2023年高中数学平面解析几何知识点归纳总结.pdf

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1、 平面解析几何 1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0,90斜率不存在.（2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk（111(,)P x y、222(,)P xy）.2直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11xxkyy(直线l过点),(111yxP，且斜率为k)注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx （2）斜截式：bkxy (b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式：121121xxxxyyyy(12

2、yy，12xx).注：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；方程形式为：0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线（4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0 ba）注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线 （5）一般式：0CByAx (其中 A、B 不同时为 0)一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk 注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0 x 已知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(直线斜率 k存在时，m为 k的倒数)或0y 已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()

3、yk xxy或0 xx（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合 3直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点 4两条直线的平行和垂直：（1）若111:lyk xb，222:lyk xb 212121,/bbkkll；12121llk k .（2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有 1221122121/CACABABAll且 0212121BBAAll 5平面

4、两点距离公式：(111(,)P x y、222(,)P xy)，22122121)()(yyxxPPx轴上两点间距离：ABxxAB 线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx 6点到直线的距离公式：点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd 7两平行直线间的距离：两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd 8直线系方程：（1）平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程 与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为10AxByC 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC

5、 平行的直线可表示为：00()()0A xxB yy（2）垂直直线系方程：与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为10BxAyC 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为：00()()0B xxA yy（3）定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA(除2l

6、)，其中是待定的系数 9曲线1:(,)0Cf x y 与2:(,)0Cg x y 的交点坐标方程组(,)0(,)0f x yg x y的解 10圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r）（2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx（3）圆的直径式方程：若),(),(2211yxByxA，以线段AB为直径的圆的方程是：0)()(2121yyyyxxxx 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122（2）一般方程的特点：2x和2y的系数相同且不为零；没有xy项；0422FED（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示

7、圆的等价条件是：0 CA；0B；0422AFED 11圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”222)2(rdl；（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，则|11|1|22BABAyykxxkAB（其中|,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）12点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 P在在圆外22020)()(rbyaxrd P在在圆内22020)()(rbyaxrd P在在圆上22020)()(

8、rbyaxrd 【P到圆心距离2200()()daxby】13直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为 0相离rd；0相切rd；0相交rd 14两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21 条公切线外离421rrd；无公切线内含 21rrd；条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；条公切线相交22121rrdrr 15圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx（1）过直线0CByAxl：与圆C:02

9、2FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx,是待定的系数（2）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx,是待定的系数 特别地，当1 时，2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF 就是 121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线 16圆的切线方程：（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx（2）过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200

10、)()(rbybyaxax （3）当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00 xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径，即rd，求出k；或利用0，求出k 若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0 xx 17把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减 即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD 18对称问题：（1）中心对称：点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2,2(1010yyxxA 直线关于点对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程 法 2：求出一个对

11、称点，在利用21/ll由点斜式得出直线方程（2）轴对称：点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上 点 AA、关于直线l对称上中点在lAAlAA 方程中点坐标满足lAAkklAA 1 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）法 1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点 若la/，则lb/，且ba,与l的距离相等 法 2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程 （3）点(a,b)关于 x 轴对称：(a,-b)、关于 y 轴对称：(-a,b)、关于原点对称：(-a,-b)、点(a,b)关于直线 y=x 对称：(b,a)、关于 y=-x 对称：(-b,-a)、关于 y=x+m 对称：(b-m、a+m)、关于 y=-x+m 对称：(-b+m、-a+m)19若),(),(),(332211yxCyxByxA，则ABC 的重心 G 的坐标是33321321yyyxxx，20各种角的范围：直线的倾斜角 1800 两条相交直线的夹角 900 两条异面线所成的角 900