，給方程兩邊同除以二次項係數)(3)給方程兩邊都加上一次項係數一半平方(4)方程左邊是一個完全平方式，將方程變形為nmx2形式 在nmx2中，當0n時，方程有兩個不相等實數根nmxnmx21,。當0n時，方程有兩個相等實數根mxx21。當0n時，方程有兩個相等實數根。公式法：一元二次方程求根公式：aacbbx242(b2-4ac0)，步驟如下：(1)把方程化為一般形式，進而確定 a、b、c 值（注意符號）(2)

16、求出 b2-4ac 值，（先判別方程是否有根）(3)在 b2-4ac0 前提下，把 a、b、c 值代入求根公式，求出aacbb242值，最後寫出方程根。分解因式法：當一元二次方程一邊為 0，而另一邊易於分解成兩個因式乘積時，令每個因式分別為 0，得到兩個一元一次方程，分別解之，得到解就是原方程解，這種解方程方法稱為分解因式法。一般步驟如下：(1)把方程整理使其右邊化為 0；Ainy 晴 Ainy 晴 11(2)把方程左邊分解成兩個一次因式乘積；(3)令每個因式分別等於零，得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們解就是原方程解。提示：分解因式法應用面廣，它不僅可以解一元二次方程，對

17、高次求解更有獨到之處。根判別式：b2-4ac=，當 b2-4ac0 時，方程有兩個不相等實數根；當 b2-4ac0 時，方程有兩個相等實數根；當 b2-4ac0 時，方程無實數根。即不解方程就可判斷方程解情況。根與係數關係:由求根公式可知，acxxabxx2121,，即不解方程可知方程兩根之和與兩根之積，利用此可解決一些關於兩根之和、之積、兩根倒數和、兩根平方和等一類問題。利用一元二次方程解決實際問題時，一元二次方程有兩個根，這些根雖然滿足所列一元二次方程，但未必符合實際問題，因此，解完一元二次方程，要按題意檢驗這些根是不是符合實際問題解。易錯易混點(1)用配方法解一元二次方程時，二次項係數化

18、 1 時易錯；(2)不能確定 a、b、c值，代入公式時，代入不准確；(3)方程兩邊同除以一個含有未知數式子。1.用配方法解方程：2x2-4x-10=0 2.解方程：8x2+10 x=3 3.用分解因式法解一元二次方程：2222xx 典型例題 Ainy 晴 Ainy 晴 12 1.當 x 取_時，x2-5x+7 有最小值，最小值是_。2.已知是方程 2x2-x-7=0兩根，則=_。3.已知一三角形兩邊長分別為 1 和 2，第三邊長是方程 2x2-5x+3=0根，則該三角形周長為_。4.已知方程01222aaaxx有兩個實數根，化簡：aaa2122。5.已知 a2-3a=1，b2-3b=1，並且

19、ab，那麼2211ba=_。6.一元二次方程 x2-px+q=0兩個根為 3，-4，那麼二次三項式 x2-px+q 可分解為（）A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x-4)C.(x-3)(x-4)D.(x+3)(x+4)7.若方程0122xkx有兩個不相等實數根，則 k 取值範圍是（）A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k0 8.用適當方法解方程：(1)25192x；(2)012632 xx；(3)22524329xx;(4)x2-4x-6=0 9.按要求解下列方程：(1)x2-3x=5(用公式法解)(2)8x2+10 x=3 (用公式法解)(3)2(x-2)2=x2-4(用因式分解法解

20、)(4)(2x-1)(x+3)=4(用因式分解法解)一元二次方程應用知識要點 黃金分割點：線段上一個點將線段分成兩部分，如果較長線段是較短線段和原線段比例中項，那麼該點叫做線段黃金分割點。（一條線段有兩個黃金分割點）黃金比：如果一條線段與另一條線段比等於 0.618，那麼稱這兩條線段比為黃金比。Ainy 晴 Ainy 晴 13 如圖 Y218 點 C、D分別是線段 AB黃金分割點，則618.0215ACBCABAC，因此較長線段、較短線段、原線段有如下關係：ABCDABADBCABBDAC25253215 列一元二次方程解應用題：一元二次方程是刻畫現實問題有效數學模型。列一元二次方程解應用題關

21、鍵在於審題，要善於理解題意，分析題目中數量關係，可採用列表、畫圖等分析方法，恰當地設出未知數，準確找出已知量與未知量之間等量關係，正確列出方程，求得問題正確答案，同時要注意根據具體問題實際意義檢驗結果合理性。一般步驟為：|(1)審題；(2)設元；(3)列方程；(4)解方程；(5)檢驗；(6)寫出答案。注意：尋找等量關係是列方程關鍵也是難點；一元二次方程不僅能解決實際應用題，也可用來解決一些理論應用題，比如幾何中計算問題、數字問題等。易錯易混點 不檢驗方程解 1.某商店從廠家以每件 21 元價格購進一批商品，若每件商品售價為 x 元，則每天可賣出(350-10 x)，但物價局限定每件商品加價不能

22、超過 20%，商店要想每天賺 400 元，需要賣出多少件商品，每件商品售價應是多少？2.某水果批發商經銷一種高檔水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，經市場調查發現，在進貨價不變情況下，若每千克漲價 1 元，日銷售量將減少 20 千克。現該批發商要保證每天盈利 6000 元，同時又要使顧客得到實惠，那麼每千克應漲價多少元？Y218 Ainy 晴 Ainy 晴 14 典型例題 1.兩個連續偶數積為 440，那麼這兩個數和等於（）A.42 B.-42 C.42或-42 D.43或-43 2.某種藥品零售價經過兩次降價後價格為降價前 81%，則平均每次降價百分率為（）A.10%B

23、.19%C.9.5%D.20%3.設點 C是長為 10cm線段 AB黃金分割點，且 AC BC，則 AC與 BC長分別是（）A.cmcm215,215 B.cmcm555,5515 C.cmcm5515,555 D.以上均不對 4.一個兩位數兩個數字之和是 9，把個位數字與十位數字互換後得數與原數相乘，積為 1458，求這個兩位數。5.某商場有一批名牌襯衣，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，為擴大銷售、增加盈利，儘快減少庫存，商場決定採取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衣降價 1 元，商場平均每天可多售出 2 件，若使商場每天盈利 1200 元，每件襯衣應降價多少元？6.如圖，

24、在寬為 20m，長為 32m矩形耕地上，修築同樣寬三條道路（一條橫向，兩條縱向，且橫向與縱向垂直），把耕地分成大小不等方塊作為水稻試驗田，假如試驗田總面積為 570m2，道路寬應為多少？7.汽車產業發展，有效促進我國現代化建設，某汽車銷售公司 2005 年盈利 1500萬元，到 2007 年盈利 2160 萬元，且從 2005 年到 2007 年，每年盈利年增長Y2D1 Ainy 晴 Ainy 晴 15 率相同。(1)該公司 2006 年盈利多少萬元？(2)若該公司盈利年增長率繼續保持不變，預計 2008 年盈利多少萬元？證明（三）平行四邊形知識要點 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方

25、法 1 定理 平行四邊形性質定理 平行四邊形對邊相等，對角相等，對角線互相平分 對邊（角）相等對角線互相平分 2 定理 平行四邊形判定定理 兩組對邊分別相等四邊形，兩組對角分別相等四邊形，對角線互相平分四邊形，一組對邊平行且相等四邊形 類比平行四邊形性質定理 3 定理 等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上兩個角相等，對角線相等 類比等腰三角形性質 4 定理 等腰梯形判定定理 同一底上兩個角相等梯形是等腰梯形 類比等腰三角形判定 5 概念 三角形中位線 連接三角形兩邊中點線段叫做三角形兩Ainy 晴 Ainy 晴 16 三角形中位線 邊中點連線 6 定理 三角形中位線性質定理 三角形中位線平行於

26、第三邊，且等於第三邊一半 易錯易混點 1.如圖 ZM3 01，在ABC中，AB=AC，BD、CE分別為ABC、ACB平分線，求證：四邊形 EBCD 為等腰梯形。典型例題 1.如圖 ZM302，在ABCD 中，E為 BC邊上一點，AB=AE，(1)求證：ABC EAD；(2)若 AE平分DAB，EAC=25，求AED度數。2.已知 E是梯形 ABCD 腰 DC中點，求證：SABE=S梯形 ABCD。3.已知：如圖 ZM3 03，在ABCD 中，A=60，E、F分別是 AB、CD中點，AB=2AD，求證：BD=3EF。ZM301 ZM302 ZM303 ZM304 Ainy 晴 Ainy 晴 17

27、 4.如圖 ZM304，AC、BD是ABCD 兩條對角線，且 DE AC，BFAC，垂足分別為 E、F，求證：四邊形 DEBF為平行四邊形。變形(1)：如圖 ZM3 05，在ABCD 中，對角線 AC、BD交於點 O，若 E、F分別為 OA、OC中點，求證：四邊形 BFDE為平行四邊形。變形(2)：如圖 ZM3 06，在在ABCD 中，對角線 AC、BD交於點 O，DE、BF分別是ADB，CBD平分線，求證：BFDE為平行四邊形。變形(3)：已知，如圖 ZM3 07，ABCD 中，點 E、F在對角線 AC上，且 AE=CF。求證：四邊形 BEDF為平行四邊形。特殊平行四邊形知識要點 幾種特殊四

28、邊形性質（可著重從邊、角、對角線來記憶）序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 定理 矩形性質定理 矩形四個角都是直角，對角線相等 2 定理 矩形判定定理 有三個角是直角四邊形是矩形；對角線相等平行四邊形是矩形 ZM307 ZM306 ZM305 Ainy 晴 Ainy 晴 18 3 定理 菱形性質定理 菱形四條邊都相等，對角線互相垂直，並且每一組對角線平分一組對角 4 定理 菱形判定定理 四條邊都相等四邊形是菱形；對角線互相垂直平行四邊形是菱形 5 定理 正方形性質定理 正方形四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角 矩形與菱形所有性質 6

29、定理 正方形判定定理 有一個角是直角菱形是正方形；對角線相等菱形是正方形；對角線互相垂直矩形是正方形 既是矩形，又是菱形四邊形是正方形 7 定理 直角三角形斜邊上中線性質 直角三角形斜邊上中線等於斜邊一半 8 定理 直角三角形判定定理 如果一個三角形一邊上中線等於這條邊一半，那麼這個三角形是直角三角形 依次連接平行四邊形四邊中點得到四邊形是平行四邊形。依次連接四邊形各邊中點所得到新四邊形與原四邊形兩條對角線位置關係和數量關係有關。若原四邊Ainy 晴 Ainy 晴 19 形兩條對角線相等，則連接其各邊中點所得到四邊形為菱形；若原四邊形對角線互相垂直，則可得到矩形，具備上述兩點，則可得到正方形。

30、易錯易混點 1.如圖 ZM3 20 所示，M、N分別是平行四邊形 ABCD對邊 AD、BC中點，且 AD=2AB，求證：四邊形 PMQN 為矩形。典型例題 1.下列條件中，能判斷四邊形 ABCD 是菱形是（）A.對角線互相垂直 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直平分 2.如圖 ZM321，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P是 AD上一點，PEAC，垂足為 E，PFBD，垂足為 F，則 PE+PF值為（）A.512 B.513 C.2 D.25 3.如圖 ZM3 22 所示，菱形花壇 ABCD 邊長為 6m，B=60，在由兩個正六邊形組成圖形中種花，其餘部分種草，則

31、種花部分圖形周長（粗線部分）為（）A.12m B.20m C.22m D.24m 4.如圖所示 ZM3 23，四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD交於點 O，OA=OC，OB=OD，添加下列哪個條件不能使四邊形 ABCD 成為菱形（）ZM320 ZM321 ZM322 ZM323 Ainy 晴 Ainy 晴 20 A.AB=AD B.BA=BC C.AB=CD D.ACBD 5.已知菱形一邊與兩條對角線夾角差為18，求菱形各角度數。6.如圖 ZM324，已知四邊形 ABCD 各邊中點分別是 E、F、G、H，閱讀下列材料，然後回答下列問題。因為 AE=BE，AH=DH，所以 EH BD，EH

32、=B21D，同理，FG BD，FG=21BD，所以 EHFG，EH=FG，所以四邊形 EFGH 是平行四邊形。(1)連接 AC，則 EF與 GH是否一定平行？答：_；(2)對角線 AC與 BD滿足_時，四邊形EFGH 是矩形；(3)對角線 AC與 BD滿足_時，四邊形EFGH 是菱形。7.如圖 ZM3 25 所示，矩形 AOBC 以 O為座標原點，OB、OA分別在 x 軸上，y 軸上，點 A座標為(0，3)，OAB=60，以 AB為軸對折後，使 C點落在 D點處，求D點座標。8.如圖 ZM3 26 所示，在ABCD 中，AC,BD交於 O，AE BC於 E，EO交 AD於 F，求證：四邊形 A

33、ECF為矩形。ZM324 ZM326 ZM325 Ainy 晴 Ainy 晴 21 9.折疊矩形紙片 ABCD，先折出折痕 BD，再折疊使 AD邊與對角線 BD重合，得折痕 DG，如圖 ZM3 27，若 AB=2，BC=1，求AG。視圖、平行投影與中心投影知識要點 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 方法 視圖畫法 畫幾何體三種試圖規定：在畫視圖時，看得見輪廓線通常畫成實線，看不見輪廓線通常畫成虛線 眼見為“實”，耳聽（眼不見）為“虛”2 概念 平行投影 平行光線所形成投影稱為平行投影 3 重要結論 物高之比與影高之比關係 同一時刻，不同物體影子與它們高度是成正比例，即物高之比等

34、於影長之比 物高之比等於影長之比 4 重要結論 平行投影與視圖之間關係 當投影光線與投影面垂直時，這種投影稱為正投影，物體正投影就是物體視圖 物體正投影就是物體視ZM327 Ainy 晴 Ainy 晴 22 注意：太陽光線下物體影子方向和長度變化（北半球）影子方向變化為：正西西北正北東北正東 一天之中影子長度變化：長短長 易錯易混點 1.請畫出圖 TY01 所示三棱柱三視圖。2.請你畫出圖 TY 02 三視圖.典型例題 1.圖 TY 03 是圓臺立體圖形，畫出它三種視圖。2.已知某四棱柱俯視圖如圖 TY 04所示，你能畫出它主視圖和左視圖嗎？試一試。圖 5 基本概念 中心投影 從一點發出光線形

35、成投影成為中心投影 6 基本概念 視點、視線、盲區 眼睛所處位置稱為視點，由視點發出線稱為視線，眼睛看不到地方稱為盲區 7 重要方法 確定光源方法 物體上點和影子上對應點連線交點就是光源 三點一線 TY01 TY02 TY03 TY04 Ainy 晴 Ainy 晴 23 3.如圖 TY 05，在下面四個幾何體中，它們各自左視圖與主視圖不一樣是（）4.把正方體六個面上分別塗上不同顏色，並標上數字，各面上顏色和數字對應情況如下表。現將上述大小相同，顏色與數字對應也相同四個小正方體如圖 TY 06 所示拼成一個平面放置長方體，則此時長方體下底面數字和為_。5.身高不等小明和小亮，同時站在高度高於他們

36、身高燈下，所形成影子長短關係是（）A.身高長影子較長 B.身高長影子較短 C.由於燈高度固定，所以他們影子長度相等 D.影子長短關係不能確定，視他們所在位置而定 6.“皮影戲”作為我國一種民間藝術，對它敘述錯誤是（）A.它是用獸皮或紙板做成人物剪影，來表演故事戲曲 B.表演時，要用燈光把剪影照在銀幕上 C.燈光下，做不同手勢可以形成不同TY05 TY06 TY07 Ainy 晴 Ainy 晴 24 手影 D.表演時，也可以用陽光把剪影照在銀幕上 7.如圖 TY 07，有一輛客車在平坦大路上行駛，前方有兩座建築物。(1)客車行駛到位置甲時，司機能夠看到建築物 B一部分，如果客車繼續向前行駛，那麼

37、他所能看到部分是如何變化？(2)客車行駛到位置乙時，司機還能看到建築物 B嗎？為什麼?反比例函數及其圖像與性質知識點 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 概念 反比例函數 一般地，如果兩個變數 x，y 之間關係可以表示成xky(k 為常數，k0)形式，那麼稱 y 是 x反比例函數 xky(k 為常數，k0)2 性質 反比例函數性質 反比例函數xky(k 0)圖像是由兩支曲線組成，當 k0 時，兩支曲線分別位於一、三象限內，當k0時，兩支曲線分別位於二、四象限內。類比正比例函數性質記憶。當 k0時，同位一、三；當 k時，同位二、四 3 性質 反比例函數性質 反比例函數圖象，當 k0

38、 時，在每一象限內，y 隨 x 增大而減小；當 k0 時，在每一象限內，與正比例函數性質比較記憶位置TY01 Ainy 晴 Ainy 晴 25 y 隨 x 增大而增大。同增減反 反比例函數有三種運算式：(1)xky(k 為常數，k0)；(2)1kxy(k 0)；(3)x y=k(k 為定值，k0)反比例函數圖象畫法(1)列表；（取 x 和與之對應 y 值作為一組值，一般以座標原點 0 為中心，左右取x 值）；(2)描點；(3)連線：連線時一定用光滑曲線，不能用折線；畫實際問題反比例函數圖象時，應注意引數取值範圍。反比例函數 xky(k 0)圖象 圖象 k0 x取值範圍是 x0，y 取值範圍是

39、y0 當 k0 時，函數兩個分支分別在一、三象限內，在每一象限內，y 隨 x 增大而減小 反比例函數 xky(k 0)圖象 圖象 k0 x 取值範圍是 x0，y 取值範圍是 y0 當 k0 時，函數兩個分支分別位於二、四象限內。在每一Ainy 晴 Ainy 晴 26 象限內，y 隨 x 增大而增大。易錯易混點 1.已知函數7222kkxkky是反比例函數，求 k 值。2.已知點(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函數xy2上，那麼 y1、y2、y3之間大小關係是_。3.函數9222mmxmy是反比例函數，則 m值是（）（A）24mm或 （B）4m （C）2m （D）1m 典

40、型例題 範1.已知函數 11xky是反比例函數，求 k 取值圍。(1)一變：已知函數 221kxky是反比例函數，則 k值為_；(2)二變：已知函數 11kxky，當 k 取何值時，y 是 x 正比例函數？當 k 取何值時，y 是 x 反比例函數？2.若函數xky1(k 0)在每一象限內，y 隨 x 增大而減小，則 k 取值範圍是（）A.k 1 B.k1 C.k0 D.k0 3.如圖 FB01，P1，P2，P3是雙曲線上三點，過這三點分別作 y 軸垂線，得到FB01 FB02 Ainy 晴 Ainy 晴 27 三個三角形P1A1O,P2A2O，P3A3O，設它們面積分別為 S1，S2，S3，則

41、（）A.S1S2S3 B.S1S2S3 C.S1S2S3 D.S1S2S3 4.如圖 FB02，函數0kkxy與xy4圖象交於點 A，B，過點 A作 AC垂直於 y 軸，垂足為點 C，則ABC面積為_。5.已知一次函數52kxy圖象與反比例函數xy8圖象交於點(n，4)，求 k 和n 值。6.如圖 FB03，已知ABC是邊長為等邊三角形，點 E，F分別在 CB和 BC延長線上，且EAF=120，設 BE=x，CF=y，求 y 與 x 之間函數關係式，並求引數 x 取值範圍。反比例函數應用知識要點 1.根據實際情景分析實際問題中變數之間關係，建立反比例函數關係式。(1)利用物理學公式建立反比例函

42、數關係式 如壓強公式SFp：(p 表示壓強，F表示壓力，S 表示受力面積)，當 F固定不變時，p 與 S 成反比例函數關係；電流公式RUI(I 表示電流，U表示電壓，R表示電阻)，當 U固定不變時，I 和 R成反比例函數關係；密度公式：Vm(表示密度，m表示品質，V表示體積)，當不同物質品質固定不變時，與 V成反比例函數關係。(2)利用數學公式建立反比例函數關係式 如當面積一定時，長方形長與寬成反比例；當體積一定時，長方體底面積與高成反比例等。FB03 Ainy 晴 Ainy 晴 28(3)利用問題情境中給出數量關係建立反比例函數關係 2.利用反比例函數關係式解決實際問題 利用變數實際意義解答

43、問題，而且應學會把從實際中得到數據轉化為關係式中所需要數據。3.實際問題函數圖象 作實際問題函數圖象首先應注意引數取值範圍，這些實際問題兩個變數往往都不能取非正值；其次應注意橫、縱坐標單位長度；同時，實際問題函數圖象上每一個點都有自己所代表實際意義，而且從函數圖象上還可以看出兩個變數實際變化趨勢。易錯易混點 1.一個面積為 42 矩形，其相鄰兩邊長分別為 x 和 y，請你寫出 y 與 x 之間函數關係式，並畫出其圖像。典型例題 1.一定品質氧氣，它密度(kg/m3)是它體積 V反比例函數，當 V=10m3時，=1.43kg/m3.(1)求與 V函數關係式；(2)求當 V=2m3時氧氣密度。2.

44、某商場出售一批名牌襯衣，襯衣進價為 80 元，在行銷中發現，該襯衣日銷售量 y(件)是日銷售價 x(元)反比例函數，且當售價定為 100 元/件時，每日可售出 30 件。(1)請求出 y 與 x 之間函數關係式；(2)若商場計畫經營此種襯衣日銷售利潤為 2000 元，則其單價應定為多少元？Ainy 晴 Ainy 晴 29 3.反比例函數xky 圖像上有一點 P(m，n)，其座標是關於 t 一元二次方程032ktt兩根，且 P點到原點距離為13，求反比例函數解析式。4.如圖 FB15，矩形 ABCO 兩邊 OC，OA分別位於 x 軸、y 軸上，點 B座標為 B5,320，D是 AB邊上一點，將A

45、OD 沿直線 OD翻折，使A點恰好落在對角線 OB上點 E處，若點 E在反比例函數圖象上，那麼該函數運算式為_。5.如圖 FB16 所示，在平面直角坐標系 xOy 中，矩形 OEFG 頂點 E座標為(4，0)，頂點 G座標為(0，2)，將矩形 OEFG繞點 O逆時針旋轉，使點 F落在 y 軸點N處，得到矩形 OMNP，OM與 GF交於點 A。(1)判斷OGA 與OMN 是否相似，並說明理由。(2)求過 A點反比例函數關係式；(3)設(2)中反比例函數圖象交 EF於點 B，求直線 AB函數關係式。(4)請探索：求出反比例函數圖象，是否經過矩形 OEFG 對稱中心，並說明理由。6.如圖 FB17

46、所示，正比例函數xky1圖象與反比例函數xky2圖象相交於 A，B兩點，其中點 A座標為32,3。FB16 FB15 FB17 Ainy 晴 Ainy 晴 30(1)分別寫出這兩個函數運算式；(2)你能求出點 B座標嗎？試一試或與同學進行交流。7.已知 A（m+3，2）和 B（3，3m）是同一個反比例圖象上兩個點，（1）求 m值；（2）作這個反比例函數圖象（3）將 A，B兩點標在函數圖象上。8.如圖 RtABO頂點 A是雙曲線xky 與 1kxy在第二象限交點，AB x軸於 B且23 ABOS，（1）求這兩個函數關係式，（2）求直線與雙曲線兩個交點 A，Ainy 晴 Ainy 晴 31 C座標和AOC面積。8.如圖，已知一次函數圖象與反比例函數xy8圖象交於 A，B兩點，且 A點橫坐標與 B點縱坐標都是2；（1）一次函數解析式（2）AOB面積。