2023年精品高等数学AII知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳全面超详细知识汇总全面汇总归纳全面汇总归纳227.pdf

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1、本总结是本人倾情、吐血总结，如有转载，请保留此信息！如有不完整，请补全，并传一份给我。如有错误的地方，请改正，并传一份给我。大恩不言谢，我只信红包。第八章向量及运算，其线性运算就是对应坐标的运算，不想写(,),(,)xyzxyzaaaabb b brr222xyzaaaar数量积，其中是向量的夹角cosxxyyzza baba ba ba b r rrr,a br r a aar rr（重要）222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb（重要）0 xxyyzzaba ba ba ba b rrr ra bb a r rr r abca ba c rrrr rr r

2、aba bab rrr rrr向量积abrr大小为：，方向服从右手定则sinabab rrrr坐标运算：（重要）xyzxyzijkabaaabbb rrrrr 0aa rr abb a rrrr（重要）0yxzxyzaaaababbbb rrrr以为邻边的平行四边形的面积为,a br rabrr平面方程一般式：0AxByCzD 特殊平面：（1）-平面过原点0D （2），平面平行轴0(00)ABorC()x yorz （3），平面平行0(00)ABACorBC 平面()xOy xOzoryOz点法式：过点且法向量为的平面方程为000(,)xy z(,)A B C（重要）0000A xxB yyC

3、 zz截距式：1xyzabc 平面与的夹角余弦：11111:0AxB yC zD22222:0A xB yC zD 121212222222111222cosAAB BC CABCABC两平面平行的充分必要条件：11112222ABCABC 两平面垂直的充分必要条件：121212120AAB BC C 要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条

4、件二次曲面平面外一点到平面的距离：000(,)P xy z0AxByCzD 000222AxByCzDdABC直线方程一般式：1111222200AxB yC zDA xB yC zD对称式：过点且方向向量为的直线方程为000(,)xy z(,)m n p 000 xxyyzzmnp参数方程：过点且方向向量为的直线方程为000(,)xy z(,)m n p（其中 是参数）000 xxmtyyntzzpt t直线与的夹角余弦：1111111:zzxxyyLmnp2222222:xxyyzzLmnp 121212222222111222cosm mn np pmnpmnp两直线平行的充分必要条件：

5、11112222mnpLLmnp两直线垂直的充分必要条件：121212120LLm mn np p平面与直线夹角的正弦：0AxByCzD 000 xxyyzzmnp222222sinmAnBpCmnpABC直线与平面平行的充分必要条件：0mAnBpC直线与平面垂直的充分必要条件：mnpABC要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面二

6、次曲面旋转曲面：绕旋转得到的旋转曲面方程为(,)0f y z y22(,)0f yxz 绕旋转得到的旋转曲面方程为z22(,)0fxyz找规律：平面内曲线绕坐标轴旋转，绕哪条轴旋转，则该轴对应的变量不变，另一个变量改为正负根号余下变量的平方和。自己写其它公式，我不想写，心好累柱面只要求掌握平行于坐标轴的柱面，如在三维空间中是表示平行于轴的柱面，(,)0f x y z再找规律：在三维空间中，只有两个变量的方程都是表示柱面，而且是平行于方程中没有的那个变量对应的轴。这句话看不懂？想哭，常见二次曲面椭圆锥面：（时，是旋转锥面）22222xyzabab椭球面：（时，是圆心在原点半径为的球）222222

7、1xyzabcabcR R椭圆抛物面：（时，是旋转抛物面）2222xyzabab当然还有其它的二次曲面，但最常见的是这几种，一定要把方程和曲面的形状对上号，拜托了第九章多元函数概念.定义域等问题，太 low，不想写(,),(,)zf x y wf x y z的问题：（1）若是定义域内的点，则00(,)(,)lim(,)x yxyf x y00(,)xy0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称

8、式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面 （2）若则所有无穷小替换都可以用，如00(,)(,)lim(,)0 x yxyf x y ，sin(,)(,)f x yf x y:(,)1(,)f x yef x y:，tan(,)(,)f x yf x y:arcsin(,)(,)f x yf x y:，arctan(,)(,)f x yf x y:ln(1(,)(,)f x yf x y:等等211 cos(,)(,)2f x yf x y:连续：0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf x

9、y偏导数函数的偏导数：(,)zf x y，0(,)(,)limxzf xx yf x yxx 0(,)(,)limyzf x yyf x yyy 函数的偏导数：(,)wf x y z，0(,)(,)limxwf xx y zf x y zxx，0(,)(,)limywf x yy zf x y zyy 0(,)(,)limywf x y zzf x y zzz 具体的计算：实质是一元函数的求导（无关变量都看成常数，我的眼里只有它）全微分函数的全微分：(,)zf x y zzdzdxdyxy函数的全微分：(,)wf x y zwwwdwdxdydzxyz连续、偏导数、微分三者的关系：要重要向量积

10、大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面连续的函数不一定可导；偏导数存在的函数不一定连续偏导数存在的函数不一定可微可微的函数偏导数一定存在连续的函数不一定可微可微的函数一定连续，那个三者间的三角恋关系不想画了，好费时间，我一分钟上下几百万都没有的人复合函数求导1，(,),(),()zf u v ut vt dzz duz dvdtu dtv d

11、t2，(,),(,),(,)zf u v ux y vx y zzuzvxuxv x zzuzvyuyv y 其它情形的不写了，别去背，听我的，没错的，画函数关系图，画函数关系图，画函数关系图，重要的事情说三遍隐函数求导1，由方程 确定()yf x(,)0F x y xyFdydxF 2，由方程 确定(,)zf x y(,)0F x y z，xzFzxF yzFzyF 若要求二阶导数，则在上面的导数中再求导就可以了，只是碰到有的项要看成复合函数z求导就可以了（看你们的眼神，我知道你们懂了）3，由方程组 确定，求的求解方(,),(,)uu x y vv x y(,)0(,)0F x y u vG

12、 x y u v,uuvvxyxy 法：在方程组中方程两端对求导，所有碰到的地方都当成复合函数来处理，得到关x,u v于的线性方程组，解之即可；在方程组中方程两端对求导，所有碰到的地方,uvxx y,u v都当成复合函数来处理，得到关于的线性方程组，解之即可；,uvyy 要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面微分学几何应用1，空间

13、曲线：在点处，(),(),()xtytzt0tt，切线方程：000000(),(),()xtytzt000000()()()xxyyzzttt法平面方程：000000()()()0txxtyytzz 若空间曲线是由确定，则将其转成以为参数的参数方程：()()yxzxx，再求其切线和法平面方程即可，大家将些部分补齐，你们可以的，我看好你()()xxyxzx们 若曲线是由方程 确定，则用隐函数求导法则，求出导数则所(,)0(,)0F x y zG x y z,dy dzdx dx求的切线的方向向量和平面的法向量为，接下来的事，你懂的1,dy dzdx dx2，空间曲面的切平面和法线曲面由确定在点的

14、(,)0F x y z 000(,)xy z切平面方程：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxyzxxFxyzyyF xyzzz法线方程：000000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzFxyzF xyz 若曲面方程是由给出，则将其转化成，你懂的(,)zf x y(,)(,)0F x y zf x yz 方向导数在处沿着方向的方向导数(,)zf x y00(,)xy(cos,cos)le定义：00000(,)(cos,cos)limtxyf xtytflt计算：000000(,)(,)(,)coscosxyxyxyfzzlxy要重

15、要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面在处沿着方向的方向导数(,)wf x y z000(,)xy z(cos,cos,cos)le定义：0000000(,)(cos,cos,cos)limtxyzf xtytztflt计算：000000000000(,z)(,z)(,z)(,z)coscoscosxyxyxyxyfzzzlxyz在处

16、的梯度：(,)zf x y00(,)xy 00000000(,)(,)(,),(,)Txygrad f xyf xyfxyfxy 在处的梯度：(,)wf x y z000(,)xy z 000000000000000(,)(,)(,),(,),(,)Txyzgrad f xyzf xyzfxyzfxyzfxyz 极值求的极值步骤：(,)zf x y1，求出所有驻点（求解方程组）(,)0,(,)0 xyfx yfx y2，对每个驻点，计算及00(,)xy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy（海塞矩阵，有印象吗？是 Hesse 矩阵，不是胡吃海塞的海塞！）2BAC

17、3，若则函数有极值，且时，有极小值；时，有极大值；00A0A 若则函数没有极值；0 若，我也很头疼，因为此时我也不知道函数是有极值还是没有极值，无法确定0在条件下的极值问题：构造拉格朗日（不要恨他老人家）函数(,)f x y(,)0 x y，求这个无条件的极值问题即可（注意：也是变量，不(,)(,)(,)L x yf x yx y要问为什么）第十章二重积分终于要写完了，心情好，就把性质列一下吧，定义什么的不写了。(,)(,)(,)(,)DDDf x yg x ydf x y dg x y d 要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平

18、的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面，其中 12(,)(,)(,)DDDf x y df x y dg x y d1212,DDD DD 1DDdS若，则(,)(,)f x yg x y(,)(,)DDf x y dg x y d(,)(,)DDf x y dg x y d若，则(,)mf x yM(,)DDDmSf x y dMS计算法直角坐标系下的积分-区域：X21()()(,)(,)bxaxDf x y ddxf x y

19、dy 定限方法：将投影到轴上，得区间，则左端点为的积分下限，右端点为Dx,a baxb的积分上限；在任取一点，过该点做轴的垂线，与的边界有两个交点，顺x(,)a bxxD着坐标轴的正方向看，第一个交点所在的曲线为的积分下限，第二个交点所在的1()xy曲线为的积分上限。2()xy-区域：Y21()()(,)(,)dycyDf x y ddyf x y dx 定限方法：将投影到轴上，得区间，则左端点为的积分下限，右端点为Dy,c dcyd的积分上限；在任取一点，过该点做轴的垂线，与的边界有两个交点，顺y(,)c dyyD着坐标轴的正方向看，第一个交点所在的曲线为的积分下限，第二个交点所在的1()y

20、x曲线为的积分上限。2()yx交换积分次序：先根据积分式画出积分区域，再交换次序（不要说不会画积分区域，哥们讲过）极坐标系下的积分21()()(,)(cos,sin)(cos,sin)DDf x y dxdyfd ddfd 要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面定限：过原点从一条穿过积分区域的射线，顺时针旋转到临界位置，对应的角度

21、为的积分下限；逆时针旋转到临界位置，对应的角度为的积分上限；射线与积分区域有两个交点，顺着射线的方向看，第一个交点所在的曲线方程为的积分下限，第二个1()交点所在的曲线方程为的积分上限。2()二重积分的几何应用以为顶，底在平面上，且在的投影区域为的曲顶柱体(,)zf x yxOy(,)zf x yxOyD的体积为：(,)DVf x y d大功告成！要重要向量积大小为方向服从右手定则坐标运算重要重要以为邻边的平行四边形的面积为平面方程一般式特殊平面平的充分必要条件两平面垂直的充分必要条件平面外一点到平面的距离直线方程一般式对称式过点且方向向量为的直线垂直的充分必要条件平面与直线夹角的正弦直线与平面平行的充分必要条件直线与平面垂直的充分必要条件二次曲面