2023年高中数学椭圆知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳及经典例题.pdf

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1、 椭 圆 1 椭圆的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c).2.椭圆的标准方程：12222byax（ab0）12222bxay（ab0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 mx2+ny2=1(m0，n0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例MPPPPxP解:(相关点法)设点 M(x,y),点 P(x0,y0),则

2、 xx0,y 20y 得 x0 x，y02y.x02y024,得 x2(2y)24,即.142yx所以点 M的轨迹是一个椭圆.4.范围.x2a2，y2b2，|x|a，|y|b 椭圆位于直线 xa 和 yb 围成的矩形里 5.椭圆的对称性 椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 6.顶点 只须令 x0，得 yb，点 B1(0,b)、B2(0,b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y0，得 xa，点 A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点 椭圆有四个顶点：A1(a,0)、A2(a,0)、B1(0,b)、B2(

3、0,b)椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点 线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于 2a.短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的 长半轴长b 叫做椭圆的短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a 在 RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即 c2a2b2 aA1yOF1F2xB2B1A2cbyOF1F2xMccxF2F1OyMccyxPOPM）的离心率为（轴分成三等份，则椭圆若椭圆的连个焦点把长.1 无法确定 D.32 C.31 B.61 A.7),0()0,()0,()0(1.2112222ebABFbBaAcFbabyax，则椭圆的离心

4、率的距离为到直线如果是两个顶点，、，的左焦点为椭圆.1612)2,1(.322的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆求经过点yxM 越小，因此椭圆越扁；，从而越接近时，越接近当221)1(cabace 因此椭圆越接近于圆；，越接近，从而越接近时，越接近当abce00)2(.0)3(222ayxcba为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当 .)2(;)1(12045.222121221点坐标求求，为左右焦点，上的点，为椭圆已知PSPFPFFFyxPFPF yOx椭圆典型例题 例 1 已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关

5、系222cba可求出m的值 解：方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m 又2c，所以2262m，5m适合故5m 例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程 解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax 由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx 当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay 由椭圆过点03，P，知10922ba又ba

6、3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy 例 3 ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程 解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系 设G点坐标为 yx，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点 因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx（2）设 yxA，yxG，则013610022yyx 由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132

7、490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）例 4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 解：设 两 焦 点 为1F、2F，且3541PF，3522PF 从 椭 圆 定 义 知52221PFPFa即5a 从21PFPF 知2PF垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴，所 以 在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab 所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx 例 5 已知椭圆方程012222baby

8、ax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积 解：如图，设 yxP，由椭圆的对称性，不妨设 yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF 由椭圆定义知：aPFPF221 ，则2得 cos12221bPFPF 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b 例 6 已知动圆P过定点 03，A，且在定圆 64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P

9、的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点 03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 例 7 已知椭圆1222yx（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4

10、）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点 yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121 得 0221212121yyyyxxxx 由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有 0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx （1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342 yx 将代入椭圆方程2222 yx得041662 yy，0416

11、436符合题意，0342 yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04 yx（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx（椭圆内部分）（4）由得 ：2222212221yyxx，将平方并整理得 212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：224424212212yyyxxx，再将212121xxyy代入式得：221242212212xxyxxx，即 12122yx 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 例 8 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公

12、共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程 解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得 1422mxx，即012522mmxx 020161542222mmm，解 得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx 根据弦长公式得 ：51025145211222mm解得0m方程为xy 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运

13、算过程 例 9 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09 yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决 解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为 031，F，032，F 点1F关于直线09 yxl：的对称点F的坐标为（9，6），直线2FF的方程为032 yx 解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（5，4）此时21MFMF 最小 所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，36

14、35322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx 例10 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围 解：由,35,03,05kkkk得53 k，且4k 满足条件的k的取值范围是53 k，且4k 说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53 k，故k的取值范围是53 k 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0 ba这个条件，当ba 时，并不表示椭圆 例11 已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围 分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围 解：方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所

15、以0sin1cos1 因此0sin且1tan从而)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0 例 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122 nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程 解：设所求椭圆方程为122 nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(,

16、1)2()3(2222nmnm即,112,143nmnm所以151m，51n 故所求的椭圆方程为151522yx 例 13 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 分析：可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 2121xxkAB4)(1(212212xxxxk 因为6a，3b，所以33c 因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93 x

17、y 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221 xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB (法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF 1，nBF 1，则mAF 122，nBF 122 在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB (法 3)利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程

18、的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标 再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB 例 14 椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为 2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为 A4 B2 C8 D23 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F，由椭圆第一定义得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又 因 为ON为21FMF的 中 位 线，所 以4212 MFON，故答案为 A 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式

19、可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离 例 15 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl 4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称 分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上 利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围 解：(法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点 l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41 由方程组,134,4122yxnxy消去y得 0481681322nnxx 。13821nxx 于 是1342210nxxx，13

20、124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn点M在直线mxy 4上，mnn1344解得mn413 将式代入式得048169261322mmxx A，B是 椭 圆 上 的 两 点，0)48169(134)26(22mm 解 得1313213132m(法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mm A，B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，13)3(4)(22mm解得1313213132m(法 3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yx

21、 A，B在 椭 圆 上，1342121yx，1342222yx 两 式 相 减 得0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy 又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy 。又M点在直线l上，mxy004 。由，得M点的坐标为)3,(mm 以下同解法 2.说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦AB的中

22、点),(00yxM在椭圆内部，满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式 例 17 在面积为 1 的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程 解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP 则.1,21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43,13412252222baba得.3,41522ba 所求椭圆方程为1315422yx 例 18 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题 通常将

23、直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的 解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得 036)24(4)24(8)14(222kxkkxk 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是 的 两 根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082 yx 方法二：设直

24、线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB)2,4(P为AB中点，821 xx，421yy 又 A，B在 椭 圆 上，3642121 yx，3642222 yx两 式 相 减 得0)(4)(22212221yyxx，即0)(4)(21212121yyyyxxxx 21)(4)(21212121yyxxxxyy 直线方程为082 yx 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxB A、B在椭圆上，36422 yx 。36)4(4)8(22yx 从而A，B在方程的图形082 yx上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为082 yx 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法 若已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082 yx所得弦中点的横坐标是 4，则如何求椭圆方程？