2023年高三新数学第一轮复习精品讲义讲座33—圆锥曲线方程及性质.pdf

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1、 1 辅 导 讲 义 一、教学目标 圆锥曲线第一轮复习 1.圆锥曲线知识点解题方法 2.圆锥曲线的基础题 二、上课内容 1.对圆锥曲线的知识点浏览一遍，对知识点查漏补缺 2.例题讲解 3.高考习题训练 4.评讲 布置作业 三、课后作业 见课后 四、家长签名 （本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_ 教师 科目 数学 上课日期 总共学时 学生 年级 高二 上课时间 第几学时 类别 基础 提高#培优 科组长签字 教务主管签字 校区主任签字 2 高三新数学第一轮复习教案（讲座 33）圆锥曲线方程及性质 一课标要求：1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具

2、体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。二命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。对于本讲内容来讲，预测 07 年：（1）1 至 2 道考察圆

3、锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三要点精讲 1椭圆（1）椭圆概念 平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|F F）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21|2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在 x 轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab 的条件，要分清焦点的位置，只要看2

4、x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质 范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa，yb 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)x y在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中

5、的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0 x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y 得xa，即1(,0)Aa，2(,0)A a是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21AA、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫 3 做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2|OBb，2|OFc，22|B Fa，且2222222|OFB FOB，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce

6、a叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2双曲线（1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12|2PFPFa）。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202|aF F条件下；12|2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支）；21|2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；当122|aF F时，12|2PFPFa表示两条射线；当122|aF F时，12|2PFPFa不

7、表示任何图形；两定点12,F F叫做双曲线的焦点，12|F F叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭 圆 双 曲 线 定义 1212|2(2|)PFPFaaF F 1212|2(2|)PFPFaaF F 方程 22221xyab 22221xyba 22221xyab 22221yxab 焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc 注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质 范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标

8、轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是,x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b叫做双曲

9、线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。4 等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。注意191622yx与221916yx的区别：三个量,a b

10、 c中,a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程

11、如下表：标准方程 22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp 图形 焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准线方程 2px 2px 2py 2py 范围 0 x 0 x 0y 0y 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四典例解析 o F x y l o x y F

12、l x y o F l 5 题型 1：椭圆的概念及标准方程 例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(,)2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b，cb；（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)；（5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(,)2 2，(3,5)。点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。例 2（1）（06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0），且长轴

13、长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 。6（2）（06 天津理，8）椭圆的中心为点(10)E，它的一个焦点为(3 0)F，相应于焦点F的准线方程为72x ，则这个椭圆的方程是（）222(1)21213xy 222(1)21213xy 22(1)15xy 22(1)15xy 点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型 2：椭圆的性质 例 3（1）（06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（）(A)2 (B)22 (C)21 (D)42（2）（1999 全国，15）设椭圆2222byax=1（ab0）的右

14、焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 。点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。例 4（1）（2000 京皖春，9）椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是（）A.43 B.554 C.358 D.334（2）（1998 全国理，2）椭圆31222yx=1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。题型 3：双

15、曲线的方程 7 例 5（1）已知焦点12(5,0),(5,0)FF，双曲线上的一点P到12,F F的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆221255xy共焦点且过点(3 2,2)的双曲线的方程；（3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点12,P P坐标分别为9(3,4 2),(,5)4，求双曲线的标准方程。点评：本题只要解得22,ab即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例 6(06 上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_.点评：本题主要考

16、查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。题型 4：双曲线的性质 例 7（1）（06 福建卷）已知双曲线12222byax(a0,b2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.2 63 D.2 33 点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现cba,三元素之间的关系。例 8（1）（06 江西卷）P 是双曲线22xy1916的右支上一点，M、N 分别是圆（x5）2y24 和（x5）2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9（2）（06 全国卷 I）双曲线221mxy的虚轴长

17、是实轴长的 2 倍，则m A14 B4 C4 D14（3）（06 天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（）A36 B4 C2 D1 点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。题型 5：抛物线方程 例 9（1）)焦点到准线的距离是 2；（2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程。点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定 p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦

18、点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。题型 6：抛物线的性质 9 例 10（1）（06 安徽卷）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A2 B2 C4 D4（2）（浙江卷）抛物线28yx的准线方程是（）(A)2x (B)4x (C)2y (D)4y （3）（06 上海春）抛物线xy42的焦点坐标为()（A）)1,0(.（B）)0,1(.（C）)2,0(.（D）)0,2(点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。例 11（1）（全国卷 I）抛物线2yx 上的点到直线4380 xy 距离的最小值是（）A43 B75

19、C85 D3（2）（2002 全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。（3）（2001 广东、河南，10）对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q，点 P（a，0）都满足|PQ|a|，则 a 的取值范围是（）A.（，0）B.（，2 C.0，2 D.（0，2）能使这抛物线方程为 y210 x 的条件是 （要求填写合适条件的序号）点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。五思维总结 在复习过程中抓住以下几点：（1）坚持源于

20、课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是高考说明.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；1 0 （2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；（3）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：221122112:;2:222:;2:22ppypxPFxyp

21、xPFxppxpyPFyxpyPFy 六课后作业 1 已知点 A，B 是双曲线 x2y221 上的两点，O 为坐标原点，且满足OAOB0，则点 O 到直线 AB 的距离等于()A.2 B.3 C2 D2 2 2直线 4kx4yk0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB|4，则弦 AB 的中点到直线 x120 的距离等于()A.74 B2 C.94 D4 3 已知点 M 与双曲线x216y291 的左，右焦点的距离之比为 23，则点 M 的轨迹方程为_ 4已知抛物线 y22px(p0)上一点 M(1，m)，到其焦点的距离为 5，双曲线 x2y2a1 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与

22、直线 AM 垂直，则实数 a_.5连接抛物线 x24y 的焦点 F 与点 M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A，设点 O 为坐标原点，则OAM 的面积为_ 6(本小题满分 15 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长等于焦距，椭圆 C上的点到右焦点 F的最短距离为 21.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 E(2,0)且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，P 是点 M 关于 x 轴的对称点，证明：N，F，P 三点共线 1 1 7(本小题满分 15 分)如图，椭圆 C：x2a2y221 的焦点在 x 轴上，左、右顶点分别为 A1，A，上顶点为 B.抛物

23、线 C1，C2 分别以 A，B 为焦点，其顶点均为坐标原点 O，C1 与 C2 相交于直线 y 2x上一点 P.(1)求椭圆 C 及抛物线 C1，C2 的方程；(2)若动直线 l 与直线 OP 垂直，且与椭圆 C 交于不同两点 M，N，已知点 Q(2，0)，求QMQN的最小值 8(本小题满分 16 分)已知直线 l：xy80，圆 O：x2y236(O 为坐标原点)，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 e32，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(3,0)作直线 l，与椭圆 C 交于 A，B 两点，设OSOAOB(O 是坐标原点)，是否存在这样的直线 l，使四边形 OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由