2023年精品北师大版九年级上册数学复习知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳及例题良心出品必属精品.pdf

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1、 1 数学九年级上册知识点总结 第一章 特殊的平行四边形复习 中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用 2.相关

2、知识的综合应用 知识点归纳 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 一矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形【强调】矩形（1）是平

3、行四边形；（2）一一个角是直角 矩形的性质 性质 1 矩形的四个角都是直角；性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；矩形的判定 矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等 2 矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形 矩形判断方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A 对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补 例 3：已知：如图，ABCD 各角的平分线分别

4、相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形 二菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等 菱形的性质 性质 1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定 菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直 菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形 例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E 求证：AFD=CBE 例 2 已知：如图ABCD 的对角线 A

5、C 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F 3 求证：四边形 AFCE 是菱形 例 3、如 图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE、BD 交于 M，若 AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例 5（10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60,AB=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E (1)求线段BE的长 例 6、（2011 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，D

6、EAB 交 BA 的延长线于 E，DFBC，交BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 ABCDEFO12 B M A D C E DABCOE60 4 例 7、（2011 山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.三正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的

7、平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质 正方形具

8、有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；5 （3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.OB 例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F 求证：OE=OF 例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l2，作 BMl1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN

9、分别交 l2于 Q、P 点 求证：四边形 PQMN 是正方形 例 3、（2011 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证：PE=PD ；PEPD；（2）设 AP=x,PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分的四边形是（）A平行四边形、菱形 B矩形、菱形 C矩形、正方形 D菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A.等腰梯形 B.正方形 C.平

10、行四边形 D.矩形 3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当ABC=900时，它是矩形 D当 AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC中，点EDF，分别在边AB，BC，CA上，且DECA，DFBA下列四个判断中，不正确的是（）A四边形AEDF是平行四边形 B如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形 C如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 D如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形 5.如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若

11、6CD，则AF等于（）A4 3 B3 3 C4 2 D8 D C B A A O B C D E F 6 6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交ADBC，于EF，点，连结CE，则CDE的周长为（）A5cm B8cm C9cm D10cm 7.在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD（A、B、C、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，已知1202.5AODAB，则AC的长为 9.边长为cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 .10.如图

12、所示，菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则ACP度数是 12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，（1）求证：BOEDOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A ECF，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论 13.将两块全等的含 30 角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1 A B C D A B C D A D C B O B C D A P F D O C B E A

13、第12题图 7 (1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(2)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(3)在 RtBCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为矩形，其理由是_；当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为菱形，其理由是_(图 3、图 4 用于探究)应用探究：1.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，若22.5DBC，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边

14、）有（）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 2.如图，正方形ABCD的面积为 1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）A310 B13 C25 D49 3.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（）A B C D 4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成 60角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_2.cm 5.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH3 厘米，EF4 厘米，则边 AD 的长是_厘米.图 4 CADB图 3 CADB图 2 D1C1B1CADB图 1 3030

15、BDACA B E C D C 22.5 D A C B M B A 1 D C 2 1 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C B F C A H D E G 8 6.如图，已知AOBOAOB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB的平分线（请保留画图痕迹）7.如图：矩形纸片 ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是 第二章 一元二次方程 一、一元二次方程 （一）一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次

16、方程。（二）一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。例 方程22(2)(3)20mmxm x 是一元二次方程，则_m.二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。当0b时，bax，bax；当 b0 时，方程没有实数根。例 第二象限内一点 A（x1，x22），关于 x 轴的对称点为 B，且 AB=6，则 x=_ 2、配方法 一般步骤：A B F E O A B C P D E

17、A B C D E 9（1）方程)0(02acbxax两边同时除以a,将二次项系数化为 1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方，当0b时，bax；当 b0 时，方程没有实数根。例 若方程 ax24有解，则a的取值范围是（）A0a B0a C0a D无法确定 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx 例 已知 x24x2=0，那么 3x212x2012 的值为 4、因式分解法 一元二

18、次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例 已知一个三角形的两边长是方程 x2-8x+15=0的两根，则第三边 y 的取值范围是（）Ay8 B3y5 c2y0 k0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。例 在同一坐标系中，函数xky 和3kxy的图像大致是 （）A B C D 例 反比例函数xmy23，当_m时，其图象的两个分支在第一、三象限内。例 反比例函数xy1的对称轴有（）条（A）0 （B）1 （C）2

19、 （D）无数 例 对于反比例函数xky2(0k)，下列说法不正确的是（）（A）它的图象分布在第一、三象限 （B）点（k，k）在它的图象上（C）它的图象是中心对称图形 （D）y随x的增大而增大 例 已知反比例函数kyx（k0）的图象上有两点 A（11xy，），B（22xy，），且12xx，则12yy的值是（）（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）不能确定 4、反比例函数解析式的确定 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数)0(kxky图像上任一点 P（x,y）作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足分别是 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=xyxy。20 kSkxyxky,。例 如图，A为反比例函数xky 图象上一点，AB垂直x轴于 B点，若 SAOB3，则k的值为（）A、6 B、3 C、23 D、不能确定 A B O x y